轉(zhuǎn)化
——解決高考關(guān)鍵題的靈魂

●

(海鹽元濟高級中學 浙江海寧 314300)

轉(zhuǎn)化
——解決高考關(guān)鍵題的靈魂

●胡水林

(海鹽元濟高級中學 浙江海寧 314300)

綜觀每年各地高考試題，決勝高考的關(guān)鍵題是選擇題、填空題、解答題等各后2個題目，如何處理這6個題目？成敗的重要性不言而喻.從浙江省新高考3年來的試題分析，選擇、填空題的后4個小題涉及到的知識點每年基本都不一樣，有平面向量、立體幾何、排列組合、解析幾何、集合、函數(shù)、方程和不等式等，突出了小題“調(diào)頭快”的功能，解答題后2個題目固定在解析幾何和導函數(shù)，涉及到的數(shù)學思想豐富.數(shù)學思想較之數(shù)學基礎知識，有更高的層次和地位.它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，是一種數(shù)學意識，屬于思維的范疇.而這6個題目體現(xiàn)了高中數(shù)學的主要思想：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論和等價轉(zhuǎn)化，著力體現(xiàn)命題者對于數(shù)學思想的關(guān)注和重視.而要解好這6個題目的關(guān)鍵是要掌握其靈魂、實施其策略、達到其轉(zhuǎn)化的目的.

著名的數(shù)學家、莫斯科大學教授雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表“什么叫解題”的演講時提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題.”數(shù)學的解題過程，就是把復雜、生疏、抽象、困難、未知的問題向簡單、熟悉、具體、容易、已知問題的化歸轉(zhuǎn)換過程.這是一種思想方法，也是一種策略.本文試圖用函數(shù)與方程、數(shù)與形、分類與討論、等價與化歸等四大轉(zhuǎn)化策略探索解決此類問題的方法，與同行們共同探討之.

1 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化策略

函數(shù)思想，是指利用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合)，然后通過解方程(組)或不等式(組)使問題獲解.更重要的是使函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的.如：不等式恒成立問題等.

(2010年天津市數(shù)學高考理科試題)

分析不等式恒成立問題在近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題既含參變量又含自變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強、知識交匯點多等特點，考題主要有以下2種方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的值或取值范圍.解決這類問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，通過化歸到函數(shù)求其最值來處理.

解法1分離變量法

依據(jù)題意得

即

(3m2+1)(4m2-3)≥0，

解得

解法2函數(shù)法

依據(jù)題意得

則

點評本題是較為典型的恒成立問題.解決恒成立問題的第1種解法是利用分離變量為最值的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式，使其成為f(m)≤g(x)，然后求g(x)這個函數(shù)的最小值得g(x)≥k(或g(x)>k)，從而f(m)≤k.解決恒成立問題的第2種解法是函數(shù)法，即通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的特性分析解決問題.

變式1若函數(shù)f(x)=x4-6x2-(3+a)x在[0,2]上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

(2010年全國數(shù)學高考理科試題改編)

2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化策略

數(shù)與形是數(shù)學中2個最古老、最基本的問題，二者之間是密不可分的.恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中量的關(guān)系與空間形式的科學.”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而解決問題.

縱觀多年來的高考試題，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題則會變抽象為直觀，使隱含的關(guān)系顯露出來.許多代數(shù)、三角問題有著幾何圖形背景,因此繪制其圖形來研究問題會顯得十分直觀．反之，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，在一定程度上說，使研究方式程序化.許多幾何問題可以利用代數(shù)、三角函數(shù)的方法解決，顯得十分簡潔、明確，起到事半功倍的效果.

例2設a，b是2個實數(shù)，A={(x,y)|x=n，y=na+b(n∈Z)}，B={(x,y)|x=m，y=3m2+15(m∈Z)}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，討論是否存在a和b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立.

(1985年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試題)

分析集合A，B都是不連續(xù)的點集，“存在a，b，使得A∩B≠φ”的含義是“存在a，b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解(當A∩B時，x=n=m).再抓住主參數(shù)a，b，則此問題的幾何意義是動點(a,b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，但原點到直線l的距離大于等于12.

解由A∩B≠φ得

na+b=3n2+15.

設動點(a,b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，從而圓心到直線距離

又n為整數(shù)，知上式不能取到等號，故a，b不存在.

點評集合轉(zhuǎn)化為點集(即曲線)，而用幾何方法進行研究.此題屬探索性問題,可用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對有公共點問題的恰當處理方法.

變式1 已知集合

N={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b∈R,r>0)}.

若存在a,b∈R，使得N?M，則r的最大值是

( )

A．3 B.2.5 C.2.4 D.2

變式2已知a>c，且ac=-1,則(a+1)2+(c-1)2的最小值為________.

變式3已知0

( )

A.1個 B.2個

C.3個 D.1個或2個或3個

變式4已知函數(shù)f(x)=|xex|，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有4個實數(shù)根，則t的取值范圍為

( )

(2012年浙江省數(shù)學抽測理科試題)

圖1

分析本題是三角題.如令OD=x，OE=y,則將可CD,CE,DE用x,y表示.再令t=OD+OE=x+y，消去y，得到關(guān)于x的方程，設函數(shù)f(x)并轉(zhuǎn)化為對二次函數(shù)的研究.

解法1設OD=x,OE=y，聯(lián)結(jié)OC，則由余弦定理得

CD2=x2+1-x,CE2=y2+1-y,

DE2=x2+y2+xy.

4x2+4y2-2x-2y+2xy=1.

令t=OD+OE=x+y,則y=t-x代入消去y得

6x2-6tx+4t2-2t-1=0,

又0

即

解法2也可以利用不等式的性質(zhì)，由

4x2+4y2-2x-2y+2x=1,

得

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy.

解法3還可以利用換元轉(zhuǎn)化為形.令x=a+b,y=a-b,x≥0,y≥0,則

b≤a,b≥-a,xy=a2-b2,

于是

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy,

可轉(zhuǎn)化為

10a2-4a+6b2=1,

即

求x+y=2a的范圍.能滿足條件的就是橢圓的一段，則

變式設x,y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

3 分類與討論的轉(zhuǎn)化策略

分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象進行分類，將整體問題劃分為局部問題，把復雜問題轉(zhuǎn)化為單一問題，然后分而治之、各個擊破，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.

圖2 圖3

例4如圖2所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子染色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的2個格子顏色不同，則不同的染色方法的種數(shù)共有多少種？

(2007年天津市數(shù)學高考理科試題)

分析按照題設要求，從使用了多少種顏色分類討論入手，分別計算出各種情形的種類，再用分類計數(shù)原理求出不同的染色方法的種數(shù).

解要給圖中的4個區(qū)域染色，可用2種或3種顏色完成染色任務，故需分成2類：

綜上可知，不同的染色方法共有390種.

變式1如圖3,用4種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F這6個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的2個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有________種(用數(shù)字作答)．

圖4

變式2如圖4，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M={⊙Oi|i=1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點，則稱(A，B)為一個“有序集合對”(當A≠B時，(A，B)和(B，A)為不同的有序集合對)，那么M中“有序集合對”(A，B)的個數(shù)是

( )

A．50 B．54 C．58 D．60

(2012年浙江省數(shù)學抽測理科試題)

4 等價的轉(zhuǎn)化策略

等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，有利于強化解決數(shù)學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.

(1994年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試題)

分析從問題著手進行思考，運用分析法，通過等價轉(zhuǎn)化的方法，逐步探求問題成立的充分條件.

即

cos(x1-x2)<1.

由已知顯然cos(x1-x2)<1成立，因此

點評本題在用分析法證明數(shù)學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉(zhuǎn)化.此種題型屬于分析證明型.

變式已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx.當t≥1時，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

( )

A．(-∞,1) B．(-∞,2)

C．(-∞,1] D．(-∞,2]

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若x1∈(0，1)，x2∈(1，+∞)．求證：

(2012年浙江省數(shù)學抽測理科試題)

點評本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用等基礎知識，同時考查推理論證能力、抽象概括等綜合解題能力和創(chuàng)新意識.

總之，數(shù)學是高考的主要學科，數(shù)學成績的高低將會決定考生的高考命運，而數(shù)學試卷上三大類型的后2個題目更是做好全卷的重中之重，能否抓住這關(guān)鍵題的解決靈魂——轉(zhuǎn)化，是決勝數(shù)學高考的關(guān)鍵！