一類具有三次項(xiàng)混沌吸引子的Si′lnikov混沌

李建平，王 霞

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

混沌系統(tǒng)在很多領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，比如通信、信息處理、計(jì)算機(jī)圖像處理、圖像數(shù)據(jù)加密和信號(hào)檢測(cè)等.目前，非線性混沌系統(tǒng)的奇怪吸引子的研究是一個(gè)熱門課題，受到了越來越多的專家和學(xué)者的關(guān)注，比如Chen系統(tǒng)[1]、Lorenz系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]與Liu系統(tǒng)[4]等.文獻(xiàn)[5]給出了一類具有三次項(xiàng)的混沌吸引子，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]介紹了該系統(tǒng)混沌行為的存在性并給出了該系統(tǒng)的定性特征，但對(duì)這類系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的機(jī)制并沒有詳細(xì)給出，本研究將利用待定系數(shù)法和Si′lnikov定理解析地給出此類系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的機(jī)制.

1 平衡點(diǎn)分析

考慮如下具有三次項(xiàng)的混沌吸引子：

(1)

其中，x，y，z是狀態(tài)變量，a為實(shí)參數(shù).通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可知，系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)O(0，0，0)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O(0，0，0)處的Jacobi矩陣為：

其相關(guān)的特征方程為：

F(λ)=λ3+aλ2+1.

(2)

(3)

(4)

因此，Δ>0和(4)保證平衡點(diǎn)O(0，0，0)是一個(gè)鞍焦點(diǎn).

2 混沌運(yùn)動(dòng)的分析

考慮如下的三維自治系統(tǒng)：

(5)

其中，向量函數(shù)f(x)：R3→R3∈Cr(r≥2).Si′lnikov 同宿軌道和Si′lnikov混沌的存在性如定理1.

定理1[8]假設(shè)系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)xe是一鞍焦點(diǎn)，系統(tǒng)的Jacobi矩陣在該平衡點(diǎn)處的特征值為γ和ρ±iω，滿足如下的Si′lnikov不等式：

ω≠0，γρ<0， |γ|>|ρ|>0，

并假設(shè)存在連結(jié)xe到其自身的同宿軌道，則

(1) 存在定義在同宿軌鄰域內(nèi)的可數(shù)Smale馬蹄；

(2) 對(duì)f任意充分小的C1擾動(dòng)g，擾動(dòng)系統(tǒng)

(6)

至少存在有限的定義在同宿軌附近的Smale馬蹄；

(3) 原系統(tǒng)(5)和擾動(dòng)系統(tǒng)(6)均具有Smale馬蹄意義下的混沌.

將系統(tǒng)(1)中前兩個(gè)方程代入第三個(gè)方程，得：

(7)

如果x(t)找到的話，y(t)和z(t)也可以被x(t)所決定.因此，尋求系統(tǒng)(1)的同宿軌可轉(zhuǎn)化為尋求滿足(7)的函數(shù)x(t)=φ(t)且滿足當(dāng)t→±∞時(shí)，φ(t)→0，即可用待定系數(shù)法找到連接O點(diǎn)的同宿軌道.

即

(8)

比較上式，取等式兩邊ekαt(k≥1)的同次冪系數(shù)，得到如下結(jié)果：

當(dāng)k=1，有

α3+aα2+1=0 .

(9)

式(9)恰好是系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O處Jacobi矩陣的特征方程，故當(dāng)Δ>0時(shí)，(9)式有唯一負(fù)實(shí)根α<0，且當(dāng)k>1時(shí)，有F(kα)≡k3α3+ak2α2+1≠0.

當(dāng)t<0時(shí)，利用變量代換τ=-t(t<0)，系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(10)

把式(10)中前兩個(gè)方程帶入第三個(gè)方程中可得：

(11)

(12)

比較等式兩邊e-kβτ(k≥1)的同次冪系數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，有β3+αβ2+1=0恰好是方程(9)，故α=β.當(dāng)k>1時(shí)，同t>0情形，有b2k=0，b2k+1=Ψ2k+1(β)b12k+1，其中Ψ2k+1(β)同G2k+1(α).當(dāng)a1=b1時(shí)，Ψ2k+1(β)=G2k+1(α)，事實(shí)上，方程(12)即是方程(8).

由系統(tǒng)的對(duì)稱性，可知其同宿軌的第一個(gè)分量具有如下的形式：

(13)

由上面的討論和定理1，得到下面的定理：

定理2如果Δ>0和(4)成立，則系統(tǒng)(1)具有連接平衡點(diǎn)O自身的同宿軌道，其第一個(gè)分量具有公式(13)的形式，從而存在Smale馬蹄意義下的混沌.

3 結(jié)語

本研究討論了一類三維系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為.利用待定系數(shù)法和Si′lnikov定理詳細(xì)研究了一類具有三次項(xiàng)的混沌吸引子的混沌運(yùn)動(dòng)，證明了該系統(tǒng)的同宿軌道的存在性和Smale馬蹄意義下的混沌的存在性，并給出了同宿軌道的精確表達(dá)式，從而給出了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的判據(jù).

參考文獻(xiàn)：

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[3] Lü J,Chen G.A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002(12):659-661.

[4] Zhou X,Wu Y,Li Y,et al.Hopf bifurcation analysis of the Liu system[J].Chaos,Solitons & Fractals,2008(36):1385-1391.

[5] Malasoma J M.What is the simplest dissipative chaotic jerk equation which is parity invariant[J].Phys Lett A,2000(264):383-389.

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[8] Silva C.Si′lnikov theorem-a tutorial[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I,1993,40 (10):678-682.