艦船輻射噪聲總聲級及總能量的統(tǒng)計分析

田 池，劉雨東，張 宇

(1．水下測控技術(shù)重點實驗室，遼寧 大連116013;2．大連測控技術(shù)研究所，遼寧 大連116013)

0 引 言

艦船輻射噪聲是由艦船上機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)和艦船運(yùn)動產(chǎn)生并輻射到水中的噪聲，它是由離開艦船一定距離的水聽器接收到的艦船噪聲。艦船輻射噪聲和一般的信號不同，一般的信號可以用1 個預(yù)先確定的時間函數(shù)來描述，而噪聲只能通過長時間的觀測來得到它的隨機(jī)變化規(guī)律。所以，噪聲是一個隨機(jī)過程。在統(tǒng)計學(xué)中，通常用1 個隨機(jī)函數(shù)來描述這種隨機(jī)過程。既然噪聲是一種隨機(jī)過程，相應(yīng)地，在某一時刻，噪聲聲壓值或置于噪聲場中的水聽器輸出端的噪聲電壓相應(yīng)地也是隨機(jī)變量［1］。艦船噪聲可以用聲壓p、質(zhì)點振速v 和聲強(qiáng)I 等基本量來描述，但為了計算方便往往將這些基本量取對數(shù)，用dB 來表示，也稱為級表示，如聲壓級、聲強(qiáng)級和質(zhì)點振速級等［2］。總聲級即為總能量取對數(shù)后的結(jié)果。

1 艦船輻射噪聲總聲級及總能量

總聲級又稱寬帶聲壓級，它是在指定頻率范圍內(nèi)，將聲壓與基準(zhǔn)值比值的平方取對數(shù)得到，其計算公式為

式中:Lp為總聲級;p 為聲壓值;p0為聲壓基準(zhǔn)值。

對于某一特定艦船來說，在相同工況下，對該艦船輻射噪聲測量得到的總聲級應(yīng)該是1 個常數(shù)。然而在實際中，因為海區(qū)環(huán)境的復(fù)雜性以及艦船上大量機(jī)械設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)，如不圓的軸或電機(jī)電樞的旋轉(zhuǎn)、往復(fù)式內(nèi)燃機(jī)氣缸中的爆炸等造成的設(shè)備耦合導(dǎo)致測得的艦船輻射噪聲信號的總聲級和總能量是1 個隨機(jī)變量。

這里，樣本數(shù)據(jù)來源于海試中對某艦船輻射噪聲多次的測量。在測量過程中，該艦船基本處于相同工況，共得到65 個樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，得到總聲級和總能量的直方圖分布如圖1 和圖2所示。

由于試驗條件有限，未能得到在相同工況下，該艦船輻射噪聲的大量樣本。但從圖中大致可以看出一些規(guī)律:總聲級的多次測量結(jié)果主要集中在中間部分，越往兩邊頻數(shù)越小，并且計算得到的總聲級多次測量值的樣本偏度為0.146 5;而總能量的多次測量結(jié)果很明顯不是關(guān)于中間部分對稱，其頻數(shù)最大值靠近前半部分，并且計算得到的總能量多次測量值的樣本偏度為0.466 9。我們知道，對于一個正態(tài)分布隨機(jī)變量，其偏度為0。因此，假設(shè)總聲級滿足正態(tài)分布，而總能量不滿足正態(tài)分布。下面對總聲級進(jìn)行驗證分析。

2 總聲級的假設(shè)檢驗

在假設(shè)檢驗問題中，如果總體的分布類型已知，其中僅含有有限個未知參數(shù)，而我們要做的只是對這些參數(shù)進(jìn)行檢驗，稱為參數(shù)檢驗問題。如果總體分布類型未知，或者知之甚少，這時所做的就是非參數(shù)假設(shè)檢驗。這里，樣本數(shù)據(jù)適用于非參數(shù)假設(shè)檢驗。下面介紹2 種常用的非參數(shù)假設(shè)檢驗，即皮爾遜χ2擬合檢驗和柯爾莫哥洛夫檢驗，分別用它們對總聲級進(jìn)行驗證分析。

2.1 皮爾遜χ2擬合檢驗

擬合檢驗又叫擬合優(yōu)度檢驗。它的一般提法是:設(shè)有一個可觀察的一維或多維的隨機(jī)變量X，X1，X2，…，Xn是X 的獨立觀察值，F(xiàn)0(x)是一個完全已知或類型已知但依賴于若干個未知參數(shù)的分布函數(shù)，其維數(shù)與X 的維數(shù)相同，要利用樣本X1，X2，…，Xn去檢驗假設(shè)

H0:X 的分布函數(shù)為F0(x)。

或者也可以這樣提:如果用分布函數(shù)F0(x)去擬合樣本X1，X2，…，Xn，則擬合的優(yōu)良程度如何。F0常稱為理論分布［3］。

在這里，理論分布我們認(rèn)為是正態(tài)分布，但其中包含若干個未知參數(shù)，這時檢驗問題為

擬合檢驗的一般步驟如下:

1)在H0成立之下，求出未知參數(shù)μ，σ 的極大似然估計;

2)適當(dāng)選擇常數(shù)a1，…，ak-1，滿足-∞ ＜a1＜a2＜… ＜ak-1＜∞把(-∞，+∞)分成k 個互不相交的區(qū)間:I1=(-∞，a1)，I2=［a1，a2)，…，Ik=［ak-1，∞)，記

3)算出Ii中樣本值的個數(shù)ni，并計算Pearson 統(tǒng)計量的值

4)查χ2分布表，找出或m-1)，這里α 為顯著性水平，m 為未知參數(shù)個數(shù);

按照擬合檢驗的一般步驟，代入總聲級多次測量數(shù)據(jù)，這里k 取值為4，m 取值為2，計算得到χ2=1.402，并根據(jù)χ2分布表，最終形成皮爾遜χ2擬合檢驗分布結(jié)果如表1所示。

表1 皮爾遜χ2擬合檢驗分布表Tab．1 The distribution forms of Pearson χ2fit test

P{當(dāng)H0為真時拒絕H0}≤α。

當(dāng)樣本容量固定時，若減小犯一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率往往增大，若要使犯2 類錯誤的概率都減小，除非增加樣本容量，在給定樣本容量的情況下，一般來說，我們總是控制犯第Ⅰ類錯誤的概率，使它不大于α，通常工程上α 取小于0.1 的值［4］。本文中，拒絕原假設(shè)成立的最大概率為0.236，滿足工程上的應(yīng)用，因此我們接受H0假設(shè)，認(rèn)為總聲級多次測量值服從正態(tài)分布。

2.2 柯爾莫哥洛夫檢驗

首先考慮假設(shè)

H0:F(x)=F0(x)，

其中，F(xiàn)0(x)是完全已知的連續(xù)型分布函數(shù)，這里我們認(rèn)為是正態(tài)分布。

我們知道，當(dāng)樣本容量n 充分大時，經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)與總體分布函數(shù)F(x)相當(dāng)接近。所以，當(dāng)H0成立且n 較大時，F(xiàn)n(x)與F0(x)的差距不應(yīng)太大。由于Fn(x)和F0(x)都是x 的單調(diào)非降函數(shù)，所以偏差的上確界可在n 個點X(i)處找，因而柯爾莫哥洛夫檢驗是先在樣本的每個順序統(tǒng)計量X(i)上求樣本經(jīng)驗函數(shù)和假設(shè)的分布函數(shù)之間的偏差中較大的一個，即求

而這n 個di中最大的一個就是柯爾莫哥洛夫檢驗統(tǒng)計量Dn的取值，即

Dn=max{d1，d2，…，dn}。

若Fn(x)與F0(x)擬合得好，則Dn的值應(yīng)比較小;反之，當(dāng)Dn較大時，F(xiàn)n(x)與F0(x)擬合得不好。

當(dāng)總體分布含有未知參數(shù)時，先估計出未知參數(shù)，然后根據(jù)Dn值的計算方法計算出對給定的顯著性水平α，檢驗規(guī)則為:若則拒絕H0，否則就接受H0。對于α=0.01，0.05，0.10，0.15，0.20，Lilliefors 給出了的臨界值［5］。

根據(jù)柯爾莫哥洛夫檢驗方法，代入總聲級的多次測量數(shù)據(jù)，計算得到，并根據(jù)的臨界值表，最終形成柯爾莫哥洛夫檢驗分布結(jié)果如表2所示。

表2 柯爾莫哥洛夫檢驗分布表Tab．2 The distribution forms of Kolmogorov test

3 艦船輻射噪聲總聲級和總能量的分布

根據(jù)上一節(jié)中的結(jié)論，可認(rèn)為總聲級多次測量值近似服從正態(tài)分布，代入樣本數(shù)據(jù)，得到總聲級X的概率密度函數(shù)為

表3 總聲級取值區(qū)間概率大小Tab．3 Probablity of the total sound level span

從表3 中可以看出，總聲級的取值主要集中在均值加減3 倍標(biāo)準(zhǔn)差之間。對于一個隨機(jī)變量X，取完對數(shù)Y=lnX，如果Y 服從正態(tài)分布，那么X 服從對數(shù)正態(tài)分布［6］。這里，已經(jīng)驗證了總聲級服從正態(tài)分布，而總聲級為總能量取對數(shù)后的結(jié)果，因此，總能量服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布和式(1)，得到總能量X′ 的概率密度函數(shù)為

其中:μ′=ln(10)/10* μ，σ′=ln(10)/10* σ。其概率密度函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 總能量取值分布Fig.3 Distribution of the total energy

從圖3 可發(fā)現(xiàn)，總能量多次測量值的分布與某一正態(tài)分布相比，其概率密度函數(shù)不對稱，概率密度函數(shù)左邊上升較快，這與圖2 中的結(jié)果類似。

4 結(jié) 語

在艦船輻射噪聲總聲級及總能量的統(tǒng)計分析研究中，根據(jù)艦船輻射噪聲總聲級和總能量多次測量值的直方圖分布結(jié)果，假設(shè)該艦船輻射噪聲總聲級多次測量值滿足正態(tài)分布，利用非參數(shù)假設(shè)檢驗中的皮爾遜χ2擬合檢驗和柯爾莫哥洛夫檢驗分別對其進(jìn)行驗證分析，結(jié)果表明總聲級近似服從正態(tài)分布。然后根據(jù)總聲級的分布，得出總能量服從對數(shù)正態(tài)分布，并分別給出它們的概率密度函數(shù)曲線。

［1］劉伯勝，雷家煜．水聲學(xué)原理［M］．哈爾濱:哈爾濱船舶工程學(xué)院出版社，1990．

LIU Bo-sheng，LEI Jia-yu．Water acoustics theory［M］．Harbin:Harbin Ship Engineering Institute Press，1990．

［2］王之程，陳宗歧，于沨，劉文帥．艦船噪聲測量與分析［M］．北京:國防工業(yè)出版社，2004．

WANG Zhi-cheng，CHEN Zong-qi，YU Feng，Liu Wenshuai．Measurement and analysis of ship noise［M］．Beijing:National Defence Industry Press，2004．

［3］吳翊，李永樂，胡慶軍．應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計［M］．長沙:國防科技大學(xué)出版社，2008．

WU Yi，LI Yong-le，HU Qing-jun．Application of mathematical statistics［M］．Changsha:National University of Defense Technology Press，2008．

［4］盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］．北京:高等教育出版社，2008．

SHENG Zhou，XIE Shi-qian，PAN Cheng-yi．Probability and mathematical statistics［M］．Beijing:Higher Education Press，2008．

［5］程興新，曹敏，胡慶軍．統(tǒng)計計算方法［M］．北京:北京大學(xué)出版社，1989．

CHENG Xing-xin，CAO Min，HU Qing-jun．The statisticical calculation method［M］．Beijing:Peking University Press，1989．

［6］劉東毅，馬逢時，毛云英，史道濟(jì)．科學(xué)計算與Matlab［M］．北京:科技出版社，2001．

LIU Dong-yi，MA Feng-shi，MAO Yun-ying，Shi Dao-ji．Scientific computing and Matlab［M］．Beijing:Science and Technology Press，2001．