基于遺傳算法的隨機(jī)機(jī)組組合問題求解

熊高峰， 聶坤凱， 劉喜蘋， 蔡振華， 謝上華

(1.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082；2.長沙南方職業(yè)學(xué)院信息技術(shù)系， 長沙 410208)

基于遺傳算法的隨機(jī)機(jī)組組合問題求解

熊高峰1， 聶坤凱1， 劉喜蘋2， 蔡振華1， 謝上華1

(1.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082；2.長沙南方職業(yè)學(xué)院信息技術(shù)系， 長沙 410208)

為考慮不確定性負(fù)荷對機(jī)組組合問題的影響，通過情景分析法引入一系列的情景對不確定性負(fù)荷進(jìn)行建模，建立了隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型。采用遺傳算法求解該優(yōu)化問題，可自行滿足情景簇約束。通過改進(jìn)初始種群產(chǎn)生方式和變異算子，引進(jìn)局部搜索算子對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)了算法的搜索能力。計(jì)算結(jié)果顯示了隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型和改進(jìn)遺傳算法求解方法的有效性。

情景分析； 負(fù)荷不確定性； 隨機(jī)機(jī)組組合問題； 遺傳算法

在電力系統(tǒng)中，傳統(tǒng)機(jī)組組合問題是指在滿足負(fù)荷等約束條件下合理安排機(jī)組的開/停機(jī)順序與出力以使系統(tǒng)發(fā)電成本最小。在市場環(huán)境下，它是發(fā)電商制定競標(biāo)策略和電力交易中心編制發(fā)電交易計(jì)劃的重要基礎(chǔ)。因此機(jī)組組合問題一直是電力系統(tǒng)中的一個重點(diǎn)課題。到目前為止，已提出了從簡單的啟發(fā)式方法到基于復(fù)雜數(shù)學(xué)優(yōu)化理論以及基于新型人工智能算法的多種最優(yōu)求解算法。文獻(xiàn)[1～4]對這些求解算法進(jìn)行了概括和總結(jié)。

盡管在實(shí)際中負(fù)荷是不可能精確預(yù)測的，但是在傳統(tǒng)機(jī)組組合問題的建模和求解中，負(fù)荷一般作為確定值事先給定，同時，為了應(yīng)對機(jī)組故障和負(fù)荷的不確定性，引入了旋轉(zhuǎn)備用約束條件。然而，對于系統(tǒng)調(diào)度員來說，確定由開機(jī)機(jī)組所提供的旋轉(zhuǎn)備用大小是一個難題[5]。備用的選取方法一般有兩種[2]：一是以各時段負(fù)荷值的10%為備用；二是以所有機(jī)組中輸出功率上限的最大值為備用。當(dāng)?shù)诙N方法所選擇機(jī)組的最大輸出功率在所有機(jī)組中占較大比重時，備用值也隨之取較大，與實(shí)際情況不相符。系統(tǒng)調(diào)度員必須在“高風(fēng)險-低運(yùn)行成本”和“低風(fēng)險-高運(yùn)行成本”之間進(jìn)行折中和決策。因此，基于旋轉(zhuǎn)備用的方法沒能解決好機(jī)組組合問題中機(jī)組故障和負(fù)荷的不確定性問題。

近年來，隨著數(shù)學(xué)領(lǐng)域中隨機(jī)優(yōu)化理論的不斷發(fā)展和計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的飛速提高，考慮不確定性的隨機(jī)機(jī)組組合問題開始得到日益重視。文獻(xiàn)[6]于1996年首次采用在不確定條件下處理優(yōu)化問題的隨機(jī)規(guī)劃法[7]來求解隨機(jī)機(jī)組組合問題，為該問題提供了一個嶄新的解決思路。該文通過一系列的情景來建模不確定負(fù)荷，然后建立了隨機(jī)機(jī)組組合問題的期望值數(shù)學(xué)模型，最后采用拉格朗日松弛類型的方法對該優(yōu)化問題進(jìn)行了分解和求解。隨后，國內(nèi)外眾多學(xué)者針對隨機(jī)機(jī)組組合問題提出了眾多數(shù)學(xué)模型和求解方法，如兩階段隨機(jī)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型[9]、機(jī)會約束規(guī)劃數(shù)學(xué)模型[10]、改進(jìn)的拉格朗日松弛類型求解方法[11]以及基于列生成法的求解算法[12]等。文獻(xiàn)[13]對隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型和求解算法進(jìn)行了概述。

在求解建立在情景分析基礎(chǔ)上的隨機(jī)機(jī)組組合問題時，普遍采用拉格朗日松弛類型的求解方法，此類方法處理情景簇約束時較為復(fù)雜，而且由于對偶間隙的存在使得該方法難以求得全局最優(yōu)解。本文采用改進(jìn)遺傳算法求解建立在情景分析基礎(chǔ)上的隨機(jī)機(jī)組組合問題，該方法可以自行滿足情景簇約束。實(shí)例表明本文方法是可行的。

1 隨機(jī)機(jī)組組合問題的期望值數(shù)學(xué)模型

建立在情景分析基礎(chǔ)上、考慮負(fù)荷不確定性、并且使用最為普遍的隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型是期望值數(shù)學(xué)模型，其優(yōu)化目標(biāo)是最小化在所有情景下的期望發(fā)電成本。

1.1 不確定性負(fù)荷的建模

假定系統(tǒng)調(diào)度周期為T個時刻(通常是以1 h為單位)。采用情景分析法建模不確定性負(fù)荷時，一般先假定各調(diào)度時刻t的總的電力負(fù)荷為一個定義在已知概率空間上、且服從有限離散分布的隨機(jī)變量dt(t=1，2，…，T)，則d=(d1，d2，…，dT)構(gòu)成一個T維隨機(jī)向量，d的一個實(shí)現(xiàn)值d=(d1，d2，…，dT)稱之為情景；然后，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄉ梢粋€包含有S個情景ds(s=1，2，…，S)的集合，并確定集合中每個情景在未來的發(fā)生概率Ps，所有情景的概率之和為1。理論上沒有界定情景數(shù)量的依據(jù)，為考慮計(jì)算時間，通常會根據(jù)實(shí)際情況選擇S的大小。這些情景通常通過圖1所示的情景樹來描述。如果各調(diào)度時刻t的負(fù)荷均取最大值，則稱此情景為最大負(fù)荷情景。

在每一個調(diào)度時刻t，情景索引指標(biāo)s的集合{1，2，…，S}可以被分割成稱之為情景簇的互不相交的子集。很顯然，每個情景在每個調(diào)度時刻只能屬于一個情景簇，并且，在調(diào)度時刻t的一個情景簇在其隨后的調(diào)度時刻里將被細(xì)分成更多較小的互不相交的情景簇。一般，用B(s，t)表示在調(diào)度時刻t情景s是其一個成員的情景簇。

B(s1，t)=B(s2，t)?B(s1，τ)=B(s2，τ)

τ=1，2，…，t-1

(1)

根據(jù)情景分析中的預(yù)測不可能性條件[12，14]，到調(diào)度時刻t為止為情景ds1所做的決策必須與到調(diào)度時刻t為止為情景ds2所做的決策相同。這是建立在情景分析基礎(chǔ)上的隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型中必須滿足的情景簇約束條件。

圖1 情景樹

1.2 期望值數(shù)學(xué)模型

假定系統(tǒng)中有N臺發(fā)電機(jī)組，則隨機(jī)機(jī)組組合問題的期望值數(shù)學(xué)模型[6，12]為

(2)

滿足以下約束條件：

(3)

τ=t+1，…，min{t+Li-1，T}

(4)

i=1，…，N；t=2，…，T；s=1，…，S

τ=t+1，…，min{t+li-1，T}

i=1，…，N；t=2，…，T；s=1，…，S

(5)

i=1，…，N；t=1，…，T；s=1，…，S

(6)

i=1，…，N；t=1，…，T；s=1，…，S

(7)

i=1，…，N；t=1，…，T

?s1，s2∈{1，…，S}，s1≠s2

B(s1，t)=B(s2，t)

(8)

隨機(jī)期望值數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)是最小化在所有情景下運(yùn)行成本與啟動成本之和的期望值。式(3)表示所有機(jī)組的出力之和必須滿足情景s下的電力負(fù)荷需求。注意，由于采用的是隨機(jī)數(shù)學(xué)模型，因此在約束條件中沒有必要考慮旋轉(zhuǎn)備用。式(4)和(5)分別為機(jī)組的最小開機(jī)和最小停機(jī)約束條件。式(7)為機(jī)組出力的上下限約束條件。式(8)為情景簇約束條件。

隨機(jī)期望值數(shù)學(xué)模型是一個包含有S個確定性機(jī)組組合問題的大型混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，難以求得其最優(yōu)解。它是傳統(tǒng)機(jī)組組合問題數(shù)學(xué)模型的一個推廣。如果情景樹只有一個分枝，即只有一個情景，則其就是沒有考慮旋轉(zhuǎn)備用的傳統(tǒng)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型。

(9)

2 基于遺傳算法的求解方法

(10)

這一現(xiàn)實(shí)情況的反映也促使了GA求解方法的采用?？梢圆捎肎A產(chǎn)生一定數(shù)量的候選解(調(diào)度表)，并根據(jù)期望發(fā)電成本的大小來衡量各候選解的優(yōu)劣，再通過一定世代數(shù)的選擇、交叉和變異等遺傳操作最終得到最優(yōu)解。當(dāng)采用調(diào)度表構(gòu)成GA中的個體時，可使情景簇約束條件自動得到滿足從而減少計(jì)算量。因此，本文采用一種改進(jìn)遺傳算法來求解隨機(jī)機(jī)組組合問題。

2.1 編碼

采用二進(jìn)制矩陣編碼，染色體由N行T列的二維整型數(shù)組構(gòu)成，數(shù)組中第i行t列的元素為機(jī)組i在調(diào)度時刻t的開停機(jī)狀態(tài)變量的值。

2.2 種群初始化

由于建模不確定性負(fù)荷的情景數(shù)S一般較大，因此根據(jù)測試系統(tǒng)的規(guī)模，可以采用動態(tài)規(guī)劃法或者拉格朗日松弛法求解各情景下的確定性機(jī)組組合問題，得到S個滿足各機(jī)組最小開/停機(jī)時間約束的可行調(diào)度表，由其或者其中一部分構(gòu)成GA的初始種群，以提高初始種群的質(zhì)量。

2.3 適應(yīng)度函數(shù)

評估個體的優(yōu)劣的適應(yīng)度函數(shù)為

(11)

式中，A是一個取決于測試系統(tǒng)規(guī)模的常數(shù)，用來防止適應(yīng)值太小，其大小通常與測試系統(tǒng)在調(diào)度周期內(nèi)的最大運(yùn)行成本保持在同一個數(shù)量級或更大。由于在改進(jìn)GA求解算法中采取了保證個體滿足機(jī)組最小開/停機(jī)時間約束的措施，所以Penalty用于懲罰個體在調(diào)度周期內(nèi)不滿足負(fù)荷需求時的總?cè)惫╇娏浚瑧土P系數(shù)為m$/(MW·h)。

2.4 遺傳操作

采用賭輪選擇法從父代中選擇兩個個體進(jìn)行交叉和變異操作。

1)交叉操作

由于窗式交叉和在時間軸上的兩點(diǎn)交叉都容易使新生個體不滿足機(jī)組最小開/停機(jī)時間約束，因此采用圖2所示的機(jī)組間的兩點(diǎn)交叉操作。

圖2 交叉操作

2)變異操作

提出一種能夠使變異后的個體滿足機(jī)組最小開/停機(jī)時間約束的新多點(diǎn)變異操作，具體如下。

(1)以變異概率pm在個體中隨機(jī)選擇一臺機(jī)組i。

(12)

(3)將正負(fù)符號交替的整數(shù)序列解碼轉(zhuǎn)換成該機(jī)組在各調(diào)度時刻的運(yùn)行狀態(tài)。

圖3給出一個變異示例，并假定發(fā)生變異的機(jī)組的最小開/停機(jī)時間和初始運(yùn)行狀態(tài)分別為3 h/3 h和-3 h，調(diào)度周期為24 h。

圖3 變異算子

2.5 精英策略

為避免每一代的最優(yōu)個體在進(jìn)化過程中由于遺傳操作而遭到破壞，將其直接復(fù)制到下一代中。

2.6 局部搜索

提出一種局部搜索算法并將其應(yīng)用于每一代的最優(yōu)個體上，以提高求解質(zhì)量，具體如下。

(1)在最優(yōu)個體中依次選擇一臺機(jī)組，將其在調(diào)度周期內(nèi)的運(yùn)行狀態(tài)解碼成表示其連續(xù)開機(jī)和連續(xù)停機(jī)的正負(fù)符號交替的整數(shù)序列。

(2)從該序列中的首位整數(shù)開始，從左至右依次對各整數(shù)進(jìn)行以下操作：

①在滿足該機(jī)組最小開/停機(jī)時間約束條件下，將該整數(shù)隨機(jī)增加或減少1 h，其余整數(shù)則在調(diào)整次數(shù)最小的原則下做相應(yīng)調(diào)整，得到一個新的整數(shù)序列。

②將新整數(shù)序列解碼轉(zhuǎn)換成該機(jī)組在各調(diào)度時刻的運(yùn)行狀態(tài)，并計(jì)算改變后個體的適應(yīng)值。如果優(yōu)于原最優(yōu)個體，則將新整數(shù)序列取代原整數(shù)序列(即新最優(yōu)個體取代原最優(yōu)個體)，并在其上進(jìn)行下一位整數(shù)的調(diào)整。否則，恢復(fù)該機(jī)組的原整數(shù)序列，并在其上進(jìn)行下一位整數(shù)的調(diào)整。

(3)重復(fù)步驟(1)和(2)，直至所有機(jī)組都被選中一次。

圖4給出一個局部搜索示例，假定被選中調(diào)整的機(jī)組的最小開/停機(jī)時間和初始運(yùn)行狀態(tài)同上。

2.7 終止條件

采用設(shè)定最大進(jìn)化代數(shù)G和在給定進(jìn)化代數(shù)g內(nèi)最優(yōu)解沒有改善作為終止條件。

圖4 局部搜索示例

3 實(shí)例計(jì)算

通過在一個N=10，T=24的測試系統(tǒng)上的實(shí)例計(jì)算來驗(yàn)證文中隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型與GA求解方法的有效性。測試系統(tǒng)中的機(jī)組參數(shù)和各調(diào)度時刻的負(fù)荷Dt詳見文獻(xiàn)[15]。

如果Dt為精確預(yù)測值、不存在誤差，則稱之為完備負(fù)荷信息。但是在現(xiàn)實(shí)中負(fù)荷是不可能精確預(yù)測的。而且，由于受到生產(chǎn)活動及生活習(xí)慣的影響，各時段負(fù)荷的波動大小不同，一般峰荷波動較大、谷荷波動較小，負(fù)荷波動較大時段的負(fù)荷預(yù)測精度相對較低，文獻(xiàn)[6]選擇4個階段負(fù)荷波動，生成16個情景。在仿真過程中，多次選擇不同的負(fù)荷波動時段進(jìn)行計(jì)算。多次試驗(yàn)表明，由于受實(shí)例數(shù)據(jù)本身特點(diǎn)的影響，在選擇其他時段作為驗(yàn)證依據(jù)時無法得到理想的結(jié)果。因此，在建模不確定性負(fù)荷、并生成適當(dāng)數(shù)量的情景時，如表1所示，假定在兩個峰荷及其附近的6個調(diào)度時刻的負(fù)荷均有兩個等發(fā)生概率的可能值，分別為0.9Dt和1.1Dt，其平均值為Dt，其中1.1Dt應(yīng)對負(fù)荷高于Dt的情況，0.9Dt則應(yīng)對負(fù)荷低于Dt的情況。其余調(diào)度時刻的負(fù)荷為精確預(yù)測值，由此產(chǎn)生64個情景。

表1 負(fù)荷波動與情景

在GA求解算法中，令P=64，與情景數(shù)相同，Pc= 0.5，Pm=0.1，G=500，g=100；不滿足負(fù)荷需求時，施加的懲罰系數(shù)為50 000$/(MW·h)。適應(yīng)度函數(shù)中的常數(shù)A=107。由動態(tài)規(guī)劃法求解S個情景下的確定性機(jī)組組合問題，產(chǎn)生GA算法中的初始種群。由于GA是一種隨機(jī)探索求解的優(yōu)化方法，不能保證每次求解都能得到相同的最優(yōu)解，因此在求解SUC問題時執(zhí)行10次GA求解運(yùn)算并從中得到最優(yōu)解。表2給出求得的最優(yōu)調(diào)度表。

表2 SUC問題的最優(yōu)調(diào)度表

作為比較，表3～表5分別給出由動態(tài)規(guī)劃法求得的最大負(fù)荷情景、完備負(fù)荷信息以及考慮10%的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)備用下確定性機(jī)組組合問題的最優(yōu)調(diào)度表。表6給出各最優(yōu)調(diào)度表在各自負(fù)荷情景下的發(fā)電成本和在64個負(fù)荷情景下的期望發(fā)電成本。

表3 最大負(fù)荷情景下確定性UC問題的最優(yōu)調(diào)度表

表4 完備負(fù)荷信息下確定性UC問題的最優(yōu)調(diào)度表

表5 考慮旋轉(zhuǎn)備用時確定性UC問題的最優(yōu)調(diào)度表

表6 發(fā)電成本比較

由計(jì)算結(jié)果可知，SUC問題的最優(yōu)解與最大負(fù)荷情景下以及考慮旋轉(zhuǎn)備用下的最優(yōu)解相比，其在64個情景下的平均發(fā)電成本分別節(jié)省143$和5 024$。同時，由表2中的開機(jī)機(jī)組所提供的旋轉(zhuǎn)備用小于該時段負(fù)荷的10%的時段總計(jì)有10個，并集中在負(fù)荷波動相對較小、預(yù)測精度相對較高的谷兼顧運(yùn)行行安全性和經(jīng)濟(jì)性。另一方面，完備負(fù)荷信息下的最優(yōu)發(fā)電成本比SUC問題的最優(yōu)解在64個情景下的平均發(fā)電成本節(jié)省10 423$。這是信息精確所帶來的利益，也說明加強(qiáng)負(fù)荷預(yù)測研究、提高預(yù)測精度是一項(xiàng)意義重大的工作。

4 結(jié)語

采用情景分析法對不確定性負(fù)荷進(jìn)行了建模，建立了考慮負(fù)荷不確定性的隨機(jī)機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)模型。在采用遺傳算法求解該最優(yōu)化問題中，改進(jìn)了初始種群的產(chǎn)生方法，提出了改進(jìn)的多點(diǎn)變異操作和局部搜索方法。比較了SUC問題的最優(yōu)解與完備負(fù)荷信息、最大負(fù)荷情景以及考慮旋轉(zhuǎn)備用下的最優(yōu)解。實(shí)例計(jì)算結(jié)果顯示SUC問題的數(shù)學(xué)模型和基于改進(jìn)遺傳算法求解方法的有效性。SUC問題的最優(yōu)解能夠兼顧運(yùn)行的安全性和經(jīng)濟(jì)性。

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熊高峰(1969-)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行與控制、電力市場。Email:jiaquanx@yahoo.com.cn

聶坤凱(1986-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度。Email:niekunkai@163.com

劉喜蘋(1978-)，女，碩士，講師，研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、人工智能及其應(yīng)用。Email:liuviviem808@yahoo.com.cn

GA-basedSolutiontoStochasticUnitCommitmentProblem

XIONG Gao-feng1， NIE Kun-kai1， LIU Xi-ping2， CAI Zhen-hua1， XIE Shang-hua1

(1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University,Changsha 410082， China；2.Department of Information Technology, Changsha Nanfang Vocational College,Changsha 410208， China)

In order to consider the effects of uncertain electric power demand on unit commitment, the uncertainty of electric power demand is modeled by using a set of scenarios, which are introduced by scenario analysis. A mathematical formulation of the expected value model of the stochastic unit commitment (SUC) problem is established. This optimization problem is solved by using a genetic algorithm (GA), which can automatically satisfy the bundle constraints. The performance of the algorithm is improved by introducing a new method to generate the initial population, a new mutation operator, and a local search operator. Based on numerical examples, test results show the feasibility of the mathematical model of the SUC problem and its improved GA-based solution method.

scenario analysis； uncertainty of electric power demand； stochastic unit commitment； genetic algorithm(GA)

TM73

A

1003-8930(2012)05-0093-07

2011-02-16；

2011-04-07