讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過(guò)程
——課例“平行線的判定1”教學(xué)實(shí)踐與思考

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(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過(guò)程
——課例“平行線的判定1”教學(xué)實(shí)踐與思考

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

“數(shù)學(xué)化”過(guò)程是“抽象—符號(hào)—應(yīng)用”的過(guò)程(弗賴(lài)登塔爾)，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程.數(shù)學(xué)化有橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化之分，在弗賴(lài)登塔爾看來(lái)，橫向數(shù)學(xué)化“是把生活世界引向符號(hào)世界”，而“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”，則是縱向數(shù)學(xué)化,正是這2類(lèi)“數(shù)學(xué)化”，恰好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.但是，一些教師由于對(duì)教材理解的偏差，課堂更多關(guān)注知識(shí)本身，常常存在“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象，如呈現(xiàn)情景不能有效地喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)論的得出、定理的歸納沒(méi)有充分地展現(xiàn)學(xué)生的思考，直接將實(shí)際問(wèn)題提煉成數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生就失去了體會(huì)思維方法和思想方法、在數(shù)學(xué)化過(guò)程中發(fā)展能力個(gè)性的機(jī)會(huì).基于此，本文結(jié)合課例“平行線的判定1”的教學(xué)實(shí)踐，探討如何引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，并總結(jié)反思.

1 課例過(guò)程呈現(xiàn)

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

播放皮劃艇靜水項(xiàng)目比賽的視頻，教師解釋皮劃艇比賽規(guī)則，讓學(xué)生帶著問(wèn)題觀察：

(1)各皮劃艇航線之間有怎樣的位置關(guān)系？

(2)皮劃艇沖向終點(diǎn)時(shí)，皮劃艇的航線與終點(diǎn)線有怎樣的位置關(guān)系？

(3)為什么各皮劃艇的航線與終點(diǎn)線保持垂直就可以保證航線相互平行？

這是來(lái)自現(xiàn)實(shí)的任務(wù)，首先要求進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，生成數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題思考剝離出數(shù)學(xué)問(wèn)題.將教材中自行車(chē)騎車(chē)線路問(wèn)題調(diào)整為皮劃艇比賽的情景，在圖形直覺(jué)上更有平行線的感覺(jué)，容易抽象出平行線.讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)合圖形直覺(jué)來(lái)判定直線互相平行的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到用定義來(lái)判定2條直線平行的困難，體會(huì)“為什么要學(xué)習(xí)平行線”，激發(fā)有意義學(xué)習(xí)的心向.

1.2 引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)新知

觀察視頻后，教師出示如下問(wèn)題，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)、動(dòng)腦思考的基礎(chǔ)上，演示動(dòng)畫(huà)過(guò)程.

圖1 圖2

問(wèn)題如圖1，若你是一位皮劃艇運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)在位置在點(diǎn)P，l1為另一皮劃艇航線，你能畫(huà)出你自己的航線l2嗎？

在學(xué)生畫(huà)圖后，引導(dǎo)思考問(wèn)題：

(1)在畫(huà)圖過(guò)程中，哪一對(duì)角始終保持相等？

(2)如圖2，把l1與l2看成被尺邊l3所截，那么這一對(duì)是什么角？

(3)由此你可以得出一個(gè)什么結(jié)論？

為學(xué)生搭建合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓每位學(xué)生都能動(dòng)手畫(huà)圖，積極參與其中，并在動(dòng)畫(huà)演示中關(guān)注畫(huà)圖過(guò)程始終保持相等的一對(duì)角，完成歸納概括，獲得利用同位角相等來(lái)判定平行線的方法，這是縱向數(shù)學(xué)化過(guò)程.在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究和歸納的過(guò)程，感受平行線判定公理實(shí)際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置，體會(huì)“判定平行線的方法”的優(yōu)越，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性和條理性.

1.3 嘗試運(yùn)用，鞏固新知

(1)在圖3和圖4中，如果要說(shuō)明AB∥CD，請(qǐng)你找出一對(duì)相等的角？

圖3 圖4

(2)圖5是一個(gè)掛物架,為了說(shuō)明AB∥CD,你認(rèn)為需要驗(yàn)證哪2個(gè)角相等?

利用你的拇指與食指來(lái)做一個(gè)游戲，在同一平面內(nèi)，你能根據(jù)今天學(xué)過(guò)的判定方法來(lái)構(gòu)造平行線嗎?請(qǐng)與同桌交流.

圖6是學(xué)生展示的手型，讓同伴指出判定手指所在的直線平行的一對(duì)相等的同位角.

圖5 圖6

例1已知直線AB，CD被EF所截,如圖7，∠1=45°,∠2=135°,試判斷AB與CD是否平行，并說(shuō)明理由.

對(duì)例題的分析，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題清單，分析思路，并規(guī)范板書(shū).

(1)猜測(cè)AB與CD平行嗎？

(2)要說(shuō)明AB與CD平行，關(guān)鍵找什么？

(3)如果∠1=45°，那么能得出∠3=45°嗎？

圖7 圖8

變式練習(xí)如圖8,已知直線AB，CD被EF所截,如果∠2+∠1=180°，請(qǐng)判斷AB與CD是否平行,并說(shuō)明理由.

通過(guò)圖形變式，更為準(zhǔn)確地理解判定方法的本質(zhì)特征、內(nèi)涵和外延；讓每個(gè)學(xué)生積極參與，將學(xué)生已有的生活體驗(yàn)和教師制定的學(xué)習(xí)目標(biāo)之間建立起聯(lián)系的橋梁;例題教學(xué)時(shí)本節(jié)課的難點(diǎn)，以問(wèn)題清單的形式來(lái)引導(dǎo)思考，讓學(xué)生經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，初步建立幾何直觀，體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以說(shuō)明的過(guò)程.

另外，安排適當(dāng)?shù)膯?wèn)題進(jìn)行鞏固，并讓學(xué)生結(jié)合圖形用符號(hào)語(yǔ)言表示，簡(jiǎn)潔地描述文字語(yǔ)言和圖形間的關(guān)系，是培養(yǎng)學(xué)生掌握幾何語(yǔ)言的重要手段，是“縱向數(shù)學(xué)化”的表現(xiàn).學(xué)生的書(shū)寫(xiě)及教師的及時(shí)反饋，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)證明書(shū)寫(xiě)的規(guī)范要求.

1.4 用于生活，體驗(yàn)成功

問(wèn)題1為什么每只皮劃艇都沿著垂直于終點(diǎn)線的方向行駛，就能保證航線互相平行？

分析畫(huà)出幾何圖形即可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如圖9，已知AB⊥EF，CD⊥EF，得到AB∥CD，你能說(shuō)明理由嗎？

圖9

引導(dǎo)學(xué)生共同歸納：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的2條直線互相平行.

問(wèn)題2如圖10，在比賽過(guò)程中，一皮劃艇在前進(jìn)過(guò)程中，不慎向右偏轉(zhuǎn)5°，為了與原來(lái)的方向保持一致，該運(yùn)動(dòng)員應(yīng)如何調(diào)整航向？

分析要使后來(lái)的方向與原來(lái)的方向一致，那么后來(lái)的航向與原來(lái)的航向有怎樣的位置關(guān)系？讓一學(xué)生畫(huà)出后來(lái)的航向，并回答只要保證哪一對(duì)角相等即可求解(如圖11所示).

圖10 圖11

一艘皮劃艇在前進(jìn)過(guò)程航向偏離的實(shí)際問(wèn)題，借助直觀的幾何圖形，就變得簡(jiǎn)明、形象.再回到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的情境，去體驗(yàn)和解釋其實(shí)際意義時(shí)，又是一個(gè)橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程.利用幾何直觀來(lái)描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于探索解決問(wèn)題的思路.

1.5 理順?biāo)鶎W(xué)，歸納小結(jié)(略)

1.6 延伸提高，挑戰(zhàn)自我

練習(xí)甲、乙2艘船只分別從港口A，B出發(fā)，下列情況中，甲、乙船的航線是否互相平行，試說(shuō)明理由.

(1)港口B在港口A的正東方向.

①如圖12，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛；

②如圖13，甲船沿北偏東30°方向行駛，乙船沿南偏西30°方向行駛；

圖12 圖13 圖14

(2)如圖14，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛.

設(shè)計(jì)有層次的問(wèn)題組，圍繞平行線判定方法這一中心展開(kāi)和深化.第(2)小題的求解，體現(xiàn)了分類(lèi)思想,讓不同思維層次的學(xué)生都可以參與,使相應(yīng)的核心知識(shí)、重要思想成為一個(gè)有機(jī)整體.

1.7 作業(yè)布置，分層要求(略)

2 教學(xué)實(shí)踐的思考

2.1 反思課堂“數(shù)學(xué)化”過(guò)程

教材把“同位角相等，兩直線平行”作為公理看待，在教學(xué)時(shí),如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、體現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，本課例中作了有益的探索.從八年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)分析，他們正處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)折的時(shí)期.在教學(xué)時(shí)，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)生活中平行線的實(shí)物情景，通過(guò)回顧推平行線法畫(huà)圖，引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、歸納概括出這種畫(huà)法的本質(zhì).在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷“生活經(jīng)驗(yàn)的直觀感知—操作確認(rèn)—抽象概括—理性思辨”的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，這樣的安排注重知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，建立在學(xué)生已有的知識(shí)技能基礎(chǔ)之上，學(xué)生比較容易接受.利用生活經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)事實(shí)，通過(guò)推理、反思，達(dá)到“數(shù)學(xué)化”，使“數(shù)學(xué)化”貫穿于學(xué)習(xí)的全過(guò)程,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

從課堂實(shí)踐看，需要給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)思考、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的機(jī)會(huì).關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)化的過(guò)程，一是需要設(shè)計(jì)基于學(xué)生生活實(shí)踐的問(wèn)題情景，二是為學(xué)生搭建合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)，三是為學(xué)生提供進(jìn)行自我建構(gòu)的時(shí)間和空間.

2.2 反思課堂的教學(xué)效果

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，由于教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)能夠充分考慮學(xué)生已有的知識(shí)，合理地應(yīng)用“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)策略，從而使教學(xué)環(huán)節(jié)自然、流暢，在每一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生都能夠積極參與.

在教學(xué)時(shí)，教師用推三角板畫(huà)平行線的方法，讓每位學(xué)生多畫(huà)幾條平行線,從中感悟畫(huà)平行線的實(shí)質(zhì).教師通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示來(lái)讓學(xué)生關(guān)注保持原圖像與像平行，學(xué)生參與了整個(gè)探究過(guò)程并歸納得到平行線的判定方法，使學(xué)生成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者.

探討皮劃艇比賽中的平行航線問(wèn)題，動(dòng)手畫(huà)平行航線，修正皮劃艇在前進(jìn)過(guò)程航向的偏離，以及不同港口出發(fā)2艘船的航線平行判定，成為本節(jié)課組織教學(xué)的主線.以“問(wèn)題”貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生在設(shè)問(wèn)和釋問(wèn)的過(guò)程中萌生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望，逐漸養(yǎng)成思考問(wèn)題的習(xí)慣.

[1] 顧繼玲.讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(7):2-4.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)效能的故事[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(5):1-4.

[3] 章建躍.探究教學(xué)規(guī)律造就教學(xué)名師[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011(1/2):1-4.