歷年全國高考數(shù)學(xué)試卷中,都會有不少數(shù)列問題,可見,數(shù)列問題是高考的熱點題型,而遞推數(shù)列則又是數(shù)列的重要組成部分。因此,對這類問題我們有必要進(jìn)行總結(jié)、探究。以下是遞推數(shù)列的幾種變換或方法。
一、形如an+1-an=f(n) 方法:累加法
例1:在數(shù)列{an}中, a1=,an+1=an+,求an 。
解:由已知得, an+1-an==(-) ,
令n=1,2,3,…,代入后(n-1)個等式, 累加,即
(a2-a1)+(a3-a2)+…(an-an-1)=[(1-)+(-)+…+(-)]。
∴ an-a1=(1-), ∴ an=1-=。
練習(xí):已知數(shù)列an滿足a1=3, an+1= an+n,求 an 。
解:由已知得, an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,……a2-a1=1,累加得
an-a1=(n-1)+(n-2)+……2+1, ∴ an=n2-n+3。
二、形如=f(n) 方法:累積法
例2:在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an,求通項公式an 。
解:∵a1=2,an+1=an ,
∴=,=,…=。
以上(n-1)個等式左右兩邊分別相乘得=n,即an=2n且n=1時,a1=2也適合上式。
∴an=2n 。
練習(xí):a1=1, sn=,求通項公式an 。
解:由sn= ①
得2sn=(n+1)an(n≥1),∴2Sn-1=nan-1 ②
①-②得2an=(n+1)an-nan-1 即=(n≥2) 。
累積法得an=n(n∈N) 。
三、形如an=pan-1+f(n) 方法:構(gòu)造新數(shù)列
例3:已知在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1, 求an 。
解:原式可化為2n+1an+1=(2nan)+1,令bn=2nan ,
則bn+1=bn+1,于是可得bn+1-bn=(bn-bn-1)。
∴bn=3-2()n?!?an=3()n-2()n。
練習(xí): a1=2,an+1=,求通項公式an 。
解:由an+1= 得an+1an+an+1?2n+1=2n+1an?圳-=,
累加法得an= 。
四、形如an+2=pan+1+qan 方法:特征根法
例4:在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,求an。
分析:構(gòu)造方程x2=x+,x1=1,x2=-。
解:∵ an+2-an+1=an+1+an- an+1=-(an+1-an),
∴ an+1-an的公比為-,首項為a2-a1=1的等比數(shù)列,
∴ an+1-an=(-)n-1。再用累加法得an-a1=(-)0 +(-)1+…(-)n-2 =,
∴ an=1+1-(-)n-1。
練習(xí):已知數(shù)列{an} 滿足an+2=7an+1-12an,a1=1,a2=2,求an (答案an=2?3n-1-4n-1 )。
分析:構(gòu)造方程x2=7x-12,∴ x1=3,x2=4。
解:∵an+2-3an+1=4(an+1-3an),∴數(shù)列{an+1-3an} 是以4為公比的等比數(shù)列。
∴an+1-3an=-4n-1 ,同理可得an+1-4an=(-2)?3n-1,
由兩式得an=2?3n-1-4n-1 。
五、形如:a1=a,an+1= (其中p,q,r,h 均為常數(shù)) 方法:特征根法
例5:在數(shù)列{an}中, a1=3,an+1=求an 。
分析:構(gòu)造方程x=,x1=-2,x2=1。
解:∵ ==- ,
∴數(shù)列是以=為首項, -5為公比的等比數(shù)列。
∴ =(-5)n-1,化簡得an=。
練習(xí):在數(shù)列an 中, a1=4,an+1=,求an。
分析:構(gòu)造方程x=,則 x1=-2,x2=1。
解:∵===,
∴=2()n-1 ,∴an= 。
數(shù)列的通項公式的求法類型較多,歷年高考中,凡考查內(nèi)容涉及遞推關(guān)系求通項公式的都相對較難。因此,復(fù)習(xí)此內(nèi)容時,應(yīng)相應(yīng)放慢速度,并要配以適當(dāng)?shù)木毩?xí),從而讓學(xué)生很好地把握。
(沁陽市第一中學(xué))