《素數(shù)和合數(shù)》教學(xué)實錄

【名師檔案】

陸麗萍，溧陽市外國語學(xué)校副校長。中學(xué)高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省第二批人民教育家培養(yǎng)對象，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，常州市中小學(xué)名教師工作室領(lǐng)銜人。出版專著（編著）2本，在國家級、省級刊物發(fā)表論文100多篇，先后應(yīng)邀到青海、山西、福建、四川、河南、南京、蘇州等省市上公開課、作講座多次。

教學(xué)內(nèi)容：《素數(shù)和合數(shù)》（蘇教版四年級下冊）

教學(xué)時間：2012年3月24日

教學(xué)場合：“三晉之春”全國名師小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩活動

教學(xué)地點：山西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心大禮堂

教學(xué)班級：山西太原市興華小學(xué)四（2）班

一、激活問題意識，喚醒探究欲望

1.創(chuàng)設(shè)問題情境

師：請大家嘗試著從12個小正方形里拿出幾個來，拼成一個大的長方形。

生：我拿出了12個小正方形，拼成的是6×2型的長方形。（見下圖1）

師：還有誰是用了12個小正方形拼的？

生：我也拿出了12個小正方形，拼成的是12×1型的長方形。（見下圖1）

生：我也是拿出了12個小正方形，拼成的是4×3型的長方形。（見下圖1）

師：12個小正方形還能拼成其他形狀的長方形嗎？

生：不能，12個小正方形拼成長方形只有這三種。

師：其他同學(xué)又是用了幾個小正方形拼的呢？

生：我拿出了8個小正方形拼成的長方形有兩種，一種是4×2型，另一種是8×1型的長方形。（見下圖2）

生：我拿出了7個小正方形，只能拼成一種，是7×1型的長方形。（見下圖3）

生：我拿了11個小正方形，也只能拼成一種，是11×1型的長方形。

2.激活問題意識

師：我們同樣都是拿了一些小正方形去拼長方形，為什么有的可以拼成幾種不同的長方形？有的卻只能拼成一種長方形？

生：拿的個數(shù)不同，拼成的長方形的個數(shù)就會不同。

師：怎么個不同？

生：我感覺拼成的長方形與拿出小正方形個數(shù)的因數(shù)有關(guān)。

生：對的，12它有1，2，3，4，6，12六個因數(shù)，能拼成3種；11只有1和11兩個因數(shù)，只能拼成一種。

師：那我們就根據(jù)這些數(shù)的因數(shù)個數(shù)情況繼續(xù)來研究。

二、引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)意義建構(gòu)

1.觀察比較，嘗試分類

師：請先寫出1～20各自然數(shù)的所有因數(shù)，再觀察與思考。（學(xué)生填寫下表）

師：我們可以看到，以上各個自然數(shù)的因數(shù)的個數(shù)都不盡相同，如果請你從一個數(shù)所含因數(shù)的個數(shù)來分類的話，你打算分為哪幾種情況？

生1：我分了許多類，按照有幾個因數(shù)就分為幾類，于是就分成了只含有1個因數(shù)的為一類，只含有兩個因數(shù)的分為一類，含有3個的分為一類，含有4個的分為一類……；

生2：我打算分為兩類，只含有1個因數(shù)的分為一類，含有兩個或兩個以上的分為一類；

生3：我是分為三類，只有一個因數(shù)的1單獨為一類，只含有兩個因數(shù)的一類，含有3個或3個以上因數(shù)的分為一類。

師：剛才大家發(fā)表了各自的想法，請大家比較：以上三種不同的分類方法哪一種是比較合理的？為什么？

生：我覺得生1的方法有點欠妥，因為照這樣，不知要分為多少類，這樣就不簡單了，分類就是要變得更簡潔些。

生：我也覺得生1的方法不妥，我比較喜歡生3的分法。

生：生2的方法也是可以的，這樣就把自然數(shù)分為兩類。

生：我認(rèn)為生3的方法更合理，簡單把自然數(shù)分為1和其他自然數(shù)，其他里面的自然數(shù)太多了，沒有分得更清楚些。

（大多數(shù)學(xué)生紛紛點頭，認(rèn)為生3的分法更合理。）

教師指出：古代的數(shù)學(xué)家也像我們同學(xué)一樣，在經(jīng)歷了多次的分類嘗試研究之后，決定將以上自然數(shù)分為三類。

2.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，意義建構(gòu)

師：請大家繼續(xù)深入觀察以上各類自然數(shù)的因數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：像第二類2、3、5、7、11、13、17、19的這些數(shù)，它們的因數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)。第三類數(shù)至少含有3個因數(shù)，有的有4個、有的有5個，有的更多。

生：我知道，像這類（指著第二類）數(shù)叫素數(shù)，第三類數(shù)叫合數(shù)。

師：對，我們把像第二類數(shù)，它們只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做素數(shù)，也叫質(zhì)數(shù)。而像4、6、8、9、10、12、14、15等的數(shù)，它們除了含有1和它本身兩個因數(shù)之外，還含有其它的因數(shù)，我們把這類數(shù)叫做合數(shù)。

師：請大家從1～20中，自己任意選擇一個數(shù)說一說它是素數(shù)還是合數(shù)。并說一說為什么？（學(xué)生舉例說明）

生：老師，1到底是什么數(shù)？

師：你們認(rèn)為呢？

生：1既不是素數(shù)也不是合數(shù)。

師：請大家討論“1為什么既不是素數(shù)也不是合數(shù)？素數(shù)與合數(shù)有什么區(qū)別？”

生：1的因數(shù)就是它本身，只有一個因數(shù)，所以它既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。

生：素數(shù)和合數(shù)的區(qū)別主要看因數(shù)的個數(shù)。

3.判斷內(nèi)化，變式強(qiáng)化

師：請獨立判斷下面這些數(shù)哪些是素數(shù)，哪些是合數(shù)？并說一說你判斷的方法。

15 40 13 28 21 19 77 111

生1：我認(rèn)為15、40、28、21、77、111都是合數(shù)，其余的是素數(shù)，我判斷的方法是一個一個找出各數(shù)所有的因數(shù)。

生2：我同意他的結(jié)果，不過我是用能被2、3、5整除的數(shù)的特征來判斷它們除了含有1和它本身外是否還有2、3或5。

師：（面對生2）請你舉例說一說你的方法？

生：比如說，40除了1和40兩個因數(shù)，它還有2、5，所以肯定不止兩個因數(shù)，所以40就是合數(shù)。比如，111的因數(shù)，除了1和111兩個外，至少還能被3整除，所以它也是合數(shù)。

師：（指著生1）你覺得唐詩杭的方法怎么樣？

生1：唐詩杭的方法比我的更簡單。

師：我們既可以用一一列舉找出所有因數(shù)來判斷，也可以用能被2、3或5整除的數(shù)的特征來巧判。

三、經(jīng)歷研究過程，感悟數(shù)學(xué)文化

1.創(chuàng)設(shè)問題沖突

師：你能很快獨立判斷下面各數(shù)哪些是素數(shù)，哪些是合數(shù)嗎？

22 49 80 29 91 89 73

生：我認(rèn)為22、49、80是合數(shù)，其余的是素數(shù)。

生：我覺得22、49、80、89是合數(shù)。

生：我看22、49、80、73是合數(shù)。

（此時，在判斷91、89、73時會有學(xué)生有困難，一時很難有把握。）

師：看來，這些數(shù)到底是素數(shù)還是合數(shù)真有些難判斷。別急，我們一起繼續(xù)研究，有沒有更好的辦法呢？

2.感悟數(shù)學(xué)文化

師：（發(fā)給每個學(xué)生一張50以內(nèi)的自然數(shù)表）請你獨立想方設(shè)法快速尋找出50以內(nèi)自然數(shù)的所有素數(shù)。（大概用時5分鐘）

（教師故意鼓勵學(xué)生想出方法來找，根據(jù)每個學(xué)生的思維水平和思考策略形成解決問題的差異，生成方法優(yōu)化的資源，為下一步感悟數(shù)學(xué)文化價值的魅力做情感的渲染和智慧的啟迪。）

生1：老師，我還沒找完，我只找到了第二排，我是用一個一個地排除的方法去慢慢地找的。

生2：我是胡亂地找出一些，但好像沒找全。

生3：我是劃掉了2的所有倍數(shù)（2除外）。（圖4）

生4：我不僅劃掉了2的所有倍數(shù)，還劃掉了5的所有倍數(shù)（2、5除外）。（圖5）

生5：我補(bǔ)充，我比他們劃得還要多，不僅要劃掉2、5的倍數(shù)，我還將3的倍數(shù)全劃掉了（2、5、3除外），剩下的數(shù)都是素數(shù)。（圖6）

師：你們剛才都能充分發(fā)表自己的觀點和想法，很好。學(xué)習(xí)就是需要交流，學(xué)習(xí)就是需要碰撞。你們覺得哪些同學(xué)的方法對你有啟發(fā)？

生1（剛才的）：我覺得他們幾個的方法比我想的更簡便些。

師：是啊，我們在解決問題時可以根據(jù)具體情況靈活采用不同的方法去思考。你真會傾聽，傾聽是一種非常重要的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

生2（剛才的）：我的方法盡管簡單些，但沒有找全，狄煜（生5）找得比我全。

師：（呈現(xiàn)生5的數(shù)表，即圖6）這些數(shù)都是素數(shù)，你們同意嗎？如果同意，請你們將這些素數(shù)一個接一個報出來。

生（齊報）：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，

31，37，41，43，47

（當(dāng)報到49時，有的學(xué)生舉手有話要說。）

生：老師，我補(bǔ)充，49不是素數(shù)，它是7的倍數(shù)，七七四十九。

師：看來，我們要找出50以內(nèi)所有的素數(shù)，先將1劃掉，再將2、3、5、7的倍數(shù)劃掉（2、3、5、7本身除外），剩下的數(shù)就是素數(shù)了。

（學(xué)生直點頭表示同意）

3.思辨引發(fā)思考

師：學(xué)數(shù)學(xué)不光要知道怎么做，還要知道為什么這樣做。那么大家有沒有想過這樣一個問題，為什么只要劃掉2、3、5、7的倍數(shù)就能找全了呢？要不要劃掉4、6的倍數(shù)，8、9的倍數(shù)要考慮嗎？為什么？請獨立思考一會兒。

生：不要再考慮4、6、8、9的倍數(shù)了。因為2的倍數(shù)已經(jīng)把4的倍數(shù)全包括進(jìn)去了，2、3的倍數(shù)同時也就是6的倍數(shù)。同樣的，8、9也不要考慮了，都會重復(fù)的。

師：那么，還要不要考慮11的倍數(shù)？13呢，為什么？

生：不用，因為在50以內(nèi)，11的倍數(shù)不超過5倍，2、3、4、5倍就已經(jīng)是55了。13也是這個道理。

師：學(xué)數(shù)學(xué)就是要這樣，想一想，還可能會是什么情況，再想辦法驗證、思考，將問題考慮得更全面、更深刻。

4.體驗文明成果

師：照這樣的方法，我們能制作一張100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表（呈現(xiàn)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，并向?qū)W生呈現(xiàn)2000多年前古希臘數(shù)學(xué)家“厄拉多塞尼篩法”的數(shù)學(xué)史料）。

師：你會再根據(jù)質(zhì)數(shù)表迅速判斷以下各數(shù)哪些是合數(shù)？

33 29 63 51 79 35 53

師：請大家選擇合適的素數(shù)填寫下面的空格，使等式成立。

4=（ ）+（ ） 5=（ ）+（ ）

6=（ ）+（ ） 7=（ ）+（ ）+（ ）

8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ）+（ ）

（學(xué)生判斷、填空略）

師：（結(jié)合此題的練習(xí)）介紹了“哥德巴赫猜想”，以及陳景潤感動中國的故事和所做出的杰出貢獻(xiàn)。

四、拓展遷移綜合，實踐應(yīng)用提升

1.拓展遷移

師：請獨立完成表格（自然數(shù)1～20的表格）的填空與選擇。并說一說：觀察這張表格，你能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的數(shù)學(xué)秘密？

生：我發(fā)現(xiàn)（表格中）奇數(shù)中只有9和15是合 數(shù)，其余的都是素數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)偶數(shù)都是合數(shù)。

師：誰對他的回答有補(bǔ)充？

生：偶數(shù)除了2外，其余的都是合數(shù)。

生：最小的合數(shù)是4，最小的素數(shù)是2。

生：合數(shù)中有的是奇數(shù)，有的是偶數(shù)。

2.實踐應(yīng)用

師：接下來我們玩一個\"猜電話號碼\"的游戲，老師辦公室的電話號碼是一個七位數(shù)ABCDEFG。其中：

A：10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)（ ）

B：是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)（ ）

C：小于10的最大的偶數(shù)（ ）

D：5的最小倍數(shù)（ ）

E：比最小的偶數(shù)小2的數(shù)（ ）

F：最小的合數(shù)（ ）

G：既不是素數(shù)，也不是合數(shù)（ ）

（學(xué)生饒有興趣地猜出了電話號碼）

3.質(zhì)疑提升

師：馬上要下課了，你對本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容還能提出哪些感興趣的問題來研究？

生1：人類怎么想到要研究素數(shù)和合數(shù)的？

生2：學(xué)習(xí)素數(shù)和合數(shù)有什么用？

生3：有沒有最大的素數(shù)？

……

（陸麗萍，溧陽市外國語學(xué)校，213300）