從一道習(xí)題談發(fā)散思維能力的培養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出：“掌握數(shù)學(xué)就是善于解題?！备呖紨?shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想是“在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”，其本質(zhì)是考查學(xué)生的思想能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、利用不同的方法、思想方式去觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問(wèn)題的特定條件探索出一系列的解題思路，有意識(shí)地進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的強(qiáng)烈欲望，不斷優(yōu)化學(xué)生的思想品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》數(shù)學(xué)必修4第138頁(yè)有這樣一道題：

觀察以下各等式：

sin2300+cos2600+sin300cos600= ①

sin2200+cos2500+sin200cos500= ②

sin2150+cos2450+sin150cos450= ③

分析上述各式的共同點(diǎn)，寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明。

教師在引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律之前，需對(duì)以上三式的正確性加以解釋，借此可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方法、角度進(jìn)行思考論證。

對(duì)于①和③，學(xué)生可以將sin300=cos600=，sin150=，cos450=代入進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于②，大部分學(xué)生可能不知該如何證明，需要在教師的幫助下來(lái)完成。此時(shí)，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，從不同的角度、運(yùn)用不同的方法進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，誘發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，以達(dá)到培養(yǎng)發(fā)散思維能力的目的。

〖分析一〗在進(jìn)行三角恒等變形時(shí)，一般原則是“遇平方降冪，遇積化和（差），遇和（差）化積”。在教師的引導(dǎo)下，不僅教會(huì)了學(xué)生一種解題思路和方法，同時(shí)也激活了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

解：原式=（1-cos400）+（1+cos1000）+（sin700-sin300）

=1+（cos1000-cos400）+sin700-

=-sin700sin300+sin700

=。

〖分析二〗在三角變形中，教師要特別注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘角之間的關(guān)系，注意到500=200+300，而300的正、余弦是我們所熟知的。這樣，問(wèn)題便可迎刃而解，學(xué)生的思維再次被點(diǎn)燃，思維能力得到了提升。

解：原式=sin2200+cos2（200+300）+sin200cos（200+300）

=sin2200+cos（200+300）［cos（200+300）+sin200］

=sin2200+（cos200-sin200）（cos200+sin200）

=（sin2200+cos2200）

=。

評(píng)析：在此解法的基礎(chǔ)上，教師可啟迪學(xué)生嘗試將200變?yōu)?00-300，不僅活躍了學(xué)生思維，提高了學(xué)生的思維能力，而且使問(wèn)題順利獲解。

〖分析三〗學(xué)生的信息通過(guò)遷移便會(huì)產(chǎn)生靈感，而遷移的主要手段是聯(lián)想與類比。因此，教師要不失時(shí)機(jī)地啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，教會(huì)學(xué)生遷移。通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生的聯(lián)想，聯(lián)想到“sin2α+cos2α=1，cos2α-sin2α=cos2α”，就會(huì)有如下巧妙的解法。

解：設(shè)a=sin2200+cos2500+sin200cos500，b=cos2200+sin2500

+cos200sin500，則a+b=2+sin700，a-b=cos1000-cos400-sin300=

-sin700-，∴2a=2-=，即a=。

〖分析四〗在解決三角問(wèn)題時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題設(shè)條件給出的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行觀察、分析。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)想，構(gòu)造出與題目有關(guān)的圖形、方程或?qū)ε际降?，可使學(xué)生把原有知識(shí)和方法迅速遷移，靈活變通，進(jìn)而使學(xué)生的思維從求異、發(fā)散向創(chuàng)新推進(jìn)，對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的形成產(chǎn)生促進(jìn)作用。

解：原式 =sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200。

∵200+400+1200=1800，∴可構(gòu)造一個(gè)三角形使其三內(nèi)角分別為200、400、1200，其外接圓直徑為1，并設(shè)這三個(gè)角的對(duì)邊分別為a、b、c，則由正、余弦定理得a2+b2-2abcos1200=c2，即sin2200+

sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200

∴sin2200+cos2500+sin200cos500=

〖分析五〗變通，是發(fā)散思維的顯著標(biāo)志。教師要嘗試引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行組合、分解，誘導(dǎo)學(xué)生離開(kāi)原有思維軌道，從多方面思考問(wèn)題，進(jìn)行思維變通。教師幫助學(xué)生接通與已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，使學(xué)生作出轉(zhuǎn)換、假設(shè)、化歸、逆反等變通，不僅使學(xué)生的思維能力得到訓(xùn)練，而且產(chǎn)生了解決問(wèn)題的奇妙設(shè)想。

解：設(shè)sin200=a+b，cos500=a-b， 則a=（sin200+sin400）=cos100，b=（sin200-sin400）=-sin100，

∴原式=（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）

=3a2+b2=3（cos100）2+（-sin100）2

=（cos2100+sin2100）

=。

評(píng)析：完成此解法之后，教師可向?qū)W生提問(wèn)，如果設(shè)sin200=a-b，cos400=a+b，問(wèn)題能否解決？以此為契機(jī)，學(xué)生的潛能被挖掘，思維被激活，能力被提升。

一般規(guī)律的等式：sin2α+cos2（300+α）+sinαcos（300+α）= ④

通過(guò)以上講解，學(xué)生對(duì)④式的證明可以說(shuō)游刃有余，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。

當(dāng)然，發(fā)散思維能力的培養(yǎng)絕非教師一味講解，學(xué)生機(jī)械接收，而是重在教師的引導(dǎo)，給學(xué)生思維空間，啟發(fā)學(xué)生思考，充分挖掘?qū)W生潛能，讓學(xué)生自己探知、類比。倘若教師能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，從不同的角度、層次，順勢(shì)開(kāi)發(fā)，逆向深入，采用探索、轉(zhuǎn)化和變換、遷移和聯(lián)想、組合和分解等方法，定能開(kāi)啟學(xué)生心扉，激發(fā)學(xué)生潛能，活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)出更多的發(fā)散型思維人才。

（拉薩市第二高級(jí)中學(xué)）