一類二維差分方程中的混沌現(xiàn)象

戴華煒,程曉勝

(惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007)

0 引言

在某一些非線性差分方程中，存在著一種有趣的現(xiàn)象——混沌現(xiàn)象。第一個(gè)混沌模型是20世紀(jì)70年代初美國氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)的，之后，混沌現(xiàn)象便引起了學(xué)者們的極大關(guān)注和研究興趣。雖然，混沌還沒有一個(gè)公認(rèn)的普遍適用的定義，但一般地，將發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)稱為混沌[1]，混沌系統(tǒng)具有對(duì)初值的敏感性的特征。

差分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、動(dòng)力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面都有廣泛應(yīng)用[2]。二維差分方程起著從一維到高維的銜接作用，對(duì)二維差分方程的混沌研究有助于認(rèn)識(shí)和預(yù)測更復(fù)雜的高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的性態(tài)[3]。因而, 對(duì)二維差分方程中混沌現(xiàn)象的研究不論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義。

本文將研究一個(gè)二維差分方程——宿主-寄生物模型，利用分岔圖、 Lyapunov 指數(shù)圖、時(shí)間序列圖和相圖分析該方程由周期運(yùn)動(dòng)到混沌運(yùn)動(dòng)的變化過程，研究該方程的混沌現(xiàn)象。

1 二維差分方程——宿主-寄生物模型

生態(tài)系統(tǒng)中對(duì)于單種群模型已有不少研究，而對(duì)種間相互作用的種群模型的研究主要集中在含有兩個(gè)變量的時(shí)間連續(xù)的相互作用的Lotka-Volterra種群模型，但Nicholson與Bailey認(rèn)為Lotka-Volterra種群模型沒有考慮種內(nèi)競爭效應(yīng)，不適用于離散世代物種，于是建立了以宿主-寄生蜂系統(tǒng)為對(duì)象的Nicholson- Bailey模型。種群生態(tài)學(xué)家又改進(jìn)Nicholson- Bailey模型，提出了各種離散世代的宿主-寄生物模型[4]。

本文所要研究的二維差分方程如下：

(1)

其中，Nt,Pt分別為宿主和寄生物在世代t的種群個(gè)體數(shù)；Nt+1,Pt+1分別為宿主和寄生物在世代t+1的種群個(gè)體數(shù)；r為宿主的內(nèi)稟增長率；a為寄生物的搜尋效率；K為環(huán)境容納量。

該二維差分方程為各種離散世代的宿主-寄生物模型中的一種，是生態(tài)學(xué)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。它考慮了種群密度對(duì)種群規(guī)模增長的影響，且宿主與寄生物隨機(jī)相遇，搜尋效率與每個(gè)寄生者單位時(shí)間遇到的宿主成正比例關(guān)系。該方程形式較復(fù)雜，其動(dòng)力學(xué)行為由參數(shù)r，K，a決定。

2 分岔圖

為了研究二維差分方程(1)中的混沌現(xiàn)象，可以利用分岔圖。方程的分岔圖就是以變化的參數(shù)為橫坐標(biāo)，方程迭代的極限為縱坐標(biāo)所作的圖。這樣得到的圖形能夠觀察出方程不動(dòng)點(diǎn)、周期點(diǎn)隨參數(shù)的變化情況。我們選取r=3，K=1來觀察a的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的影響。使用MATLAB編程，初始點(diǎn)在[0,1]間隨意取值，為保證計(jì)算時(shí)方程的軌道已收斂到吸引子上，讓方程 (1) 迭代1000次，再繪制最后10個(gè)點(diǎn)，圖1是方程(1)以a為參數(shù)在區(qū)間[2，6]關(guān)于N，P的分岔圖。從圖1可以看出，圖像在a∈[2,3.22]時(shí)為一段曲線，則方程在a∈[2,3.22]時(shí)收斂，宿主與寄生物穩(wěn)定共存；方程在a=3.23時(shí)出現(xiàn)Hopf分支，在a∈[3.23,3.62]時(shí)做概周期運(yùn)動(dòng)；圖像在a∈[3.63,3.90]時(shí)突然變?yōu)樗亩吻€，即方程出現(xiàn)4周期運(yùn)動(dòng)；方程在a>3.91時(shí)，隨著a的增大，開始沒有規(guī)律性，方程逐漸進(jìn)入混沌。

圖1 2≤a≤6范圍關(guān)于N，P的分岔圖

3 Lyapunov 指數(shù)

Lyapunov 指數(shù)是目前在表征混沌運(yùn)動(dòng)方面顯示出重大意義的統(tǒng)計(jì)特征量之一，它是用來度量相空間中兩條相鄰的軌跡隨時(shí)間變化按指數(shù)規(guī)律吸引或分離的程度，指數(shù)的正負(fù)可以表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特征。正的Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)本征矢方向上的位移初始點(diǎn),其發(fā)展出來的軌道會(huì)呈指數(shù)化分離趨勢(shì)；在負(fù)的Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)本征矢方向上,相空間軌道會(huì)相互吸引趨近。因此,在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究中經(jīng)常將正的Lyapunov指數(shù)作為混沌是否出現(xiàn)的一個(gè)判據(jù)。

對(duì)于離散系統(tǒng)，Rn空間上的差分方程

xn+1=f(xn)xn∈Rn

(2)

圖2 2≤a≤5范圍的Lyapunov指數(shù)圖

從圖2中可見，當(dāng)a>4.04時(shí)，Lyapunov 指數(shù)大于零，這說明方程進(jìn)入混沌現(xiàn)象。圖2 驗(yàn)證了該二維差分方程的Lyapunov 指數(shù)圖與分岔圖吻合，該方程隨參數(shù)a在區(qū)間[2，6]的變化表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

4 時(shí)間序列圖和相圖

分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖從總體上反映了方程(1)從收斂到混沌的整個(gè)變化過程，而從方程的時(shí)間序列圖和相圖中，可以具體了解方程(1)從收斂到混沌的變化過程[7]。時(shí)間序列圖是以迭代次數(shù)為橫坐標(biāo)，方程每次迭代的值為縱坐標(biāo)所作的圖。相圖是分別以兩個(gè)變量為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，作出方程迭代軌跡的圖。時(shí)間序列圖和相圖是研究混沌現(xiàn)象的一個(gè)有用的工具。圖3～5是參數(shù)a分別等于3，3.4，5時(shí)關(guān)于N的時(shí)間序列圖及相圖。

圖3 a=3時(shí)關(guān)于N的時(shí)間序列圖及相圖

圖4 a=3.4時(shí)關(guān)于N的時(shí)間序列圖及相圖

圖5a=5時(shí)關(guān)于N的時(shí)間序列圖及相圖

從圖3～5可看出，當(dāng)a=3時(shí)，方程振蕩地收斂于一個(gè)平衡點(diǎn)，說明宿主與寄生物穩(wěn)定共存。當(dāng)a=3.4時(shí)，方程出現(xiàn)極限環(huán)。當(dāng)a=5時(shí)，方程的時(shí)間序列圖與相圖都是一片混亂，沒有規(guī)律，這說明了方程處于混沌狀態(tài)。

5 混沌現(xiàn)象

根據(jù)以上分析，二維差分方程(1)在r=3，K=1，a>4.04時(shí)逐漸進(jìn)入混沌?；煦缡怯纱_定性系統(tǒng)產(chǎn)生的貌似隨機(jī)的現(xiàn)象。一般認(rèn)為混沌現(xiàn)象有如下幾個(gè)特征[8]:

1)遍歷性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時(shí)，方程迭代的極限值是取遍整個(gè)區(qū)間的。從圖5可以看出當(dāng)a=5時(shí)，方程(1)的N值取遍了區(qū)間[0，2.5]，P值取遍了區(qū)間[0，0.9].

2)非周期運(yùn)動(dòng)性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時(shí)，方程的運(yùn)動(dòng)是非周期的。從圖3～4可以看出，當(dāng)方程不是處于混沌狀態(tài)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)是有周期性的，而從圖5看出，當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)一片混亂，沒有周期。

3)初值的敏感性。當(dāng)方程處于混沌狀態(tài)時(shí)，不管初值取值多么接近，最終迭代的結(jié)果卻會(huì)相差極大。

對(duì)初始條件的敏感性是混沌現(xiàn)象的一個(gè)典型特征，正是這一特征使得具有混沌現(xiàn)象的模型，明明是確定的系統(tǒng)，卻無法預(yù)知結(jié)果。

通過MATLAB編程，分別作出當(dāng)a=3，a=5時(shí)在初值取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時(shí)迭代200次后結(jié)果的誤差圖。圖6a，6b為所作的圖。

圖6aa=3時(shí)，初值分別取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時(shí)迭代200次結(jié)果的誤差圖 圖6ba=5時(shí)，初值分別取(0.5，0.5)與(0.50001，0.50001)時(shí)迭代200次結(jié)果的誤差圖

從圖6可以看出，當(dāng)a=3時(shí)，即方程收斂時(shí)，初值差距0.0001的迭代結(jié)果的差距也幾乎為0.當(dāng)a=5時(shí)，即方程處于混沌狀態(tài)時(shí)，初值差距0.0001的迭代結(jié)果的差距卻極大，有的甚至可以相差高達(dá)2.

混沌現(xiàn)象是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，它廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中。對(duì)混沌現(xiàn)象的研究是極其必要的，它有助于我們更加了解生活中看似無規(guī)律的現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象表明我們無法對(duì)系統(tǒng)的長期行為進(jìn)行預(yù)測，但是混沌現(xiàn)象中還是存在著規(guī)律的，因此可以利用混沌中的規(guī)律對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行短期的行為預(yù)測。

6 小結(jié)

本文研究了一個(gè)二維差分方程，且該方程為宿主-寄生物模型。通過MATLAB編程，先作出了該方程的分岔圖，找出參數(shù)在什么范圍時(shí)，方程出現(xiàn)收斂、周期和混沌。再結(jié)合 Lyapunov 指數(shù)圖從總體上分析了方程從收斂到混沌的整個(gè)變化過程，分析結(jié)果與分岔圖的分析結(jié)果吻合。接著利用時(shí)間序列圖和相圖，具體了解方程從收斂到混沌的過程。分析發(fā)現(xiàn)該方程隨著參數(shù)的變化表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，也研究了該方程的混沌現(xiàn)象，研究表明混沌現(xiàn)象具有遍歷性、非周期運(yùn)動(dòng)性、初值敏感性的特征。

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