離散RCS的PWPF調(diào)制方式改進(jìn)及混合控制邏輯設(shè)計

陸艷輝， 張曙光

北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191

離散RCS的PWPF調(diào)制方式改進(jìn)及混合控制邏輯設(shè)計

陸艷輝， 張曙光*

北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191

可重復(fù)使用飛行器(RLV)再入控制常涉及離散的反推力控制系統(tǒng)(RCS)和連續(xù)的氣動舵面的混合控制，其中避免離散RCS出現(xiàn)極限環(huán)振蕩和混合控制的邏輯是設(shè)計的關(guān)鍵問題。為此，對應(yīng)用脈寬脈頻(PWPF)調(diào)制的離散RCS進(jìn)行極限環(huán)振蕩行為的離散描述函數(shù)法預(yù)測，推導(dǎo)極限環(huán)出現(xiàn)條件，設(shè)計了一種前置非對稱死區(qū)環(huán)節(jié)規(guī)避極限環(huán)而不損失性能，在此基礎(chǔ)上提出便于工程應(yīng)用的RCS與氣動舵面混合控制邏輯。通過對典型飛行器的控制仿真驗證表明，改進(jìn)的離散RCS的PWPF調(diào)制方式及設(shè)計的混合控制邏輯能夠獲得良好的控制效果，滿足控制要求。

再入； 反推力控制； 脈寬脈頻調(diào)制； 極限環(huán)； 混合控制邏輯

可重復(fù)使用飛行器(Reusable Launch Vehicle，RLV)穿越大氣層時，起初在高空氣動舵面效率一般很低，通常采用反推力控制系統(tǒng)(Reaction Control System, RCS)提供操縱力矩。隨著大氣密度逐漸增加，氣動舵面效率增強，逐漸過渡到應(yīng)用氣動舵面來節(jié)省RCS燃料，兩者在一段時間內(nèi)混合控制直到氣動舵面提供足夠的操縱力矩時，轉(zhuǎn)至常規(guī)的氣動舵面控制[1-2]。

RCS的基本工作機制是根據(jù)飛行操縱需求噴射高速氣體產(chǎn)生操縱力矩，最基本的控制方式為邦-邦控制或者帶死區(qū)的邦-邦控制，但是面臨著消耗燃料較多等重要問題。為此，脈沖噴射控制更有優(yōu)勢。根據(jù)輸出到RCS控制閥門的脈沖指令序列的調(diào)制方式，有脈沖寬度調(diào)制、脈沖頻率調(diào)制和脈寬脈頻調(diào)制等不同的方式[3-7]，以滿足連續(xù)的操縱力矩需求。Krovel提出了脈寬脈頻(Pulse Width Pulse Frequency, PWPF)調(diào)制器參數(shù)選擇原則和參數(shù)建議范圍[3]，McClelland將PWPF調(diào)制器與傳統(tǒng)邦-邦控制器和時間最優(yōu)邦-邦控制器進(jìn)行了比較，顯示PWPF調(diào)制器擁有較少的噴射次數(shù)、擬線性的使用特性以及較寬的設(shè)計空間等優(yōu)點[6]。由于這些優(yōu)點，PWPF調(diào)制器在工程中已得到較多的應(yīng)用，如衛(wèi)星、軌道機動飛行器等常采用PWPF調(diào)制技術(shù)進(jìn)行姿態(tài)控制[5,7-8]。

但是，PWPF調(diào)制也有不利的問題。例如，非線性特性帶來設(shè)計和分析困難，特別是可能因為附加的控制延遲產(chǎn)生極限環(huán)振蕩等系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。除了設(shè)計和分析中的非線性問題，由于飛行控制廣泛采用數(shù)字控制，Anthony和Wie分析了連續(xù)和離散PWPF調(diào)制存在的差異，并得出在一定情況下其影響不可忽視的結(jié)論[9]。當(dāng)設(shè)計不慎，極限環(huán)振蕩現(xiàn)象時有發(fā)生。另外，對于離散RCS的PWPF調(diào)制與連續(xù)舵面的混合控制問題，盡管已提出考慮約束的線性規(guī)劃、鏈?zhǔn)娇刂品峙洹⒐潭c搜索法、有效集理論和鏈?zhǔn)娇刂凭C合等算法[2,10-14]，從實際應(yīng)用的角度，也必須解決好相互激勵、切換瞬態(tài)等問題。

本文從實際需求出發(fā)，針對提高離散PWPF調(diào)制器性能、避免極限環(huán)問題，研究設(shè)計改進(jìn)方法，并應(yīng)用于RLV再入時RCS與氣動舵面的混合控制中，建立一種有效的混合邏輯。

1 PWPF調(diào)制器及其離散影響

連續(xù)PWPF調(diào)制器結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示[3-6]，根據(jù)操縱力矩需求指令r(t)(可設(shè)置前置增益進(jìn)行調(diào)節(jié))與RCS的工作狀況y(t)(即正噴、反噴和不噴，可取值為1、-1、0)的差異e(t)，驅(qū)動RCS噴射的改變，其中為了控制RCS噴射的頻度、響應(yīng)時機，設(shè)置一階濾波器、施密特觸發(fā)器(具有帶滯環(huán)的繼電器特性)。圖中：km和τm分別為一階濾波器的增益和時間常數(shù)；x(t)為輸入給施密特觸發(fā)器的一階濾波信號；Uon和Uoff分別為施密特觸發(fā)器的啟動和關(guān)閉門限。

調(diào)制器對于階躍輸入響應(yīng)如圖1(b)所示，輸出呈現(xiàn)出周期性的噴射(on)、不噴(off)特性，在一個周期內(nèi)定義噴射時間Ton與噴射和不噴射Toff總時間之比為占空比[3-6]：

DC=Ton/(Ton+Toff)

(1)

隨階躍輸入r幅值的改變，DC隨之改變，當(dāng)變化的線性度較好時，表明RCS的控制效果可用近似線性舵機等效。

實際使用時，常對輸入進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將PWPF的輸入轉(zhuǎn)換為操縱力矩需求與提供最大輸出力矩之比Mp的形式。當(dāng)DC接近操縱力矩需求與輸出力矩之比時，說明RCS具有良好的靜態(tài)跟蹤性能，進(jìn)而可將其近似為增益為1的線性舵機，為設(shè)計提供便利。

圖1 連續(xù)PWPF調(diào)制器Fig.1 Continuous PWPF modulator

具體設(shè)計中，PWPF參數(shù)的選擇需要考慮實際約束，推力器噴射頻率必須便于硬件實現(xiàn)且避開飛行器剛體的固有頻率以免共振；濾波器時間常數(shù)的選取應(yīng)保證推力器的延遲盡可能小，同時還要考慮燃料的損耗；濾波器增益的選取應(yīng)使線性區(qū)域盡可能大，即減小死區(qū)和飽和區(qū)。較大的增益和較小的時間常數(shù)可以獲得較高的調(diào)節(jié)精度，但是會增加發(fā)動機開關(guān)次數(shù)及燃料消耗；較大的施密特觸發(fā)器遲滯h=Uon-Uoff會增加占空比非線性度和最小脈沖寬度，其中最小脈沖寬度為PWPF調(diào)制器最小工作時間，可推知為[3,5]

δmin=-τmln(1-h/km)≈hτm/km

(2)

Krovel[3]和Song等[5]經(jīng)過分析后，提出了PWPF控制器參數(shù)建議范圍，綜合如表1所示。

表1PWPF調(diào)制器參數(shù)建議值[3,5]

Table1RecommendedparametervaluesforPWPFmodulator[3, 5]

kmτmUonh25?7501?0203?1002?08Uon

由于現(xiàn)代RLV飛行控制系統(tǒng)多為數(shù)字控制，直接基于離散描述的PWPF分析和設(shè)計，可以消除實現(xiàn)過程引入的附加誤差。離散PWPF調(diào)制器結(jié)構(gòu)如圖2所示，相對于圖1(a)的連續(xù)PWPF調(diào)制器，直接使用數(shù)字濾波器取代圖1(a)的一階(連續(xù))濾波器。圖中：m和n為數(shù)字濾波器的增益和時間延遲；反饋信號的引入有一拍的延遲，同時增置了增益k，便于更靈活的設(shè)計。

圖2 離散PWPF調(diào)制器Fig.2 Discrete PWPF modulator

若計算周期為Ts，可得到離散和連續(xù)參數(shù)的關(guān)系：

{m=kmTs/(2τm+Ts)

n=(2τm-Ts)/(2τm+Ts)

(3)

本文從控制精度及燃料消耗角度進(jìn)行權(quán)衡，選擇Mp的死區(qū)為11%。調(diào)制器參數(shù)初步選擇為

相應(yīng)地，最小脈沖寬度：

δmin=10.3 ms

根據(jù)RCS硬件最小開關(guān)限制時間和飛行器結(jié)構(gòu)頻率，選擇RCS指令計算周期：

Ts=60 ms

連續(xù)和離散PWPF的占空比如圖3的實線和虛線所示。可以看出，相對于連續(xù)PWPF，離散調(diào)制器靜態(tài)跟蹤精度降低，而且當(dāng)輸入小于0.5時占空比線性度較差，主要原因在于計算周期Ts與δmin不協(xié)調(diào)所致。所以，需要進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。實際上計算周期已經(jīng)實現(xiàn)了最小脈沖寬度，因此可取消滯環(huán)，取h=0，如圖中點線，線性度得到改善。在此基礎(chǔ)上調(diào)整反饋增益k，如圖中帶圈和三角符號的曲線，靜態(tài)跟蹤精度隨之改變。綜合考慮，調(diào)整后參數(shù)為

{h=0

k=0.8

進(jìn)一步，考慮動態(tài)特性，離散PWPF跟蹤幅值為50%的諧波操縱力矩輸入響應(yīng)特性如圖4所示，為了便于對比，圖中對輸入指令和輸出進(jìn)行了積分(即對比沖量矩跟蹤特性)，其中諧波頻率f=1，2，3 rad/s，可以看出，所選取的PWPF參數(shù)確保對于沖量矩指令具有良好的跟蹤性能。

圖3 PWPF占空比Fig.3 Duty cycle for PWPF modulator

圖4 離散PWPF動態(tài)跟蹤性能Fig.4 Dynamic tracking performance for discrete PWPF

2 離散PWPF的極限環(huán)振蕩和改進(jìn)設(shè)計

2.1 極限環(huán)振蕩

由于PWPF存在非線性環(huán)節(jié)，離散化后增加了系統(tǒng)延遲，從而增加了出現(xiàn)持續(xù)的自激振蕩(極限環(huán)振蕩)的可能性?；诘?節(jié)PWPF參數(shù)，當(dāng)反饋增益k=1、Ts=60 ms時，輸入幅值為1、頻率為1 rad/s的離散正弦信號，5 s后撤掉指令將會激勵圖5(a)周期為4Ts極限環(huán)；輸入離散正弦信號頻率為0.5 rad/s、幅值為1， 5 s后撤掉指令將會激勵圖5(b) 周期為4Ts極限環(huán)。其中：圖5(a)對應(yīng)的極限環(huán)類型在一個振蕩周期內(nèi)正、負(fù)繼電特性各持續(xù)1Ts，標(biāo)記為Mc=1；圖5(b)對應(yīng)的極限環(huán)類型在一個振蕩周期內(nèi)正、負(fù)繼電特性各持續(xù)2Ts，標(biāo)記為Mc=2；類似，若一個振蕩周期內(nèi)正、負(fù)繼電特性分別持續(xù)1Ts、2Ts或2Ts、1Ts，則極限環(huán)模式標(biāo)識為Mc=1/2。

圖5 離散PWPF的極限環(huán)振蕩現(xiàn)象Fig.5 Limit cycle oscillation phenomena of discrete PWPF

更廣泛地，對于PWPF非線性環(huán)節(jié)極限環(huán)周期為2Ts～5Ts的極限環(huán)模式如表2所示。

表2 可能的不同周期極限環(huán)模式Table 2 Limit cycle modes at different possible periods

對于這類帶有非線性環(huán)節(jié)的離散系統(tǒng)，這里引入離散描述函數(shù)[15-16]方法分析極限環(huán)振蕩存在范圍。離散描述函數(shù)由Kuo[15]提出，假設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦調(diào)制脈沖序列，不同于連續(xù)描述函數(shù)只考慮輸出基頻部分，而是考慮真實輸出，應(yīng)用z-變換方法進(jìn)行表達(dá)，分析非線性環(huán)節(jié)負(fù)倒離散描述函數(shù)的幅相特性，進(jìn)而得到各個離散頻率(采樣周期的整數(shù)倍)極限環(huán)存在邊界。

假設(shè)施密特觸發(fā)器輸入為正弦函數(shù),即

(4)

經(jīng)過采樣后得到正弦波調(diào)制的脈沖序列，其z-變換為

(5)

經(jīng)過施密特觸發(fā)器后，輸出序列y(t)與諧波頻率、幅值和相位等有關(guān)。根據(jù)可能的極限環(huán)振蕩模式(見表2)，對輸出進(jìn)行z-變換。以圖5(a) 輸出序列為例，則輸出序列的拉普拉斯變換為

(6)

Y*(s)的z-變換形式為

(7)

因此負(fù)倒離散描述函數(shù)為

(8)

式中：z=ejωcTs，對于圖5(a)的輸出序列，需要滿足以下幅值和相位條件才能出現(xiàn)：

(9)

因此，

(10)

根據(jù)式(10)可在復(fù)平面內(nèi)計算此型極限環(huán)振蕩的范圍，若線性環(huán)節(jié)相同頻率(對于本例為Tc=4Ts，其中Tc為極限環(huán)周期)落在此型極限環(huán)邊界內(nèi)，則會出現(xiàn)相應(yīng)類型的極限環(huán)振蕩。

根據(jù)離散描述函數(shù)[15-16]，死區(qū)環(huán)節(jié)的極限環(huán)區(qū)域在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實軸對稱。設(shè)極限環(huán)周期Tc=NcTs(Nc=2,3,…，∞)時，隨Nc增加，極限環(huán)區(qū)域?qū)②吔谪?fù)實軸；當(dāng)Nc為大于2的偶數(shù)時，以Tc=4Ts極限環(huán)區(qū)域最大，當(dāng)Nc為奇數(shù)時，Tc=3Ts極限環(huán)區(qū)域最大。根據(jù)此特點，計算周期為2Ts、3Ts和4Ts的邊界，極限環(huán)分析結(jié)果如圖6所示。其中，線性環(huán)節(jié)離散傳遞函數(shù)為

(11)

圖6 離散PWPF的描述函數(shù)分析Fig.6 Describing function analysis for discrete PWPF

由圖6可以看出，線性環(huán)節(jié)G(z)與非線性部分交疊區(qū)隨著k增加而增加。Tc=4Ts的極限環(huán)區(qū)域最大(見圖6(a)圖)，Tc=3Ts的極限環(huán)區(qū)域相對較小(見圖6(b)圖)，Tc=2Ts的極限環(huán)區(qū)域縮為-Uon沿負(fù)實軸的射線(見圖6(b)圖)；其他更大周期的極限環(huán)區(qū)域都明顯小于3Ts和4Ts情況(分別對應(yīng)奇數(shù)、偶數(shù)倍周期)。在0.5

2.2 離散PWPF極限環(huán)的改進(jìn)設(shè)計

2.1節(jié)采用離散描述函數(shù)方法預(yù)測了極限環(huán)存在范圍。如果降低增益k可回避極限環(huán)，但有時會損失性能。為此，本文設(shè)計前置非對稱死區(qū)，使得在零輸入r≡0時，前向出現(xiàn)非零值Δ(其中Δ≥0)，改變環(huán)路的對稱性，進(jìn)而用于回避極限環(huán)振蕩，如圖7所示，其中Improved PWPF塊指圖2增加可調(diào)增益k的離散PWPF調(diào)制器。

圖7 帶非對稱死區(qū)的離散PWPF調(diào)制器Fig.7 Discrete PWPF modulator with asymmetric dead zone

以圖5(a)的極限環(huán)類型為例，采用遞推方式，分析非對稱死區(qū)回避極限環(huán)的有效性。

設(shè)a為施密特觸發(fā)器節(jié)初始輸入值，b為e(t)的初始值，離散PWPF輸出序列為

y(t)=1,0,-1,0,1,0,-1,0,…

當(dāng)時間序列N=0,1,2,3,…，遞推規(guī)律如下：

(12)

(13)

由于|n|<1，數(shù)列收斂于

(14)

(15)

若存在極限環(huán)，則要求

(16)

將式(3)代入式(16)，得到

(17)

當(dāng)Δ=0時，此類極限環(huán)存在條件：

(18)

當(dāng)k確定，則此類極限環(huán)存在條件：

(19)

當(dāng)選取第1節(jié)PWPF參數(shù)，且Δ=0時，形成此類極限環(huán)條件為0.766 9≤k≤5.112 5，與描述函數(shù)法分析接近(描述函數(shù)法假設(shè)了諧波輸入，這里的遞推是準(zhǔn)確分析)。當(dāng)k=1.0時，

與圖5(a)仿真結(jié)果一致。

在特定k值下，可通過調(diào)整Δ回避極限環(huán)振蕩。例如k=0.8時，當(dāng)Uon/km>Δ>0.004 9時，不存在極限環(huán)振蕩，上界Uon/km主要考慮實際力矩需求為零時，RCS不進(jìn)行動作。

對于圖5(b)類型極限環(huán)，推導(dǎo)方式類似。綜上所述，調(diào)整前置死區(qū)可回避極限環(huán)?；诘?節(jié)PWPF基本參數(shù)，回避圖5兩種極限環(huán)的措施如表3所示。表4列出最終兩組調(diào)制器參數(shù)方案。

表3 極限環(huán)回避方法Table 3 Methods to eliminate limit cycles

表4 PWPF調(diào)制器參數(shù)方案Table 4 Scheme for PWPF modulator parameters

兩組參數(shù)方案的時域?qū)Ρ热鐖D8所示，其中動態(tài)跟蹤最大輸入為80%的諧波力矩需求，其頻率為1 rad/s。由圖可以看出，使用降低k(方案a)回避極限環(huán)，將會降低跟蹤性能；而使用加入非對稱死區(qū)方式(方案b)，則可在不損失跟蹤性能的情況下，回避極限環(huán)。因此，可選擇方案b為最終設(shè)計參數(shù)方案。

圖8 兩種回避極限環(huán)策略對比Fig.8 Comparison of two schemes to eliminate limit cycles

3 RCS與氣動舵面混合控制邏輯

PWPF調(diào)制器將離散RCS控制轉(zhuǎn)化為近似連續(xù)控制面，為設(shè)計提供了便利，而再入過程還需考慮氣動舵面與RCS混合控制。根據(jù)實際工程應(yīng)用需求，混合控制主要考慮以下因素：

1) 節(jié)省RCS燃料，優(yōu)先使用氣動舵面。

2) 不同操縱面避免相互激勵振蕩。

3) 切換瞬態(tài)小。

4) 設(shè)計與評價簡單，盡量借鑒已有經(jīng)典控制評價體系。

5) 有較好的操縱品質(zhì)。

根據(jù)以上要求，以縱向迎角控制為例，提出如圖9的混合控制邏輯。RCS與氣動舵面混合通過升降舵的操縱限幅及混合參數(shù)kblend實現(xiàn)，具體如下：

(20)

圖9 再入飛行迎角控制通道的混合邏輯Fig.9 Mix control logic of angle of attack command at re-entry flight

圖9所示控制邏輯體現(xiàn)如下特點：

1) 根據(jù)動壓調(diào)整升降舵操縱項的限幅值δe·ul和δe·ll，較小動壓時，俯仰RCS用于操縱，升降舵只用于積分配平；升降舵操縱權(quán)限隨動壓增加逐漸放開，實現(xiàn)節(jié)省燃料及不同操縱面的光滑過渡。

2) 混合參數(shù)kblend使得在升降舵操縱不足時啟用RCS，避免相互激勵振蕩。

3) 氣動舵面和RCS分時工作，可分別設(shè)計后混合，設(shè)計簡便。

4) PWPF調(diào)制器使得RCS控制近似為增益1，延遲為計算周期一半的線性連續(xù)舵機，設(shè)計較為方便。

圖10 典型GRAM95風(fēng)場剖面Fig.10 A typical wind profile from the GRAM95 model

仿真結(jié)果如圖11所示，圖中：Ma為馬赫數(shù)；H為海拔高度；α和αcmd分別為迎角和迎角指令；q為俯仰角速度；θ為俯仰角；δe為升降舵偏度，RCScmd為俯仰RCS指令。

圖11 再入飛行控制仿真結(jié)果Fig.11 Simulation for re-entry flight control

由圖11可看出，迎角跟蹤過渡態(tài)平順，穩(wěn)態(tài)誤差小。返回初始，為了跟蹤迎角指令，RCS使用較為頻繁；當(dāng)動壓大于1 kN/m2后，升降舵逐漸介入控制，RCS使用減少?？傮w而言，RCS用量及噴射次數(shù)較少；且RCS開關(guān)時，升降舵抖動幅值和頻率均較低，使得運動比較平順。

與采用優(yōu)化算法的混合控制策略相比，這里的混合分配邏輯比較簡便、通用，算法收斂性及實時性均較優(yōu)，工程應(yīng)用性強。但由于混合邏輯相對簡單，對于追求最優(yōu)化的控制目標(biāo)(如燃料最省)時，需要進(jìn)一步考慮其他優(yōu)化算法。

4 結(jié) 論

1) 為了消除離散PWPF調(diào)制器的極限環(huán)振蕩，可以增加可調(diào)反饋增益并合理調(diào)節(jié)其值，但是需要與跟蹤特性權(quán)衡考慮。本文基于離散描述函數(shù)方法有效預(yù)測了離散PWPF調(diào)制器的極限環(huán)參數(shù)范圍，所設(shè)計的前置非對稱死區(qū)與可調(diào)反饋增益結(jié)合使用，較好地兼顧了跟蹤特性和極限環(huán)抑制需求。

2) 氣動舵面和RCS分時工作，可分別設(shè)計后混合。本文設(shè)計的混合邏輯通過仿真驗證表明能夠充分滿足設(shè)計需求。

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AnImprovementonPWPFModulationofDiscreteRCSandDesignoftheBlendedControlLogic

LUYanhui,ZHANGShuguang*

SchoolofTransportationScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

There-entrycontrolofreusablelaunchvehicles(RLV)ofteninvolvesbothdiscretereactioncontrolsystem(RCS)andcontinuousaerodynamiccontrols,inwhichtheavoidanceoflimitcyclesandtheblendedcontrollogicarethekeyissuesofdesign.Inthispaperthelimitcycleoscillationbehaviorofthediscretepulse-widthandpulse-frequency(PWPF)modulationispredictedbyapplicationofthediscretedescribingfunctionanalysistechnique,theappearanceconditionsarethenderived,andanasymmetricdeadzoneisfurtherconstructedandusedintheforwardpathtoeliminatethelimitcycleoscillations,withoutperformanceloss.BasedontheimprovedPWPFmodulation,aRCSandaerodynamicsurfacesblendedcontrollogicisdesignedwithconcernonimplementation.SimulationsonthecontrolofatypicalRLVshowthattheimproveddiscretePWPFmodulationandtheblendedlogicworksatisfactorilytotherequirementsofcontrol.

re-entry;reactioncontrolsystem;pulse-widthandpulse-frequencymodulation;limitcycle;blendedcontrollogic

2012-01-13；Revised2012-02-20；Accepted2012-03-04；Publishedonline2012-03-291140

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2012-01-13;退修日期2012-02-20;錄用日期2012-03-04; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2012-03-291140

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LuYH,ZhangSG.AnimprovementonPWPFmodulationofdiscreteRCSanddesignoftheblendedcontrollogic.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1561-1570. 陸艷輝，張曙光．離散RCS的PWPF調(diào)制方式改進(jìn)及混合控制邏輯設(shè)計．航空學(xué)報,2012,33(9):1561-1570.

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1000-6893(2012)09-1561-10

V412.4

A

陸艷輝男， 博士研究生。主要研究方向： 高超聲速飛行動力學(xué)與控制。

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張曙光女， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 飛行力學(xué)與飛行控制、 復(fù)雜系統(tǒng)安全性。

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