一類具阻尼非線性雙曲型方程的初邊值問(wèn)題解的爆破

宋瑞麗,霍振宏,蘇 婷

(1.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院,河南 鄭州 450007; 2.中原工學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州 450007;3.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系, 河南 鄭州 451191)

非線性雙曲型方程的三維初邊值問(wèn)題

utt+k14u+k24ut+2g(2u)=0,(x,t)∈Ω×(0,T),

(1)

u=0,2u=0,(x,t)∈?Ω×(0,T),

(2)

(3)

其中,k1,k2>0,u(x,t)為未知函數(shù),RN是給定的非線性函數(shù),Ω是RN中具有光滑邊界的有界區(qū)域,表示梯度算子,2=△表示Laplace算子,4=△2表示雙調(diào)和算子,下標(biāo)t表示對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù).

方程(1)是在具有阻尼薄膜振動(dòng)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型[1-2].對(duì)于非線性雙曲型方程的初邊值問(wèn)題的解在有限時(shí)間內(nèi)失去正規(guī)性而發(fā)生爆破現(xiàn)象的研究有重要的實(shí)際意義，關(guān)于問(wèn)題(1)的其他類型的初邊值問(wèn)題或柯西問(wèn)題解的性質(zhì)有許多工作,見(jiàn)文獻(xiàn)[3-5],但解決的大都是局部解.本研究用凸性方法證明了初邊值問(wèn)題(1)～(3)不存在整體光滑解，即解必在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生爆破現(xiàn)象，并給出了一個(gè)例子.

1 整體解不存在定理

為了討論解的爆破，需要如下引理.

引理設(shè)一正的二次可導(dǎo)函數(shù)H(t)，對(duì)于t≥0，滿足不等式

(4)

其中,β>0和A1，A2≥0.

定理假設(shè)u0∈H2(Ω)，u1∈L2(Ω)，g(0)=0，G(△u0)∈L1(Ω)并且存在常數(shù)β>0使得

sg(s)≤2(2β+1)G(s)+2βk1s2， ?s∈R，

(5)

(1)E(0)<0；

E(t)=E(0)，t>0.

(6)

(7)

(8)

從(6)、(7)和假定(5)可推出:

(9)

如果E(0)<0，取α=-E(0)，那么式(9)變?yōu)?

為了完成證明，需要確定T0和t0為正常數(shù).顯然，若t0充分大，則

(10)

(11)

現(xiàn)在選擇t0足夠大，使得

(12)

和

(13)

當(dāng)T0關(guān)于t0取最小值時(shí)，有

(14)

把式(14)代入式(13)，可得有限常數(shù)T0.顯然，式(14)中的t0是正數(shù)并且滿足(10)和(12).

如果E(0)>0，取α=0，那么式(9)變?yōu)?

(15)

根據(jù)式(15)求得:

(16)

(17)

(18)

在式(18)中,對(duì)t積分，得 :

(19)

若T0充分小,注意到假定(3)可知:

(20)

(21)

因?yàn)?β2E(0)H-2β-1(0)>0，從式(19)可推出

(22)

(23)

由t*的定義知式(23)對(duì)所有的t≥0都成立.式(23)對(duì)t積分，得

選取T0使得

(24)

由式(24)知

(25)

如果取T0=A0>1，則由式(25)得:

最后，滿足 1

2 例子

現(xiàn)舉例來(lái)說(shuō)明滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)g(s)，u0(x)和u1(x)是存在的.因?yàn)槎ɡ韺?duì)于方程(1)的一維情形仍然成立，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只舉一維情形的例子.

例考慮下面的初邊值問(wèn)題:

utt+k1uxxxx+k1uxxxxt+g(uxx)xx=0,(x,t)∈(0，1)×(0,T),

(26)

u(0，t)=u(1，t)=0,uxx(0，t)=uxx(1，t)=0,t∈(0,T),

(27)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈[0，1].

(28)

分3種情形討論.

(1)E(0)<0的情形.

(29)

E(0)=-1<0，α=-E(0)=1.

(2)E(0)=0的情形.

(3)E(0)>0的情形.

取u0(x)=2(x4-2x3),u1(x)=32(x4-2x3)和g(s)=s4，那么

由上面的關(guān)系式知u0(x)∈H2(0,1)，u1(x)∈L2(0，1)，G(u0xx)∈L1(0，1)，

所以,當(dāng)β=2和k1>0時(shí)，g(s)滿足一維情形下定理中的假設(shè)式(5),于是有

(30)

因?yàn)?/p>

取1

從而滿足定理一維情形的條件，于是存在

參考文獻(xiàn)：

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