由一類高數(shù)題引發(fā)的教學(xué)思考

摘 要：通過(guò)對(duì)一類高數(shù)題的解題辨析，闡述在我們的高數(shù)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想、方法和解題的教學(xué)，從而增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)定義；數(shù)學(xué)思想；解題教學(xué)

數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，其各種理論都是數(shù)學(xué)問題解決的結(jié)果。在數(shù)學(xué)的組成部分里，既包含了概念、理論和方法，同時(shí)也包含了問題和解。解題是數(shù)學(xué)的中心，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)問題在他們面前顯示出自身的價(jià)值，學(xué)生不僅通過(guò)解題掌握和鞏固雙基，而且由于數(shù)學(xué)解題重在解題的整個(gè)思考過(guò)程，所以解題能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力、運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及探索能力。正是基于數(shù)學(xué)解題在學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要地位和作用，重視解題的教學(xué)尤為重要。

高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到用定義解決問題的一類數(shù)學(xué)題，而實(shí)際情況往往是由于我們的學(xué)生忽略了一些定理、法則的運(yùn)用條件，很難將解題方法與定義聯(lián)系起來(lái)，從而導(dǎo)致一些解題的錯(cuò)誤。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，通過(guò)一些數(shù)學(xué)題求解的辨析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的不足，從而有針對(duì)性地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法和解題的教學(xué)，以達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決問題能力的目的。

例如：設(shè)f(x)=(x-a)（x）， （x）在x=a處連續(xù)，求f′(a)。

錯(cuò)解：∵ f′(x)=（x）+(x-a)′（x）， ∴f′(a)=（a）。

錯(cuò)誤原因探究：

1. 學(xué)生對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)四則運(yùn)算法則成立的條件不清楚

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

設(shè)函數(shù)u(x) 與v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u±v，uv，(v≠0)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且有

（1） (u±v)''''=u''''±v''''，

（2）(uv)''''=u''''v+uv'''' ，

（3）()''''=(v≠0)。

上述解題過(guò)程，學(xué)生就忽略了函數(shù)u(x) 與v(x)與 在點(diǎn) x處均可導(dǎo)的條件。

2. 學(xué)生忽略了函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

我們知道，函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則必有函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x處連續(xù)；但反過(guò)來(lái)，函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x處連續(xù)，而函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)x處不一定可導(dǎo)。本題中，已知 （x）在x=a處連續(xù)，但 （x）在x=a處不一定可導(dǎo)。因而就不能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，否則必將導(dǎo)致錯(cuò)誤。

正確的解法是：

用導(dǎo)數(shù)的定義求解如下：

x：a~a+Δx，Δy=f(a+Δx) -f(a)

∵ ===(a+Δx)

因?yàn)椋?x) 在x=a處連續(xù)，所以，(a+Δx)=(a)。

∴f''''(a)=（a）

又如，下面兩道題目與上題屬于同一類型問題。

（1）設(shè)f(x)=g(x)sina(x-x0)(a≥0)，其中g(shù)(x)在x0處連續(xù)，證明：f(x)在x0處的可導(dǎo)。

（2） f(x)=(x2012-1)g(x)，其中g(shù)(x)在x=1處連續(xù)，且g(1)=1，求f''''(1)。

從此類題目的求解過(guò)程中給我們以啟迪，今后，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，對(duì)運(yùn)算法則、定理、命題的講解，要特別強(qiáng)調(diào)法則、定理、命題存在的條件，對(duì)定義的形式特點(diǎn)及用定義解題更要加強(qiáng)教學(xué)，把它作為一種解題方法要傳授給學(xué)生，從而提高學(xué)生的解題能力。

（無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部）