高三文科數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計

摘 要： 根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及現(xiàn)代認知心理學(xué)理論，本節(jié)課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路，在尋找證明思路的過程中，學(xué)生通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.

關(guān)鍵詞： 立體幾何證明 常見招式 證明思維 教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應(yīng)用.

2.過程與方法：能應(yīng)用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題；應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路.

3.情感態(tài)度與價值觀：在尋找證明思路的過程中培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)、共同探究的精神.

【教學(xué)重點】

掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找立體幾何證明的思路.

【教學(xué)方法】

講授法、發(fā)現(xiàn)法.

【教學(xué)手段】

多媒體.

【教學(xué)流程】

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

立體幾何證明常見招式有哪些？

看到等腰就劈斷、看到中點找中點、看到垂直做垂直、電線桿和田埂、泥工師傅灌平臺、吊瓶架兩垂直、公理四傳染病、透過竹簽就垂直、三推一……

招式簡介：

看到等腰就劈斷：看到等腰三角形，連接頂點和底邊中點.

看到中點找中點：看到三角形一條邊的中點，尋找另一邊的中點并連接之.

看到垂直作垂直：看到兩個平面互相垂直，在其中一個平面內(nèi)過一個點作垂直于兩平面的交線的直線，則所作的直線與另一個平面垂直.

電線桿和田?。阂粭l直線和一個平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任一直線.

泥工師傅灌平臺：一個平面內(nèi)兩交線分別平行于另一個平面，則這另個平面平行.

吊瓶架兩垂直：一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條交線，則這條直線與平面垂直.

公理四傳染?。簝蓷l直線都與第三條直線平行，則這兩條直線平行.

透過竹簽就垂直：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

三推一：平面外的一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則平面外的直線與平面平行.

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)舊知識，自然引出新問題.

二、講授新課

例1.在三棱錐A-BCD中，AD=AC，BC=BD，求證：AB⊥CD.

分析：證明思路是什么？應(yīng)用什么招式？

要證明AB⊥CD，只需證明AB垂直于CD所在的平面.

看到AD=AC，BC=BD，用“看到等腰就劈斷” 招式.

看到CD⊥AE，CD⊥BE，用“吊瓶架兩垂直” 招式.

看到CD⊥平面ABE，用“電線桿和田埂” 招式.

證明：取CD中點E，連接AE、BE，

∵AD=AC，∴CD⊥AE，

同理CD⊥BE，

∵AE∩BE=E，

∴CD⊥平面ABE，

∵AB？奐平面ABE，

∴AB⊥CD.

小結(jié)：這是年全國高考改編題，題目簡潔明了，用三個招式就可以解決問題.

例.正方體中ABCD-A■B■C■D■，AA■=2，E為棱AA■的中點.

（Ⅰ）求證：AC■⊥B■D■；

（Ⅱ）求證：AC■∥平面B■D■E.

分析：證明思路是什么？應(yīng)用什么招式？

（Ⅰ）要證明B■D■⊥AC■，只需證明B■D■垂直于AC■所在的平面，用“吊瓶架兩垂直” 招式.

（Ⅱ）要證明AC■∥平面B■D■E，只需證明AC■平行于平面B■D■E內(nèi)的一條直線，用“看到中點找中點”、“三推一” 招式.

證明： （Ⅰ）連接AC■，交B■D■于點O，

由正方體的性質(zhì)可知AA■⊥平面AA■C■，

∵AA■⊥B■D■，又A■C■⊥B■D■，

∵AA■∩A■C■=A■，∴B■D■⊥平面AA■C■

又AC■？奐平面AA■C■，∴B■D■⊥A■C■，即AC■⊥B■D■.

（Ⅱ）連接EO，在△A■AC■中，A■E=EA，A■O=OC■，

∴EO∥AC■，又EO？奐平面B■ED■，

AC■？埭平面B■ED■，∴AC■∥平面B■D■E.

小結(jié)：這是2012年寧德市高中畢業(yè)班單科質(zhì)檢（文）試題，題目精美，用三個招式就可以解決問題.

例3.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=DE=2AB，△ACD為正三角形，且F是邊CD的中點.

（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE.

分析：證明思路是什么？應(yīng)用什么招式？

（Ⅰ）要證明AF∥平面BCE，只需證明AF平行于平面BCE內(nèi)的一條直線，用“看到中點找中點”、“三推一”、 “公理四傳染病”招式.

（Ⅱ）要證明平面BCE⊥平面CDE，只需證明平面BCE內(nèi)的一條直線與平面CDE垂直，用“看到中點找中點”、“三推一”、 “公理四傳染病”、“透過竹簽就垂直”招式.

證明： （Ⅰ）取CE中點P，連接FP，BP，

∵F為CD中點，∴FP∥DE，且FP=■DE.

又AB∥DE，且AB=■DE，AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP.

又∵AF？埭平面BCE，BP∥平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（Ⅱ）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD，

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

∴DE⊥AF，又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE，

∵BP？奐平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

小結(jié)：這是南平市屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題，題目精美，用五個招式就可以解決問題.

設(shè)計意圖：應(yīng)用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題.通過三道例題的講解，由易到難，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維尋找證明思路，培養(yǎng)學(xué)生能力.

三、課堂練習(xí)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=■，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

求證：PO⊥平面ABCD.

設(shè)計意圖：初步鞏固所學(xué)知識.

四、課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應(yīng)用，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路.

設(shè)計意圖：對本節(jié)課知識結(jié)構(gòu)進行概括，使學(xué)生對知識橫而成網(wǎng)、縱而成鏈，在招式應(yīng)用方面能用一招一式解決問題，為下一步的招式相連做準(zhǔn)備.

五、課后作業(yè)

年、年福建省高考（文）立體幾何大題.

設(shè)計意圖：鞏固所學(xué)知識.

【設(shè)計說明 】

一、設(shè)計理念

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及現(xiàn)代認知心理學(xué)理論，本節(jié)課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路.在尋找證明思路的過程中，學(xué)生通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.

二、本節(jié)內(nèi)容的地位作用

立體幾何證明常見二十四招式前半部分，是立體幾何復(fù)習(xí)課的第一課時，在教學(xué)時可以復(fù)習(xí)舊知識，又可以對后面的立體幾何證明起到承上啟下的作用.

三、教學(xué)診斷分析

學(xué)生容易理解的內(nèi)容.

立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分.

學(xué)生不容易理解的內(nèi)容.

應(yīng)用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題；應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路.

四、教學(xué)媒體的運用

適當(dāng)應(yīng)用多媒體.

【教學(xué)反思】

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實際上是一個數(shù)學(xué)認知的過程，是學(xué)生在老師的指導(dǎo)下把教材知識轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程.本節(jié)課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)思維等尋找證明思路，在尋找證明思路的過程中，學(xué)生能力得到了提高.

參考文獻：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.