語義真值在陳述邏輯中的運(yùn)用

摘要：通過對陳述邏輯和謂詞邏輯、語法（Syntax）、語意屬性（semantics）、真值（truth）、語句(sentences)、和特有名詞(proper names)的深入剖析，給出了4個語義真值的定理：句子的語義真值是其真假性；一個復(fù)雜表達(dá)的語義真值由其中各部分語義真值所決定；替換一個復(fù)雜表達(dá)其中一部分表達(dá)成另外一個具有相同語義真值的表達(dá)，該復(fù)雜表達(dá)的語義真值保持不變；一個特有名詞的語義真值就是其指向物體。

關(guān)鍵詞： 語義真值；陳述邏輯；語句；特有名詞；語法

[中圖分類號]：H03[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-07-0132-02

語義真值（semantic value）是弗雷格的一個重大發(fā)現(xiàn)，德語中稱之為Bedeutung。自從這個概念誕生以來就一直爭論紛紛，本文從最簡單的陳述邏輯（propositional logic）角度對其進(jìn)行討論。

1、陳述邏輯和謂詞邏輯

在邏輯學(xué)中有效命題的定義：如果一個命題是真，那么不可能出現(xiàn)所有前提都真而結(jié)論是假的情況。那么同理，一個無效命題就是前提的真值無法保證結(jié)論的真值。邏輯學(xué)一個重大任務(wù)之一就是判斷已知命題的有效性。例如：

①如果小李吃藥那么他身體就會變好

②小李吃過藥了

③小李身體會變好

上述這個命題用弗雷格的符號體系（也是現(xiàn)在通用的邏輯符號體系）來表達(dá)。假設(shè)P：小李吃過藥，Q：小李身體會變好。

同樣，“如果....那么就”用邏輯符號表達(dá)就是“...→...”，所以整個命題用邏輯符號系統(tǒng)表達(dá)：P→Q，P；所以，Q?！啊钡姆柗Q之為語義鏈接。該命題稱之為陳述命題，因為這類命題不涉及到命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)，僅僅是陳述事實.在①②③中我們只關(guān)心“小李生病”這個事實，但是對于“小李”本人是誰，小李為什么會生病，小李生病后吃藥恢復(fù)速度等一概不涉及。在這里，小李生病吃藥和小王生病吃藥是完全等效的。下面我們來看另外一個例子：

④小李是人

⑤所有人都會死

⑥所以小李會死

我們用邏輯符號來表達(dá)就是P，Q所以R。在這里我們就涉及語句內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如果“小李”換成“小貓”，那么我們就無法判斷真假。如果“所有人”換成“有的人”，同樣也無法判斷真假。對于這種涉及語句內(nèi)部的命題，稱之為謂詞命題。對應(yīng)的邏輯關(guān)系稱之為謂詞邏輯（predicate logic）。我們引入小寫字母作為謂詞邏輯的語言符號。m：小李；F：.....是人；G：......會死。那么④⑤，就可以表達(dá)成Fm，Gm。下面對⑥進(jìn)行研究。⑥可以等價成：對于任何物體：如果它是人，那么一定會死。進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成：對于任何物體：如果它是F，那么就是G。把問題代替成x，對于任何x：如果x是F，那么x是G。對于任何x，我們引入全稱量詞符號，那么所有x就可以表達(dá)成x。所以可以表達(dá)成：x：Fx→Gx。所以④⑤⑥整個就可以表示成：Fm；（m）（Fm→Gm）；因此，Gm。

這樣我們就把生活中的日常語言轉(zhuǎn)化成邏輯語言，方便研究。類似于這種邏輯（這里是三段論）我們稱之為謂詞邏輯。要注意，謂詞邏輯并不是和陳述邏輯完全不相干的邏輯而是后者的延伸，在吸收陳述邏輯的系統(tǒng)之后，謂詞邏輯還引入名詞，量詞，謂詞。比如全稱量詞和存在量詞#8707;。

2、語法（Syntax）

語法或者稱語句規(guī)則，對于一種語言來說包括兩個方面：1. 一套詞匯；2. 一套決定哪些詞匯組合是符合語法哪些是不符合的規(guī)則。對于陳述邏輯的語句規(guī)則，我們能把詞匯分類如下。

語法聯(lián)系：和“＆”“v”“-”“→”“#8596;”有一樣形狀的符號稱之為語法聯(lián)系。

語法恒量：和”P”，“Q”，“R”有一樣形狀地稱之為語法恒量。

必須要指出的是在語法規(guī)則和及其應(yīng)用中，我們只涉及外形屬性，如形狀。簡單說我們在應(yīng)用語法的時候不需要關(guān)心其每個單詞深層意義，只需要對照給定的語法規(guī)則，一個個帶入對照即可，體現(xiàn)在陳述邏輯里面就是一個人完全不需要理解“＆”“v”“-”等符號意義，只需要對照圖標(biāo)和給定的語法規(guī)則來判斷一個表達(dá)是否是謂詞邏輯。試舉例說明，首先給出判斷陳述邏輯的規(guī)則。

所有語法恒量都是符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)。

任何表達(dá)式中只含有“-”和符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，那么它一定符合謂詞邏輯語法規(guī)則。

任何表達(dá)式中只含有“→”和符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，那么它一定符合謂詞邏輯語法規(guī)則。

任何表達(dá)式中只含有“”和符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，那么它一定符合謂詞邏輯語法規(guī)則。

任何表達(dá)式中只含有“v”和符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，那么它一定符合謂詞邏輯語法規(guī)則。

任何表達(dá)式中只含有“#8596;”和符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，那么它一定符合謂詞邏輯語法規(guī)則。

任何不符合a-f的表達(dá)都不符合陳述邏輯語法規(guī)則。

那么這樣即使完全不懂這些邏輯語言符號意義，也能夠判斷一個表達(dá)是否符合陳述邏輯。試舉例

求：判斷（PQ）vR是否是陳述邏輯

解：首先根據(jù)a可以知道”P””Q””R”是符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，然后根據(jù)d知道PQ是符合陳述邏輯語法規(guī)則的表達(dá)，再根據(jù)e知道（PQ）vR是符合陳述語法規(guī)則的表達(dá)。所以（PQ）vR是陳述邏輯。

3、語意屬性（semantics）和真值（truth）

在上文所討論的語法中，我們只涉及形式化層面，如確定一個未知命題是否符合謂詞邏輯時候，只需要觀察未知命題中出現(xiàn)的表達(dá)形式外形，然后對照語法規(guī)則即可。這個過程中不涉及到任何深層次的研究。現(xiàn)在看一個命題。

⑦小王是男生，小李是女生

⑧所以小王是男生

如何判斷這個命題的真假呢？首先很明顯的是這里不僅僅涉及外形，而必須深入到命題內(nèi)部?；貞浺幌屡袛嗝}條件：如果一個命題為真，那么無論在什么條件下都不可能存在所有前提為真而結(jié)論是假的情況。所以如果要判斷一個命題真值，我們就可以把它所有的前提全部列舉下來，然后檢查是否出現(xiàn)前提是真而結(jié)論為假的情況.如果出現(xiàn)說明是非真命題，如果不出現(xiàn)說明是真命題。

⑦⑧用邏輯符號可以表達(dá)成“PQ，所以，P”。那么運(yùn)用這種辦法給出真值表如下圖：

由于這個命題的前提是PQ，所以這里前提是真只有一種情況并且結(jié)論也是真，所以這是一個真命題。那么回過來看整個判斷過程，很明顯，一個命題的真值和語義上的某個屬性有關(guān)系。⑦⑧命題表達(dá)形式是句子，那么句子的什么語義屬性能夠決定真值呢？從上述的推導(dǎo)過程，我們看到句子的真值情況（truth and falsity）起到了決定性的作用。所以這里句子的真值起到了決定命題真假情況。那么我們把句子真值這類起到?jīng)Q定命題真假情況的語義屬性稱之為語義真值，定義如下：任何表達(dá)的語義真值都是其中起到?jīng)Q定表達(dá)真假的語義屬性。

4．語句(sentences)和特有名詞(prope rnames)

在上文中我們已經(jīng)明確了語義真值的定義，下面給出兩個語義真值的定理：

定理1 句子的語義真值是其真假性。

定理2 一個復(fù)雜表達(dá)的語義真值由其中各部分語義真值所決定。

定理1在上文所舉出的例子已經(jīng)很明顯看出，一個句子中決定其真值的就是其真假性。如果這個句子是真的，那么真值為真。如果這個句子是假的，真值為假。下面來看定理2，定理2符合了我們直觀的感覺，一個復(fù)雜表達(dá)的語義真值是由其中各個部分的語義真值和它們所組合的方式確定的，這個稱之為組合原則。由此可以推導(dǎo)出定理3：

定理3 替換一個復(fù)雜表達(dá)其中一部分表達(dá)成另外一個具有相同語義真值的表達(dá)，該復(fù)雜表達(dá)的語義真值保持不變。

至此語義真值都只是涉及句子的陳述表達(dá)，下面我們要看一下另外一種表達(dá)方式：特有名詞（proper name）。請看例句：

⑨李白是唐朝人

如何來判斷這個句子的真假呢？我們的直觀判斷告訴我們，如果李白是唐朝人，那么這個句子是真。如果李白不是唐朝人，那么這個句子是假。那么李白到底是不是唐朝人就決定了這個句子的真假，既決定了這個句子的真值。那么“李白是不是唐朝人”就是這個表達(dá)的語義真值，其本質(zhì)意義說明“李白”這個名詞代表了什么。我們把這種情況命名為特有名詞。一個特有名詞的語義真值就是其“指向物體”，在這里“李白”的“指向物體”就指向我國著名的浪漫主義詩人。從而引出定理4：

定理4：一個特有名詞的語義真值就是其指向物體。

通過上述分析，語義真值在陳述邏輯中的運(yùn)用，可以通過4條定理來概述和規(guī)范。這將有助于了解語義真值在謂詞邏輯中的運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

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