基于浴盆曲線故障率函數(shù)的FFOP預(yù)計(jì)方法

馬紀(jì)明， 萬蔚， 曾聲奎

1. 北京航空航天大學(xué) 中法工程師學(xué)院， 北京 100191 2. 北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院， 北京 100191

基于浴盆曲線故障率函數(shù)的FFOP預(yù)計(jì)方法

馬紀(jì)明1，*， 萬蔚2， 曾聲奎2

1. 北京航空航天大學(xué) 中法工程師學(xué)院， 北京 100191 2. 北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院， 北京 100191

與傳統(tǒng)可靠性指標(biāo)中假設(shè)產(chǎn)品的隨機(jī)失效不可避免不同，無故障工作期(FFOP)內(nèi)產(chǎn)品不會(huì)發(fā)生任何故障(即零故障)。首先闡述了FFOP的概念內(nèi)涵、與平均故障間隔時(shí)間(MTBF)的區(qū)別和聯(lián)系，提出了一種FFOP的預(yù)計(jì)方法。該方法假設(shè)產(chǎn)品的故障率函數(shù)具有浴盆曲線特征、故障發(fā)生過程為泊松過程、產(chǎn)品具有固定的免維修工作期。然后以一種改進(jìn)的Weibull分布函數(shù)描述具有浴盆曲線函數(shù)特征產(chǎn)品的故障率?；诓此蛇^程理論，給出了FFOP的預(yù)計(jì)算法、流程和仿真驗(yàn)證手段。最后以某型無人機(jī)舵機(jī)為案例對(duì)研究方法的可用性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：FFOP與免維修工作期(MFOP)、置信度水平密切相關(guān)，及時(shí)維修的產(chǎn)品能夠保證較長(zhǎng)的FFOP。在工程應(yīng)用時(shí)，F(xiàn)FOP的確定應(yīng)綜合考慮運(yùn)行維護(hù)費(fèi)用進(jìn)行權(quán)衡。

無故障工作期； 免維修工作期； 泊松過程； 浴盆曲線； 可靠性； 舵機(jī)

無故障工作期(Failure Free Operating Period, FFOP)定義為產(chǎn)品不會(huì)發(fā)生任何故障(即零故障)的時(shí)間。對(duì)于符合設(shè)計(jì)要求、質(zhì)量合格的產(chǎn)品，往往都要求其具有一定的無故障工作期，尤其是具有高可靠性/安全性需求的系統(tǒng)，如武器裝備、核能系統(tǒng)、載人航空航天器、高速列車等。作為耐久性度量指標(biāo)，F(xiàn)FOP的長(zhǎng)短與維修費(fèi)用、保障費(fèi)用緊密相關(guān)。準(zhǔn)確預(yù)計(jì)FFOP，結(jié)合合理的維修策略，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)產(chǎn)品的充分使用，降低運(yùn)行成本。

FFOP概念最早在美國(guó)空軍頒布的軍用規(guī)范MIL-A-87244《航空電子設(shè)備完整性大綱要求》中提出[1]，其中FFOP作為耐久性參數(shù)，對(duì)傳統(tǒng)的可靠性參數(shù)進(jìn)行了補(bǔ)充，并指導(dǎo)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)。后來美國(guó)又頒布了一系列規(guī)范和指南，都對(duì)裝備的FFOP指標(biāo)有了明確的要求[2-3]。

在1996年英國(guó)國(guó)防部(Ministry of Defence, MOD)提出免維修工作期(Maintenance Free Operating Period, MFOP)的概念以后[4]，F(xiàn)FOP就通常與MFOP結(jié)合度量產(chǎn)品的耐久性。MFOP概念比FFOP嚴(yán)格，在MFOP內(nèi)，產(chǎn)品不允許出現(xiàn)任何影響性能和任務(wù)的失效事件；而FFOP內(nèi)不允許故障但允許維修活動(dòng)，F(xiàn)FOP是一系列免維修工作期的集合[5-6]。文獻(xiàn)[6]分析了英國(guó)國(guó)防部為新一代戰(zhàn)機(jī)提出的MFOP概念，與平均故障間隔時(shí)間(Mean Time Between Failures, MTBF)進(jìn)行了對(duì)比，并分別研究了基于任務(wù)可靠度和更新理論的MFOP預(yù)計(jì)方法，英國(guó)國(guó)防部計(jì)劃將MFOP概念應(yīng)用于英國(guó)的超高可靠飛行器(Ultra Reliable Aircraft，URA)和未來攻擊飛行器(Future Offensive Aircraft，F(xiàn)OA)項(xiàng)目。

當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的研究大多集中在對(duì)無故障工作期/免維修工作期(F/M-FOP)概念的闡述以及適用場(chǎng)合分析等方面[7-11]，證明了基于F/M-FOP維修策略的有效性。文獻(xiàn)[12]～文獻(xiàn)[14]假設(shè)產(chǎn)品故障為有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的離散事件，基于統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)了產(chǎn)品存在某固定長(zhǎng)度MFOP的概率。文獻(xiàn)[15]以典型機(jī)電產(chǎn)品為案例，研究故障事件為齊次泊松過程情況下FFOP的評(píng)估方法，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了合理性分析。文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]基于Petri網(wǎng)絡(luò)，使用仿真方法分析了固定MFOP系統(tǒng)的可靠度。以上研究集中在MFOP預(yù)計(jì)方法方面，沒有考慮維修策略對(duì)FFOP的影響。然而，為促進(jìn)基于FFOP維修策略的應(yīng)用，需要進(jìn)一步研究FFOP的預(yù)計(jì)方法與模型。

在很多情況下，產(chǎn)品(系統(tǒng))的F/M-FOP大多由運(yùn)行過程中隨機(jī)故障事件之間的相對(duì)位置(時(shí)間、空間距離)決定，相對(duì)位置的遠(yuǎn)近直接影響產(chǎn)品的FFOP。以圖1所示的時(shí)間(空間)區(qū)間[0,L]為例，假設(shè)系統(tǒng)是一個(gè)客戶服務(wù)系統(tǒng)，為一個(gè)客戶服務(wù)的免維修周期為s。如果兩個(gè)或者更多的客戶集中在s內(nèi)出現(xiàn)，如圖1(a)所示，則系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)過載(故障)，此系統(tǒng)的FFOP為s的概率就是P{n[t,t+s]≤1}，n[t,t+s]為[t,t+s]區(qū)間內(nèi)的客戶數(shù)量。類似的方法也可以用于分析交通處理系統(tǒng)，如圖1(b)所示，如果一個(gè)交通意外的恢復(fù)周期為s，在這段周期內(nèi)出現(xiàn)的其他意外則會(huì)導(dǎo)致?lián)矶?故障)；如果把事件區(qū)間換作一段鋼結(jié)構(gòu)(見圖1(c))或者電纜(見圖1(d))，也存在一個(gè)極限區(qū)間s，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)應(yīng)力集中點(diǎn)或缺陷次數(shù)要低于某一確定數(shù)量，否則會(huì)出現(xiàn)故障。以上案例中，客戶出現(xiàn)與事故發(fā)生時(shí)刻、應(yīng)力集中點(diǎn)及缺陷次數(shù)是互相獨(dú)立且具有隨機(jī)性的事件，但是它們之間的相對(duì)位置與產(chǎn)品(系統(tǒng))的無故障工作期密切相關(guān)。

圖1 隨機(jī)事件聚集導(dǎo)致系統(tǒng)故障Fig.1 System failures due to clustering of random events

泊松過程是描述隨機(jī)事件發(fā)生的基本數(shù)學(xué)模型之一，實(shí)際生活或自然世界中的隨機(jī)事件，大多可以用泊松過程描述[18]。對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，故障率是一個(gè)常數(shù)，壽命周期內(nèi)隨機(jī)故障事件可以用齊次泊松過程描述。然而，實(shí)踐證明，大多數(shù)產(chǎn)品的故障率隨時(shí)間變化的曲線是浴盆曲線[19]，故障率是時(shí)變函數(shù)，故障事件需要用非齊次泊松過程描述。

本文首先闡述FFOP與MFOP之間的區(qū)別與聯(lián)系，然后提出一種FFOP預(yù)計(jì)方法，預(yù)計(jì)故障率函數(shù)為浴盆曲線的產(chǎn)品的無故障工作期。該方法作了如下假設(shè)：① 故障事件服從泊松過程；② 故障率函數(shù)為浴盆曲線；③ FFOP內(nèi)允許固定周期的計(jì)劃維修，產(chǎn)品修復(fù)如新；④ 一個(gè)MFOP內(nèi)不允許有任何影響產(chǎn)品正常運(yùn)行的故障事件，一個(gè)維修恢復(fù)期(Maintenance Recovery Period，MRP)只能處理一次隨機(jī)故障。

在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上，給出了FFOP的預(yù)計(jì)方法、模型和預(yù)計(jì)步驟，并通過某型無人機(jī)舵機(jī)對(duì)所提方法進(jìn)行了應(yīng)用驗(yàn)證。

1 FFOP概念與內(nèi)涵

在MIL-A-87244中，F(xiàn)FOP被定義為故障概率達(dá)到2%的時(shí)間。圖2描述了概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)、MTBF、FFOP這3者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

圖2 壽命分布與FFOPFig.2 Life distribution and FFOP

根據(jù)FFOP和MTBF的定義，有

(1)

(2)

式中：f(t)為故障密度函數(shù)；R(t)為可靠度函數(shù)。

對(duì)于大多數(shù)產(chǎn)品來說，由于不可避免的隨機(jī)失效，圖2所示時(shí)間t0通常為0，這樣就導(dǎo)致產(chǎn)品的FFOP很短。然而對(duì)于具有高可靠性/安全性需求的系統(tǒng)，又需要具有一定長(zhǎng)度的FFOP。這個(gè)要求既可以通過設(shè)計(jì)手段降低產(chǎn)品的故障率實(shí)現(xiàn)，對(duì)于可修復(fù)產(chǎn)品，又可以通過固定周期的維護(hù)，使產(chǎn)品始終工作在比較“新”的狀態(tài)，進(jìn)而降低隨機(jī)故障事件發(fā)生的概率來實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于可修復(fù)的產(chǎn)品，F(xiàn)FOP與MFOP密切相關(guān)[10]。如果維護(hù)頻繁，并且能夠保證修復(fù)如新的話，F(xiàn)FOP會(huì)比維護(hù)不力的設(shè)備要長(zhǎng)。

建立FFOP預(yù)計(jì)模型是預(yù)計(jì)FFOP的關(guān)鍵步驟。若要使產(chǎn)品在整個(gè)工作周期[0,L]內(nèi)無故障運(yùn)行，則要求在每次故障發(fā)生前進(jìn)行維護(hù)并恢復(fù)到完好狀態(tài)。由于一個(gè)維修恢復(fù)期只能處理一次隨機(jī)故障，所以要求維修次數(shù)要和隨機(jī)故障的次數(shù)一致，并且在故障事件實(shí)際發(fā)生之前就已經(jīng)得到維修并完全修復(fù)，即第i次和第i+1次維修之間的間隔時(shí)間si,i+1小于第i次和第i+1次實(shí)際故障間隔時(shí)間Si,i+1。若在整個(gè)壽命周期[0,L]內(nèi)出現(xiàn)k次故障，設(shè)定免維修工作期MFOPi,i+1=si,i+1，那么存在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的FFOP的概率PFFOP(故障發(fā)生前都能被完全修復(fù)以避免故障實(shí)際發(fā)生的概率)為[15]

PFFOP=P(s0，1≤S0，1∩s1，2≤S1，2∩…∩·
sk-1,k≤Sk-1,k)

(3)

式中：k為故障次數(shù)。

2 FFOP的預(yù)計(jì)模型

研究對(duì)象為故障率函數(shù)類似浴盆曲線的產(chǎn)品，并且故障事件具有泊松過程特性。由于壽命分布不是指數(shù)分布，故障率隨時(shí)間變化，壽命周期內(nèi)隨機(jī)故障事件必須用非齊次泊松過程描述。

2.1 泊松過程

泊松過程具有以下特性：

1) 令N(t)為(0,t]中隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)，則有

(4)

式中：λ為故障率/故障強(qiáng)度函數(shù)。

2) 隨機(jī)事件之間的間隔時(shí)間T互相獨(dú)立并且服從指數(shù)分布特征，即

P(T>t)=e-λ t

(5)

假設(shè)隨機(jī)事件是故障事件，在t時(shí)刻，隨機(jī)故障事件導(dǎo)致的系統(tǒng)不可靠度為

F(t)=P(T

(6)

2.2 浴盆曲線的故障率函數(shù)

已有的研究成果表明，基于浴盆曲線的故障密度函數(shù)有如下形式[20]：

f(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β+
γα(1-exp((t/α)β)))

(7)

對(duì)應(yīng)的可靠度函數(shù)為

R(t)=exp(γα(1-exp((t/α)β)))

(8)

故障率函數(shù)為

λ(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β)

(9)

式中：α、β、γ均為分布函數(shù)中的參數(shù)。繪制故障率函數(shù)曲線，如圖3所示。

圖3 故障率函數(shù)曲線Fig.3 Plot of failure rate function

從圖3可以看出，產(chǎn)品的故障率明顯呈浴盆曲線特性，可以描述分布特征為浴盆曲線的產(chǎn)品故障率。

2.3 FFOP的預(yù)計(jì)步驟

研究具有浴盆曲線故障率函數(shù)的產(chǎn)品，與指數(shù)分布不同，其故障率為非常值，且導(dǎo)致故障發(fā)生為非齊次泊松過程，對(duì)比文獻(xiàn)[15]中PFFOP的計(jì)算公式，可以得到

(10)

式中：r為允許的維護(hù)次數(shù)。在進(jìn)行FFOP預(yù)計(jì)之前，需要根據(jù)式(7)～式(9)確定產(chǎn)品的λ(t)。

FFOP的預(yù)計(jì)步驟如圖4所示。

圖4 FFOP預(yù)計(jì)步驟Fig.4 Prediction steps of FFOP

按照?qǐng)D4所示的流程，對(duì)維護(hù)次數(shù)遞增，得到滿足式(11)的最大維護(hù)次數(shù)r。

(11)

FFOP的估計(jì)區(qū)間為

FFOP?[rs,(r+1)s]

(12)

對(duì)于大多數(shù)工程應(yīng)用，式(12)所描述的FFOP區(qū)間已經(jīng)足夠。更精確的預(yù)計(jì)結(jié)果可以通過在區(qū)間內(nèi)多點(diǎn)取值，由式(11)反復(fù)校驗(yàn)的方式獲取。

3 案 例

案例研究以某無人機(jī)舵機(jī)為對(duì)象。舵機(jī)是無人機(jī)飛行操縱系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)備，其發(fā)生故障會(huì)導(dǎo)致飛行任務(wù)中斷，是影響無人機(jī)FFOP的關(guān)鍵設(shè)備?；趬勖囼?yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行FFOP評(píng)定，可以幫助實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的壽命評(píng)估，為制定維修策略提供依據(jù)。表1為15臺(tái)樣本的壽命試驗(yàn)結(jié)果，表中：ti為故障前時(shí)間(Time to Failure, TTF)；F(ti)為累計(jì)分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function, CDF)。

表1 舵機(jī)失效壽命數(shù)據(jù)(N=15)Table 1 Failure life data of actuators (N=15)

根據(jù)同類產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)，得知其故障率服從浴盆曲線特征。用式(7)描述該無人機(jī)舵機(jī)的故障分布函數(shù)。

采用極大似然法估計(jì)分布參數(shù)[20]，構(gòu)造的似然函數(shù)為

(13)

式中，：n為舵機(jī)個(gè)數(shù)(全壽命試驗(yàn))，0

由于故障產(chǎn)品的樣本較少，采用近似中位秩公式計(jì)算其CDF[21]。通過求解式(14)～式(16)，得到分布函數(shù)中的參數(shù)α、β、γ。

(14)

(15)

(16)

把表1的數(shù)據(jù)代入式(14)～式(16)，利用數(shù)值分析工具，解得α=110,β=0.62,γ=1.34,代入式(8)和式(9)，可得：

(17)

(18)

根據(jù)式(2)對(duì)MTBF的定義，利用數(shù)值解法得到該無人機(jī)舵機(jī)的MTBF為406 h。

考慮無人機(jī)舵機(jī)的工作要求，設(shè)定MFOP為25 h，根據(jù)圖4所示FFOP的計(jì)算流程，將式(17)代入到式(11)，得到不同維護(hù)次數(shù)對(duì)應(yīng)的PFFOP和FFOP，具體參數(shù)見表2。

表2不同置信度對(duì)應(yīng)的FFOPs(MFOP=25h)

Table2FFOPsunderdifferentconfidencelevels(MFOP=25h)

rPFFOPFFOP/h109646258209640283309437308409233333509016358608779

對(duì)于不同的MFOP，同樣要求置信度為90%，可以得到該舵機(jī)允許的最大維護(hù)次數(shù)和FFOP如表3所示。

表3 FFOP、MFOP和最大維護(hù)次數(shù)Table 3 FFOP, MFOP and maximum maintenance times

由表3可知，若每隔30 h維修一次，則在3次維修內(nèi)仍能保證無故障工作的概率為90%；若每隔40 h維修一次，則只能在兩次維修內(nèi)保證無故障工作的概率為90%；若維修間隔增大到50 h，則舵機(jī)在維修之前無故障工作的概率就已經(jīng)降低到90%以下。這是因?yàn)槎鏅C(jī)的故障率隨著時(shí)間增大而增大，導(dǎo)致其可維護(hù)次數(shù)急劇減少，無故障工作周期隨之減小。并且，當(dāng)MFOP增大到一定期限后，舵機(jī)就不再有無故障工作周期。

只有維修間隔縮短到10 h，舵機(jī)的FFOP才能夠達(dá)到MTBF的水平(406 h)。但隨著MFOP的增大，維護(hù)(容許故障)次數(shù)逐漸減少，同時(shí)FFOP與MTBF的差異也逐漸明顯。

4 結(jié) 論

基于浴盆曲線故障率函數(shù)的FFOP預(yù)計(jì)方法，能夠預(yù)計(jì)失效過程為泊松過程，并且故障率函數(shù)服從浴盆曲線特征情況下的產(chǎn)品無故障工作期。將FFOP作為設(shè)備耐久性參數(shù)之一，可以為產(chǎn)品的壽命評(píng)估和維護(hù)策略制定提供依據(jù)。

2) 縮短MFOP是延長(zhǎng)FFOP的重要途徑。然而維護(hù)頻率的提高通常導(dǎo)致產(chǎn)品的運(yùn)行維護(hù)費(fèi)用增加，在工程應(yīng)用中，應(yīng)綜合考慮維護(hù)費(fèi)用進(jìn)行權(quán)衡，合理確定MFOP和FFOP。

通過某無人機(jī)舵機(jī)的應(yīng)用，驗(yàn)證了所提方法的可行性，可推廣應(yīng)用到對(duì)可靠性要求較高的產(chǎn)品的FFOP預(yù)計(jì)過程中。但是提出的FFOP預(yù)計(jì)方法仍然是基于概率和統(tǒng)計(jì)理論的，要求研究對(duì)象具有某種固定壽命分布，故障事件服從泊松過程的特征。對(duì)于故障率函數(shù)未知、故障事件統(tǒng)計(jì)特征不確定的場(chǎng)合，本文提出的方法并不可行。需要在深入研究產(chǎn)品的失效機(jī)理，掌握其失效的動(dòng)態(tài)演化過程前提下進(jìn)行FFOP的預(yù)計(jì)。

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FFOPPredictionMethodBasedonBathtub-shapedFailureRateFunction

MAJiming1, *,WANWei2,ZENGShengkui2

1.Sino-FrenchEngineerSchool,BeihangUniversity,Beijing100191,China2.SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Failurefreeoperatingperiod(FFOP)isdefinedasaperiodduringwhichnofailuresresultinginalossofsystemfunctionalityoccur.First,theconceptofFFOPandthedifferencebetweenFFOPandmeantimebetweenfailures(MTBF)areintroduced.Threehypothesesareheldasthepreconditionsofthepresentedmethodology.First,thefaulteventisaPossionprocess.Second,thefailureratefunctionisshapedlikeabathtubcurve.Third,constantintervalscheduledmaintenanceispermittedduringwhichtheproductmustmaintaintrouble-freefunction.AmodifiedWeibulldistributionfunctionisusedtomodelthebathtub-shapedfailureratefunction.Furthermore,basedontheprobabilityandstochasticprocessestheory,FFOPpredictionalgorithmandprocedurearedeveloped,whoseaccuracyisverifiedthroughsimulation.Finally,anactuatorisselectedasthesamplecasetovalidatethefeasibilityoftheproposedmethod.TheresultshowstheFFOPiscorrelatedwithmaintenancefreeoperatingperiod(MFOP)andthepredefinedconfidencecoefficient.ShorterMFOPwilldeliverbothhighermaintenanceandoperatingcostsandlongerFFOP.Inengineeringpractice,atradeoffbetweenFFOPandmaintenanceandoperationcostshouldbeconsidered.

failurefreeoperatingperiod;maintenancefreeoperatingperiod;Possionprocess;bathtubcurve;reliability;actuators

2011-11-30；Revised2012-02-21；Accepted2012-03-08；Publishedonline2012-03-201100

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2011-11-30;退修日期2012-02-21;錄用日期2012-03-08; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

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MaJM,WanW,ZengSK.FFOPpredictionmethodbasedonbathtub-shapedfailureratefunction.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1664-1670. 馬紀(jì)明， 萬蔚， 曾聲奎．基于浴盆曲線故障率函數(shù)的FFOP預(yù)計(jì)方法. 航空學(xué)報(bào),2012,33(9):1664-1670.

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V37； TB114.3

A

馬紀(jì)明男，博士，講師。主要研究方向：機(jī)電系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)分析，控制系統(tǒng)診斷，工業(yè)科學(xué)與技術(shù)。

Tel: 010-82339761

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萬蔚男，碩士研究生。主要研究方向：機(jī)電系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)與故障診斷。

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曾聲奎男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：系統(tǒng)科學(xué)與工程，復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)分析。

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