勻質(zhì)懸鏈幾何形狀的力學(xué)研究

李玉良 黃湘茹

（閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108）

1 引言

繩索、鐵鏈、柔性電線等兩端固定，懸掛空中在自重或其他外力作用下使用時通常被稱為懸鏈，自重作用下懸鏈幾何形狀用“懸鏈線”描述.懸鏈是一類在工程力學(xué)和生產(chǎn)實際中有著廣泛應(yīng)用的工具，它可用于電力線路、水利吊裝、橋梁施工、旅游或礦山索道、懸索橋、林業(yè)集運材索道、客運貨運架空索道甚至納米技術(shù)中，因而被廣泛討論［1～3］.早在1690年由雅各布.伯努利提出，伽利略等人曾猜想這條曲線是拋物線，但后來發(fā)現(xiàn)不對，最后由約翰·伯努利解出來，萊布尼茨把它定名為懸鏈線.生活中柔繩常用來曬衣服，當(dāng)它空置時，有確定形狀；當(dāng)它放上被單時，形狀改變；當(dāng)它僅掛著若干衣架時，又是另外形狀.大量經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)懸鏈上受到的外力的大小、方向、作用點分布之一改變時，懸鏈幾何形狀也隨之改變，故探索懸鏈幾何形狀與所受外力分布關(guān)系不僅有趣而且有意義.

本文從力學(xué)原理出發(fā)，對懸鏈問題力學(xué)建模并求解；引出并探討懸鏈幾何形狀與其受到外力分布之間的關(guān)聯(lián)；最后對懸鏈線回稟的幾何參量和力學(xué)參量間的關(guān)系、計算公式給出了嚴格推導(dǎo).

2 外力作用下均質(zhì)懸鏈的幾何形狀

2.1 自重作用下均質(zhì)懸鏈的形狀

設(shè)鏈的質(zhì)量分布均勻且不隨形狀變化而改變，兩端固定在A、B 兩點，則懸鏈各微元的自重隨各處鏈元的弧長正比分布，記它的線密度為λ、鏈長為S.如圖建立坐標系，兩端點的坐標為A（a1，b1）、B（a2，b2），最低點坐標為（x0，y0）.

圖1 均質(zhì)懸鏈兩端固定時仼一鏈元x→x＋dx 受力分析

進而

即

這里，T0、λ為均質(zhì)鏈中間應(yīng)力的水平分量和線質(zhì)量密度且均是與位置無關(guān)的常量；k＝T0/λg，為懸鏈內(nèi)稟的力學(xué)參量.此方式的通解為

設(shè)懸鏈 最 低點 坐 標為 （x0，y0），則 有 初 始條 件y（x0）＝y(tǒng)0，y′（x0）＝0，特解為

故懸鏈因自重而形成的幾何形狀為雙曲函數(shù)曲線（通常被稱為懸鏈線），x＝x0是其對稱軸.顯然，它不是圓弧線也不是拋物線，但當(dāng)|x－x0|?k時，由于

由（5）推出懸鏈線函數(shù)在x＝x0附近的泰勒展開為［4］

這個結(jié)果說明拋物線是懸鏈線的一級近似，條件|x－x0|?k越滿足近似越準確.

2.2 水平均勻荷載懸鏈的形狀

懸索橋中的懸鏈，所承受的外力主要不是自重而是橋梁的重力，它在懸鏈的水平投影線上均勻施加.故假設(shè)懸鏈上任何一段質(zhì)元受到的外力，其方向豎直向下、大小沿水平方向均勻分布，即與這一段在水平軸的投影長度成正比（比例系數(shù)標記為gλ0，λ0為常量、線質(zhì)量密度量綱）.這種情況下，任意一段質(zhì)元受豎直方向的外力dF＝gλ0dx，水平方向仍滿足（1）式但豎直方向方程改變?yōu)?/p>

這里，k0＝T0/λ0g，方程化簡后為k0y″－1＝0，特解為

此時的懸鏈形狀為拋物線.

2.3 懸鏈的幾何形狀與外力分布關(guān)系

由式（5）和式（8）推斷：懸鏈的形狀與它不同位置質(zhì)元在豎直方向受到外力大小的分布密切相關(guān).若這個關(guān)系是所受外力與鏈長成正比，則懸鏈形狀為雙曲線（即懸鏈線）；若這個關(guān)系是所受外力與懸鏈水平方向投影長度成正比，則懸鏈形狀為拋物線（非懸鏈線）.懸空高壓電線豎直方向受到的外力為電線自重，滿足前者條件因而電線形狀是懸鏈線；若懸線豎直方向受力主要不是自重而是負載，如懸鏈工路橋、用于掛窗簾布的輕繩，近似滿足后者條件因而形狀接近拋物線.

一般考慮，設(shè)作用在均質(zhì)鏈上外力的線密度分布函數(shù)為dF＝gλ（x，y，y′）dx，則類似2.1節(jié)中分析，懸鏈形狀曲線為方程

3 懸鏈線內(nèi)稟參數(shù)關(guān)系

3.1 勻質(zhì)鏈一般情形

選取懸鏈形狀由懸鏈線描寫.如圖1所示，定義下列幾何參數(shù)：兩端點A、B 的水平方向和豎直方向的長度w、h，懸鏈下垂深度f

由于兩端點A、B 在懸鏈線上，所以h和懸鏈弧長S 為

由此得由懸鏈內(nèi)稟參數(shù)滿足的關(guān)系式

上式中含有懸鏈線幾何參數(shù)w、h、S（由鏈長和端點位置決定）和力學(xué)參量k（k＝T0/gλ），四者相互制約.當(dāng)均質(zhì)鏈長度（S ） 一定，兩端懸掛于固定點（即w、h 給定）時，則（1）力學(xué)參數(shù)k 確定；（2）懸鏈中各質(zhì)元間內(nèi)的水平應(yīng)力T0與鏈的線質(zhì)量密度λ成正比；（3）處于x 處質(zhì)元間內(nèi)應(yīng)力

與T0一樣與λ成正比.由（14）式，T （x） 仍然關(guān)于x＝x0對稱，最低點（x0，y0）鏈元間的內(nèi)應(yīng)力最?。礊門0），離最低點越遠鏈元之間的內(nèi)應(yīng)力越大.據(jù)此，可以定性解釋制作手工拉面時常常發(fā)生的現(xiàn)象：被手抓住兩端提起的條形面團，手握處快速變細，這樣變化隨面團向下慚慚變小，一段時間后變化停止面團形態(tài)穩(wěn)定；因為手握處的面團內(nèi)應(yīng)力開始時最大，隨著面團變細（λ↓）引起k↑（k＝T0/gλ），反過來導(dǎo)制內(nèi)應(yīng)力變?。▍⒁娛剑?4）），當(dāng)各處粗細漸變的面團間內(nèi)應(yīng)力一致時面團變化停止.

3.2 端點在同一水平面上的懸鏈線

懸鏈下垂深度

考慮懸鏈線兩端點在同一水平面上，下垂深度f、參量關(guān)系（13）式變?yōu)椋?］

上式消去雙曲函數(shù)得

從而

由上述四個公式可得出下列關(guān)于端點水平的懸鏈線的幾個結(jié)論：（1）三個幾何參量（w 、S、f）中只有兩個獨立；（2）端口的寬度（w ）、鏈長度（S） 確定，力學(xué) 參 量（k、T0、T （x） ）和 下 垂 深度（f） 隨之確定，且與鏈的材質(zhì)（λ） 無關(guān)（λ 變化被T0變化抵消）；（3）對于給定的均質(zhì)鏈（S、λ 確定），只要給定端口寬度（w ），其他參量f、k、T0與T （x） 隨之確定.

通常f?S，S 與w 同數(shù)量級，由式（16）～式（18）可推出近似公式

在精度不嚴格情況下，式（20）中公式可方便計算.

4 小結(jié)

［1］郭致星，魯束.懸鏈線模型和拋物線模型的差異性及其對ADSS設(shè)計影響［J］.電力系統(tǒng)通信，2003，（11）：35～37

［2］J.G.Bankstain，黃迅成.A note on catenary.揚州職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，13（1）：1～5

［3］刑富沖.懸鏈線馳埀度的計算方法［J］.數(shù)學(xué)的實踐和認識，2004，34（11）：98～101

［4］《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊［M］.北京：高等教育出版社，1979.57～61