懸鏈面與正螺面之間的內(nèi)在關(guān)系*

莫妮佳，紀(jì)永強(qiáng)

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

懸鏈面與正螺面之間的內(nèi)在關(guān)系*

莫妮佳，紀(jì)永強(qiáng)

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

研究了兩類著名的且極其重要的極小曲面——懸鏈面與正螺面之間的內(nèi)在聯(lián)系.得到了具有不同參數(shù)的懸鏈面和正螺面是成等角對(duì)應(yīng)，即當(dāng)懸鏈面中頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a，正螺面中的螺距變成b時(shí)（其中b是速度與角速度的比值），則懸鏈面與正螺面是成等角對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

懸鏈面；正螺面；等距等價(jià)；保角變換

MSC 2000：53C17

在微分幾何的研究中，有兩個(gè)非常重要的極小曲面，即懸鏈面和正螺面，但是這兩個(gè)曲面之間還有一種等距等價(jià)的關(guān)系.在文獻(xiàn)［1］中給出了如下定理：

定理A［1］已知懸鏈面S的方程：正螺面的方程：

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，懸鏈面和正螺面具有相同的參數(shù)a，此時(shí)它們是等距等價(jià)的.如果把正螺面中的常數(shù)a換成常數(shù)b，a≠b，那么這樣的懸鏈面和正螺面到底是什么關(guān)系？至今還沒有研究.本文給出了兩個(gè)極小曲面一定是成等角對(duì)應(yīng)的.

1 等距變換與保角變換

定義2［1］曲面S∶r＝r（u，v）上兩條相交曲線C1和C2在交點(diǎn)M0（u0，v0）的切矢量的夾角叫這兩條曲線的交角，記作 ∠（C1，C2）.

2 正螺面和懸鏈面的第一基本形式

3 定理證明

［1］紀(jì)永強(qiáng).微分幾何 ［M］.北京：高等教育出版社，2009：99，120～144，220～226.

［2］胡石玉.正螺面與懸鏈面相互貼合的圖解法 ［J］.華東工學(xué)院學(xué)報(bào)，1985，30（1）：60～65.

［3］江汝青.正螺面微分幾何的探討 ［J］.湘潭礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1987，3（1）：61～68.

［4］范榮輝，岳崇山.Frenet標(biāo)架運(yùn)動(dòng)生成曲線與曲面間的保長變換的軟件實(shí)現(xiàn)及思考 ［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，30（2）：26～29.

［5］張國榮，印鑒.應(yīng)用等距變換處理聚類分析中的隱私保護(hù) ［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2006（7）：83～86.

MSC 2000：53C17

The Inside Relation Between the Catenoid and Helicoid

MO Ni-jia，JI Yong－qiang
（Faculty of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

This paper mainly introduces the inside relation between the catenoid and helicoid.They are two types of famous and very important minimal surfaces.It proves there is a conformal mapping between the two surfaces with different parameters，when a on the catenoid means the distance between the apex and origin，and the pitch on the helicoid turns to b（b means the ratio of velocity to angular velocity）.

the catenoid；the helicoid；sometric correspondence；angle-preserving transformation

O186.11

A

1009-1734（2012）01-0023-04

2011-11-06

莫妮佳，湖州師范學(xué)院理學(xué)院2008級(jí)本科生，從事微分幾何研究.