單向復(fù)合材料矩形截面圓柱彈簧的自由振動(dòng)

郝 穎，虞愛(ài)民

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

彈簧作為一種重要的機(jī)械零部件被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活中的各個(gè)領(lǐng)域.隨著材料科學(xué)的發(fā)展，在工程實(shí)際中逐漸開(kāi)始使用復(fù)合材料來(lái)制備彈簧.但目前復(fù)合材料在彈簧制造領(lǐng)域的應(yīng)用還非常有限，通常只是用來(lái)加工板簧，而對(duì)于應(yīng)用范圍最廣的螺旋彈簧的研發(fā)極少［1］，所以必須對(duì)復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的振動(dòng)特性進(jìn)行深入的研究.目前只有很少的文獻(xiàn)［2－8］涉及到此類問(wèn)題.其中最重要的工作就是Yildirm［2］在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了各向異性材料空間曲桿的運(yùn)動(dòng)微分方程，但方程中沒(méi)有考慮橫截面翹曲變形的影響.之后Yildirm［3］應(yīng)用1階剪切變形理論和傳遞矩陣法對(duì)簧絲截面為圓形的單向復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，分析中考慮了軸向、剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響.Yildirm 等［4－5］又以傳遞矩陣法對(duì)層合板構(gòu)成的復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的分析.Temel等［6］基于Timoshenko梁理論采用拉普拉斯逆變換以及余函數(shù)法首次研究了由層合板構(gòu)成的復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題.?allm［7］研究了各向同性－正交各向異性材料、彈性－粘彈性材料構(gòu)成的圓柱螺旋彈簧在時(shí)變載荷激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng).?allm［8］又研究了非均勻復(fù)合材料梁的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題.由于上述研究涉及的均為簧絲截面為圓形的圓柱螺旋彈簧，因而無(wú)需考慮翹曲變形對(duì)自由振動(dòng)特性的影響.

目前在工程中使用最多的是圓形截面和矩形截面的圓柱螺旋彈簧，文獻(xiàn)［10－11］已經(jīng)研究了各向同性材料非圓截面圓柱螺旋彈簧的自由振動(dòng)問(wèn)題，計(jì)算表明，翹曲效應(yīng)對(duì)非圓截面各向同性圓柱螺旋彈簧的固有頻率有著重大的影響，在它們的動(dòng)力分析中必須加以考慮.鑒于目前對(duì)復(fù)合材料非圓截面圓柱螺旋彈簧理論研究工作的缺乏和均未考慮翹曲效應(yīng)的情況，本文首先建立了包括翹曲效應(yīng)的各向異性自然彎扭梁理論，基于文獻(xiàn)［12］所建立的翹曲模式又得到了單向復(fù)合材料矩形截面桿件圣維南扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)的解析表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出了單向復(fù)合材料非圓截面圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程，由14個(gè)1階偏微分方程組成.方程中不僅考慮了各種經(jīng)典效應(yīng)的影響，而且首次考慮了簧絲截面翹曲變形的影響.在增加了廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩2個(gè)自由度后，方程呈現(xiàn)出很強(qiáng)的剛性，因此文獻(xiàn)［13］的方法已不再適用.本文采用文獻(xiàn)［14－15］中改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法來(lái)對(duì)彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解.

1 考慮翹曲效應(yīng)的各向異性自然彎扭梁理論

1.1 幾何關(guān)系和廣義胡克定律

設(shè)各向異性自然彎扭梁橫截面形心的軌跡是1根連續(xù)的空間曲線，曲線l的切線、主法線和次法線單位矢量分別用t，n，b表示.為了考慮梁的初始扭曲，引入直角坐標(biāo)系x1ξη，如圖1所示.x1軸與曲線的切線t重合，ξ軸與曲線主法線n之間的夾角記為θ，是弧坐標(biāo)s的函數(shù).用iξ和iη表示Oξ和Oη方向的單位矢量，則［16］

式中：上標(biāo)撇號(hào)表示對(duì)弧坐標(biāo)s的微分.kξ＝k1sinθ，kη＝k1cosθ，ks＝k2＋θ′，k1，k2分別為曲線的曲率和扭率.

線彈性復(fù)合材料的廣義胡克定律定義如下：

圖1 各向異性自然彎扭梁的幾何關(guān)系Fig.1 Geometry of naturally curved and twisted beams for anisotropic materials

式中：σ1＝σs，σ2＝σξ，σ3＝ση，σ4＝τξη，σ5＝τsη，σ6＝τsξ，e1＝ess，e2＝eξξ，e3＝eηη，e4＝2eξη，e5＝2esη，e6＝2esξ，σs，σξ，ση，τξη，τsη和τsξ分別為桿件內(nèi)任意一點(diǎn)的3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)切應(yīng)力；Cij為剛度系數(shù)，i＝1，2，…，6，j＝1，2，…，6；ess，eξξ和eηη分別為相應(yīng)方向的線應(yīng)變，2eξη，2esη和2esξ分別為3個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的工程切應(yīng)變.根據(jù)經(jīng)典層合板理論［17］，應(yīng)力σi與應(yīng)變ej的關(guān)系可以簡(jiǎn)寫為

式中，系數(shù)Qij的表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.

1.2 廣義應(yīng)力－應(yīng)變方程

對(duì)于單向復(fù)合材料，經(jīng)計(jì)算可得Q15＝Q51＝Q16＝Q61＝Q56＝Q65＝0.如果假設(shè)ξ，η軸為橫截面的形心主軸且不考慮桿件的初始扭曲，則有慣性積I23＝0，kξ＝0.根據(jù)文獻(xiàn)［16］并利用式（3），梁的內(nèi)力和內(nèi)力矩可以表示為

式中：A為橫截面面積；和εη為桿軸上一點(diǎn)沿3 個(gè)方向的線應(yīng)變；ωs，ωξ和ωη為桿軸單位長(zhǎng)度的3 個(gè)相對(duì)轉(zhuǎn)角；φ 為圣維南扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)；α為廣義翹曲坐標(biāo)；Gξ和Gη為截面的剪切形狀因子.式 中

引入廣義翹曲力矩的概念，其定義為

1.3 運(yùn)動(dòng)微分方程

自然彎扭梁在考慮翹曲效應(yīng)情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程可以改寫為［16］

式中：ρ為材料密度；ps，pξ，pη分別為沿軸向和ξ，η方向單位長(zhǎng)度的分布力.

式中：I1＝I2＋I(xiàn)3，ms，mξ，mη分別為繞軸線s和繞ξ，η 軸單位長(zhǎng)度的分布力矩.廣義翹曲力矩T（s，t）對(duì)弧坐標(biāo)s的1階導(dǎo)數(shù)則為

1.4 單向復(fù)合材料矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)

注意到上述方程中有許多對(duì)翹曲函數(shù)求導(dǎo)或者求積的項(xiàng)，為了考慮橫截面的翹曲變形對(duì)圓柱螺旋彈簧振動(dòng)頻率的影響，必須得到單向復(fù)合材料矩形截面桿件翹曲函數(shù)的解析表達(dá)式.設(shè)單向復(fù)合材料矩形截面桿件如圖2所示，2a，2b分別表示矩形截面的寬度和高度.記α2＝Gxξ／Gxη，γn＝nπ／2a，cn＝，其中Gxξ，Gxη分別為Oxξ和Oxη平面內(nèi)的剪切彈性模量.根據(jù)文獻(xiàn)［12］的扭轉(zhuǎn)翹曲模式可以導(dǎo)出其翹曲函數(shù)為

圖2 單向復(fù)合材料矩形截面桿件示意Fig.2 Schematic diagram of unidirectional composite bars with rectangular cross－section

2 單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程

將式（4）～（6）中的線應(yīng)變和相對(duì)轉(zhuǎn)角用6個(gè)位移函數(shù)代入，再對(duì)式（4）～（6）聯(lián)立進(jìn)行求解，可以得到各位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)對(duì)s的1階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，然后將這個(gè)結(jié)果代入式（9），最后組合式（7）、式（8）（令ps（s，t）＝pξ（s，t）＝pη（s，t）＝ms（s，t）＝mξ（s，t）＝mη（s，t）＝0）、式（9）和7 個(gè)1 階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式即可得到單向復(fù)合材料非圓截面圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程，由14個(gè)1階（關(guān)于弧坐標(biāo)s）偏微分方程組成.

如圖3所示，圓柱螺旋彈簧的幾何關(guān)系為h＝

式中：h為彈簧的節(jié)距，R為圓柱螺旋線的半徑，α－為螺旋角，dβ為微角元素.

假設(shè)簧絲截面為矩形的圓柱螺旋彈簧作圓頻率為ω的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)［10］，則上述運(yùn)動(dòng)微分方程中許多和翹曲函數(shù)有關(guān)的積分項(xiàng)為零.利用ds＝cdβ，則上述

圖3 圓柱螺旋彈簧的幾何關(guān)系Fig.3 Geometry of a typical cylindrical helical spring

在增加了廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩2個(gè)自由度后，微分方程組呈現(xiàn)出很強(qiáng)的剛性，因此文獻(xiàn)［13］的方法已不再適用.本文采用文獻(xiàn)［14］和［15］中改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法對(duì)方程組進(jìn)行求解.

3 數(shù)值算例

設(shè)兩端固支單向復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的材料（T300／N5208）和 幾 何 性 質(zhì) 分 別 為：E1＝181.000 GPa，E2＝E3＝10.300GPa，G12＝G13＝7.170GPa，G23＝3.433GPa，μ12＝0.28，ρ＝1 600kg·m－3，其中，E1，E2，E3分別為材料在1，2，3彈性主方向上的彈性模量，G12，G13，G23分別為1－2，1－3，2－3平面內(nèi)的剪切彈性模量，μ12為單獨(dú)在2方向作用正應(yīng)力而無(wú)其他應(yīng)力分量時(shí)1方向應(yīng)變與2方向應(yīng)變之比的負(fù)值，稱為泊松比.矩形截面沿ξ方向的邊長(zhǎng)為2a，沿η方向的邊長(zhǎng)為2b.圓柱螺旋彈簧半徑R，有效圈數(shù)n，螺旋角α－，Gξ＝Gη＝0.842.

3.1 算例1

取R＝5.0mm，n＝4，α－＝5°，2a＝1.0mm，2b＝0.4mm，在對(duì)該彈簧進(jìn)行有限元分析時(shí)，將其劃分成720個(gè)Solid46實(shí)體層合單元.表1綜合了考慮與忽略翹曲影響得到的計(jì)算結(jié)果和有限元的結(jié)果.

正如表1所示，翹曲變形對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧的固有頻率有著重大的影響.可以證明考慮翹曲后彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度降低，所以求得的頻率也隨之減小.不考慮翹曲變形時(shí)，計(jì)算所得前5階頻率的平均誤差為35.76%～45.05%，而考慮翹曲變形時(shí)，計(jì)算所得平均誤差為1.32%～2.16%.顯然，在考慮了翹曲效應(yīng)后用本文方法得到的解和有限元結(jié)果吻合得很好.

表1 翹曲變形對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響Tab.1 The warping effect on frequencies of unidirectional composite cylindrical helical springs with rectangular cross－section

3.2 算例2

令R＝5.0mm，n＝4，α－＝5°，表2給出了寬高比a／b對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響.

表2 寬高比對(duì)固有頻率的影響Tab.2 The effect of the aspect ratio on frequencies Hz

3.3 算例3

令α－＝5°，n＝4，2a＝1.0mm，2b＝0.6mm.表3給出了R對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響.

表3 螺旋彈簧半徑對(duì)固有頻率的影響Tab.3 The effect of the radius of cylinder on frequencies Hz

3.4 算例4

令R＝5.0 mm，n＝4，2a＝1.0 mm，2b＝0.6 mm，表4考慮了α－對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響.

3.5 算例5

令R＝5.0 mm，α－＝5°，2a＝1.0 mm，2b＝0.6 mm.表5考慮了n對(duì)單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響.

4 結(jié)論

在單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程中首次考慮了翹曲變形的影響，數(shù)值結(jié)果表明：對(duì)于該彈簧而言，翹曲對(duì)其固有頻率具有重大的影響，是必須考慮的重要因素.

表4 螺旋角對(duì)固有頻率的影響Tab.4 The effect of helix pitch angle on frequencies Hz

表5 有效圈數(shù)對(duì)固有頻率的影響Tab.5 The effect of helix coil number on frequencies Hz

（1）隨著矩形截面面積增大，圓柱螺旋彈簧的固有頻率也隨之增大.當(dāng)截面面積相同時(shí)，截面的不同放置方式對(duì)彈簧的頻率幾乎沒(méi)有影響.

（2）隨著有效圈數(shù)增加，單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧的第2，3階頻率變得越來(lái)越接近.

（3）隨著螺旋角、有效圈數(shù)和圓柱螺旋線半徑增大，單向復(fù)合材料矩形截面圓柱螺旋彈簧的長(zhǎng)度增加，而系統(tǒng)的剛度減小，彈簧的固有頻率隨之減小.其中，螺旋角的變化對(duì)固有頻率的影響最小.

［1］ 隋剛，范勇崢，仲偉虹，等.復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的制造與實(shí)驗(yàn)研究［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2001，18（1）：46.SUI Gang，F(xiàn)AN Yongzheng，ZHONG Weihong，et al.Manufacture and experiment study of composite cylindroid spiral spring［J］.Acta Materiae Compositae Sinica，2001，18（1）：46.

［2］ Yildirm V.Governing equations of initially twisted elastic space rods made of laminated composite materials［J］.International Journal of Engineering Sciences，1999，37（8）：1007.

［3］ Yildirm V.Free vibration of uniaxial composite cylindrical helical springs with circular section［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，239（2）：321.

［4］ Yildirm V，Sancaktar E.Linear free vibration analysis of cross－ply laminated cylindrical helical springs ［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2000，42（6）：1153.

［5］ Yildirm V.A numerical study on the free vibration of symmetric cross－ply laminated cylindrical helical springs［J］.Journal of Applied Mechanics，1999，66（4）：1040.

［6］ Temel B，?allm F F，Tütüncü N.Forced vibration of composite cylindrical helical rods［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2005，47（7）：998.

［7］ ?allm F F.Dynamic analysis of viscoelastic，anisotropic curved spatial rod system ［D］. Adana： University of ?ukurova，2003.

［8］ ?allm F F.Free and forced vibrations of non－uniform composite beams［J］.Computers ＆Structures，2009，88（3）：413.

［9］ Kiral E，Ertepinar A.Studies on elastic rods subject to diverse external agencies－Part III vibrational analysis of space rods［J］.Journal of Pure and Applied Science，1974，55.

［10］ Yu A M，Hao Y.Free vibration analysis of cylindrical helical springs with noncircular cross－sections［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（11）：2628.

［11］ 郝穎，虞愛(ài)民.考慮翹曲效應(yīng)的圓柱螺旋彈簧的振動(dòng)分析［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（3）：561.HAO Ying，YU Aimin.Vibration analysis of cylindrical helical springs considering warping deformation effect［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43（3）：561.

［12］ Xu R Q，He J S，Chen W Q.Saint－Venant torsion of orthotropic bars with inhomogeneous rectangular cross section［J］.Computers ＆Structures，2010，92（6）：1449.

［13］ Yildirim V，Ince N.Natural frequencies of helical springs of arbitrary shape［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，204（2）：311.

［14］ 劉保國(guó).一維不定參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的攝動(dòng)Riccati傳遞矩陣方法及其應(yīng)用［D］.重慶：重慶大學(xué)，2002.LIU Baoguo.Perturbation Riccati transfer matrix method for one dimensional structure with parameter uncertainties and its applications［D］.Chongqing：Chongqing University，2002.

［15］ 王正.Riccati傳遞矩陣法的奇點(diǎn)及其消除方法［J］.振動(dòng)與沖擊，1987，2（22）：74.WANG Zheng.The singularity and its eliminating methods of Riccati transfer matrix method［J］.Journal of Vibration and Shock，1987，2（22）：74.

［16］ 虞愛(ài)民，瞿志豪.自然彎曲與扭曲細(xì)長(zhǎng)梁廣義變分原理的研究［J］.上海冶金?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1994，15（3）：1.YU Aimin，QU Zhihao.The study of variational principle in naturally curved and twisted slender beams［J］.Journal of Shanghai Technical College of Metallurgy，1994，15（3）：1.

［17］ 沈觀林.復(fù)合材料力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1994.SHEN Guanlin. Mechanics of composites［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1994.