含參量曲線積分

吳以立, 王曉晶

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

含參量曲線積分

吳以立, 王曉晶

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

在含參量正常積分的基礎(chǔ)上給出了含參量曲線積分的概念、性質(zhì),主要給出了含參量曲線積分可積的充要條件、含參量曲線積分的連續(xù)性、可微性、可積性,以及含參量曲線積分與三重積分可交換的條件.

含參量曲線積分; 連續(xù)性; 可積性

0 引言

許紹溥等[1-2]給出了含參量積分的概念、性質(zhì),以及含參量積分的連續(xù)性、可積性、可微性.于興江[3]討論了含參量曲面積分的概念、性質(zhì),以及含參量曲面積分的連續(xù)性、可積性、可微性.趙清理[4]等討論了無窮曲線上的積分及其性質(zhì).受文[3-4]的啟發(fā),本文給出了含參量曲線積分的概念:

定義1(含參量曲線積分的定義) 設(shè)U?R3,V?R3均為三維區(qū)域,D=U×V?R6為六維區(qū)域,函數(shù)f(x,y,z,u,v,w)在D上連續(xù)且有定義,設(shè)L是U內(nèi)的光滑曲線,若(u,v,w)∈V時(shí),函數(shù)f(x,y,z,u,v,w)在L上可積,則稱此積分為含參量曲線積分,記為

接著又討論了含參量曲線積分的性質(zhì),主要得到了含參量曲線積分可積的充要條件、含參量曲線積分的連續(xù)性、可積性、可微性,以及含參量曲線積分與三重積分的可交換條件.

1 性質(zhì)

類似于含參量正常積分和含參量反常積分,我們很容易推導(dǎo)出含參量曲線積分的一些基本性質(zhì).

即

其次我們證明

即

綜合以上,性質(zhì)1立即得證.

則當(dāng)‖T‖→0時(shí)有‖Ti‖→0,且有

從而性質(zhì)2得證.

證明由于在D=U×V上

f(x,y,z,u,v,w)≤g(x,y,z,u,v,w),

從而對(duì)L的任意分割T總有

令‖T‖→0得

證明利用性質(zhì)3,性質(zhì)4可以類似證明.

2 主要結(jié)果

類似于有界函數(shù)在閉區(qū)間上可積的充要條件,我們給出含參量曲線積分在三維閉區(qū)域上可積的充要條件.

(1)

證明類似于定積分我們可以平行的引入達(dá)布下和與達(dá)布上和,從而很容易給出定理1的證明.

證明對(duì)V′的任意分割,以它的全部分點(diǎn)作為V的分點(diǎn)的一部分,并對(duì)剩下的區(qū)域隨意的插入分點(diǎn),這樣就產(chǎn)生了V的一個(gè)分割.由定理1及I(u,v,w)在V上可積知條件(1)在V滿足,則它在V′也滿足.再次利用定理1我們就完成了推論1的證明.

以下我們主要討論含參量曲線積分的連續(xù)性、可積性、可微性.

定理2(連續(xù)性) 設(shè)U?R3,V?R3均為有界閉域,L是U內(nèi)可求長(zhǎng)的光滑曲線,若函數(shù)f(x,y,z,u,v,w)在有界閉域D=U×V上連續(xù),則函數(shù)

在V上連續(xù),即

證明任取V內(nèi)一點(diǎn)P0(u0,v0,w0),對(duì)于(u0+Δu,v0+Δv,w0+Δw)∈V(若P0為V的邊界點(diǎn)，僅考慮Δu,Δv,Δw大于或小于0),由于f(x,y,z,u,v,w)在有界閉域D上連續(xù),從而一致連續(xù),即

?ε>0,?δ>0,?P1,P2∈D,當(dāng)ρ(P1,P2)<δ時(shí),有|f(P1)-f(P2)|<ε.

設(shè)曲線L的長(zhǎng)度為c,則?(x,y,z)∈U,當(dāng)|Δu|<δ,|Δv|<δ,|Δw|<δ時(shí),有

|I(u0+ Δu,v0+Δv,w0+Δw)-I(u0,v0,w0)|=

即I(u,v,w)在V上連續(xù).

其中

證明對(duì)于L的任意分割T,由于

令‖T‖→0,我們有

由定理2及介質(zhì)定理知存在常數(shù)c(u,v,w),使

在V上可微,且

證明(我們只證第一個(gè)式子,其它兩個(gè)類似可證) 對(duì)于V中任意一點(diǎn)p(u,v,w),設(shè)Q(u+Δu,v,w)∈V(若P為V的邊界點(diǎn),則討論單側(cè)偏導(dǎo)數(shù)),

于是

其中θ∈(0,1).于是

同理可以證明

由三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)知I(u,v,w)在V上可微.

從而由定理1知I(u,v,w)在V上可積.

接下來我們考慮含參量曲線積分與三重積分的可交換性.

證明對(duì)L作分割T1:L1,L2,…,Ln,設(shè)其細(xì)度為‖T1‖,對(duì)V作分割T2:V1,V2,…,Vm,設(shè)其細(xì)度為‖T2‖,?(uj,vj,wj)∈Vj,設(shè)函數(shù)f(x,y,z,u,v,w)在Li×Vj上的上,下確界分別為Mij,mij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),再設(shè)Li的長(zhǎng)度為ΔLi,Vj的體積為ΔVj,所以?(xi,yi,zi)∈Li,都有mijΔLi≤f(xi,yi,zi,uj,vj,wj)ΔLi≤MijΔLi,對(duì)上式兩端關(guān)于i求和得

即

對(duì)上式兩端關(guān)于j求和得

(2)

類似可證

(3)

從而我們完成了定理6的證明.

[1] 許紹溥,將東平,宋國(guó)柱. 數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].南京: 南京大學(xué)出版社,1991,332-339.

[2] 許紹溥,將東平,宋國(guó)柱.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)[M].南京: 南京大學(xué)出版社,1991,133-158.

[3] 于興江.含參量曲面積分[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,6,19(2):21-24.

[4] 趙清理,于興江,冷學(xué)斌. 無窮曲線的積分及其性質(zhì)[J].聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999, (3):68-71.

[責(zé)任編輯：李春紅]

CurvilinearIntegralsContainingParameter

WU Yi-li, WANG Xiao-jing

(School of Mathematical Sciences, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223001, China)

Based on the normal integral Containing Parameter, we gave the concept, characterization, necessary and sufficient condition of integrability of curvilinear integrals containing parameter. And we gained the conditions of exchanging curvilinear integrals containing parameter and triple integral.

curvilinear integrals containing parameter; continuity; integral; property

O186.1

A

1671-6876(2012)03-0241-05

2012-04-26

吳以立(1983-)， 男， 江蘇宿遷人， 碩士， 研究方向?yàn)榻M合數(shù)學(xué).