“二分法”的教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)必修1第三章是函數(shù)與方程，本章分兩節(jié)，第一節(jié)的重點(diǎn)是通過用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識。本節(jié)又安排了3課時，第二課時是用二分法求方程的近似解，下面是我對這節(jié)課的設(shè)計。

新課程特別倡導(dǎo)用具體的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的素材引導(dǎo)學(xué)生投入教學(xué)活動。于是我模仿中央臺二套購物街欄目設(shè)計了一個猜手機(jī)價格的游戲，我先寫下一個“價格782元”的紙條，再秘密地交給一位同學(xué)，并悄悄地告訴這位同學(xué)誤差是10元，也就是說當(dāng)競猜的同學(xué)說出的價格在772元和792元之間的時候，就要恭喜這位同學(xué)猜對了，從而結(jié)束游戲。一聽說做游戲，同學(xué)們都情緒高漲，躍躍欲試。學(xué)生推薦了一位男生和一位女生來競猜。價格最初鎖定在504元到1000元之間，在“猜得高了！”“低了！”的提示下，“達(dá)標(biāo)”的價格很快被猜了出來。

我又趁機(jī)用“二分法”來猜價格，因?yàn)閮r格在504元到1000元之間，所以我首先取504和1000的平均數(shù)即=752來猜，這時提示的應(yīng)該是“低了”，就可以判斷價格應(yīng)該在752到1000之間，我接著取752和1000的平均數(shù)即 ，這時提示的應(yīng)該是“高了”，這時就可以判斷價格應(yīng)該在752和876之間，我繼續(xù)取752和876的平均數(shù)即 =814，這時提示的還應(yīng)該是“高了”，我再取752與814的平均數(shù)即=783，同學(xué)們都說猜中了，如果把價格看做函數(shù)的零點(diǎn)，價格所在的范圍看成區(qū)間，那我每次取的數(shù)都是區(qū)間的中點(diǎn)，這種通過取區(qū)間的中點(diǎn)把區(qū)間一分為二，從而一步步把“價格”逼近到“達(dá)標(biāo)的范圍”的方法就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的“二分法”。然后我及時地給出“二分法”的概念。

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f（a）·f（b）<0的函數(shù) ，通過不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。給定精確度 ，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：

S1：確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）·f（b）<0，給定精確度€%^；

S2：求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)c；

S3：計算f（c）；

（1）若f（c）=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）若f（a）·f（c）<0，則令b=c（此時零點(diǎn)x0∈（a，c））；

（3）若f（c）·f（b）<0，則令a=c（此時零點(diǎn)x0∈（c，b））；

S4：判斷是否達(dá)到精確度€%^：即若|a-b|<€%^，則得到零點(diǎn)的近似值a（或b）；否則重復(fù)S2—S4.

讓學(xué)生結(jié)合競猜價格的實(shí)例類比掌握用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟。競猜中，允許的誤差范圍相當(dāng)于什么？“高了”“低了”的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？在競猜游戲中生成“二分法”的概念。整節(jié)課都圍繞著這個游戲，運(yùn)用類比的方法展開并完成了新知的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教育不僅僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更為關(guān)注結(jié)果是如何發(fā)生、發(fā)展的。

讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際找出二分法的用途，比如喝酒令里面的猜?lián)淇伺朴螒?，還有在維修電話線中的運(yùn)用。一工人要維修一條10km長的電話線，如何迅速查出故障所在。如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點(diǎn)要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子。因此就可使用二分法：設(shè)電線兩端分別為A、B，他首先從中點(diǎn)C查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點(diǎn)D，發(fā)現(xiàn)BD正常，可見故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來看，這樣每查一次，就可以把待查線路長度縮減為一半，故經(jīng)過7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小到50－100m左右，即在一兩根電線桿附近。這樣就省了很多精力了。對于生活中一些故障排查、人員查詢等問題，都可以通過二分法的思想來處理這類問題，其過程比較省，速度比較快。二分法不僅僅可以用來求解函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根，這在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用，其思想方法在生活中經(jīng)常碰到。在解答以上這類實(shí)際問題關(guān)鍵在于分析二分法的思想及其應(yīng)用的實(shí)質(zhì)，根據(jù)實(shí)際情況加以判斷和總結(jié)，巧妙取中間，巧妙分析和縮小故障的區(qū)間，從而達(dá)到以最短的時間和最小的精力達(dá)到目的。

最后讓學(xué)生課后討論稱重問題：現(xiàn)有12個小球，從外觀上看完全相同，除了一個小球重量不合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的小球重量均相同。用一架天平，限稱三次，把這個“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重、如何稱。

二分法的思想方法除了可以用來處理生活中、數(shù)學(xué)中的對稱的問題外，還可以通過其思想方法來處理一些現(xiàn)實(shí)中的不對稱的問題，在生活中、數(shù)學(xué)中也是經(jīng)常見到，要注意二分法思想方法與實(shí)例問題之間的聯(lián)系和應(yīng)用。

這節(jié)課學(xué)生從競猜游戲中獲取了數(shù)學(xué)知識，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決了一些實(shí)際問題，不僅克服掉了學(xué)生對數(shù)學(xué)的害怕和厭惡，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動機(jī)，這對提高中學(xué)生的素質(zhì)及以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的意義。