在自然的思考過(guò)程中催生“新想法”
——“數(shù)學(xué)歸納法”第一課時(shí)賽課后的討論及教學(xué)改進(jìn)建議

●

(麗水市教研室 浙江麗水 323000)

●江建國(guó)

(麗水學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué) 浙江麗水 323000)

在自然的思考過(guò)程中催生“新想法”
——“數(shù)學(xué)歸納法”第一課時(shí)賽課后的討論及教學(xué)改進(jìn)建議

●施仁智

(麗水市教研室 浙江麗水 323000)

●江建國(guó)

(麗水學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué) 浙江麗水 323000)

1 背景介紹

2011年5月，麗水市青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽在縉云中學(xué)舉行，9位教師就“數(shù)學(xué)歸納法”第一課時(shí)(高中數(shù)學(xué)人教A版2-2)為觀課的同行奉獻(xiàn)了精彩的9節(jié)課，選手們的課堂教學(xué)得到了評(píng)委們的認(rèn)可，但美中也有不足：其一，引入的問(wèn)題是否一定要“難住學(xué)生”；其二，問(wèn)題引入到演示實(shí)驗(yàn)如何更加自然.筆者在賽課結(jié)束后，對(duì)這2個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了思考，不妥之處請(qǐng)批評(píng)指正.

2 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的三部曲

9位教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)的教學(xué)處理，剔除技術(shù)細(xì)節(jié)，凸顯教學(xué)枝干，就會(huì)發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)思路基本一致，都是圍繞“引入問(wèn)題、類比探究、技能訓(xùn)練”這3個(gè)環(huán)節(jié)展開.歸納猜想不能保證結(jié)論的正確性，怎么辦——引入問(wèn)題；為尋找新方法，演示實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)歸納法原理——類比探究；強(qiáng)調(diào)原理要點(diǎn)，應(yīng)用原理解決問(wèn)題——技能訓(xùn)練.

2．1 設(shè)置認(rèn)知沖突，引入問(wèn)題

9位教師引入的問(wèn)題都回避了課本問(wèn)題，選擇了比課本問(wèn)題難度更大的問(wèn)題，下面摘錄其中一位教師的引入.

解易知a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+1.

師:猜想的結(jié)論正確嗎？

生：不一定.

師：要證明猜想的正確性，請(qǐng)大家先看實(shí)驗(yàn)，能不能從中受到啟發(fā)，找到證明的方法.

在問(wèn)題引入環(huán)節(jié)中，教師的指向性非常明確，那就是：歸納猜想得到的結(jié)論不可靠，為了證明猜想的正確性，要尋找新的證明方法，為尋找新的證明方法，請(qǐng)大家先看演示實(shí)驗(yàn).

2．2 實(shí)驗(yàn)演示，類比探究得出原理

9位教師中有8位是用多米諾骨牌視頻進(jìn)行演示，另一位教師用自行車棚里一排自行車依次倒下的視頻演示實(shí)驗(yàn).學(xué)生觀看并思考2～3分鐘后，教師開始提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生把觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象類比到數(shù)學(xué)證明中去，探尋新的證明方法，師生間交流如下：

師：要使所有骨牌倒下應(yīng)具備哪些條件？

生：必須具備:(1)第1塊骨牌倒下；(2)前一塊骨牌倒下，能帶動(dòng)后一塊骨牌倒下.

師：(以引入案例為例說(shuō)明)要確保我們猜想的結(jié)論an=n+1正確，類比骨牌倒下的條件，必須滿足哪些條件？

生：(1)a1=2=1+1；(2)若an=n+1,能推出an+1=(n+1)+1.

師：把所有骨牌倒下的條件類比到數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系如表1所示(師生共同完成).

表1 多米諾骨牌游戲原理與數(shù)學(xué)歸納法

這一方法還可以類比到證明與自然數(shù)有關(guān)的命題中去，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法，即：證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按以下步驟進(jìn)行：

(1)當(dāng)n取第1個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；

(2)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；

由(1)，(2)可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

2．3 解讀原理，問(wèn)題訓(xùn)練，形成技能(略)

2．4 課堂小結(jié)(略)

2．5 教學(xué)過(guò)程不自然

不合邏輯的認(rèn)知導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程不自然，“猜想的結(jié)論不可靠，我們就要尋找新的證明方法，為尋找新的證明方法，大家請(qǐng)看實(shí)驗(yàn)……”結(jié)論是否可靠需要進(jìn)行證明，證明不一定要尋找新的證明方法，只有當(dāng)已有的方法無(wú)法解決時(shí)才考慮尋找新的方法，要尋找新的方法首先要調(diào)動(dòng)的是已有的知識(shí)儲(chǔ)備，而不是看實(shí)驗(yàn).當(dāng)從已有的知識(shí)儲(chǔ)備中無(wú)法得到啟示，需要查閱資料，探尋相關(guān)問(wèn)題的解決方法，而不是突兀地看實(shí)驗(yàn).從認(rèn)知上說(shuō)，思維生長(zhǎng)不自然，實(shí)驗(yàn)演示又顯得突然，貌似環(huán)環(huán)相扣的環(huán)節(jié)其實(shí)經(jīng)不起推敲，學(xué)生在教師的牽引下盲目前行.“學(xué)生思維起點(diǎn)在何處？要引導(dǎo)學(xué)生思維走向何處？思維過(guò)程中的障礙在何處？”這3個(gè)基本問(wèn)題是教師在教學(xué)過(guò)程中必須要考慮的，否則只能是“拽著學(xué)生跟著老師走，大步往前不回頭”.

3 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的改進(jìn)建議

3．1 教學(xué)起點(diǎn)分析

歸納猜想得到的結(jié)論不可靠是學(xué)生進(jìn)一步探求問(wèn)題證明的學(xué)習(xí)動(dòng)力，學(xué)生已具備的抽象能力是化無(wú)限為有限的認(rèn)知基礎(chǔ)，算法程序中的循環(huán)語(yǔ)句是學(xué)生把具體問(wèn)題抽象化的操作基礎(chǔ),生活經(jīng)驗(yàn)的支撐是克服理解困難的基礎(chǔ).

正確的猜想可以無(wú)限驗(yàn)證下去，有限的生命面對(duì)無(wú)限的驗(yàn)證怎么辦？學(xué)生即使用其他方法解決了提出的問(wèn)題，對(duì)無(wú)限能不能化為有限也是很自然的思考，這種想法是數(shù)學(xué)歸納法的萌芽.要想解決無(wú)限化為有限的問(wèn)題，既要跳出問(wèn)題之外，尋求經(jīng)驗(yàn)支持，還要深入問(wèn)題之中，探尋問(wèn)題的本質(zhì).算法程序中的循環(huán)語(yǔ)句、線面垂直判定定理、多米諾骨牌游戲等都是可以借鑒的經(jīng)驗(yàn).提出歸納法的基本步驟后，對(duì)其正確性依然持懷疑態(tài)度，生活經(jīng)驗(yàn)是幫助學(xué)生克服理解困難的基礎(chǔ).

3．2 改進(jìn)后的設(shè)計(jì)思路

3．2.1 問(wèn)題引入

猜想可以發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，證明才能確保結(jié)論的正確性，猜想是否正確還需要進(jìn)行證明，讓學(xué)生嘗試去證明.

(給學(xué)生3分鐘的時(shí)間，因?yàn)闃?gòu)造等差數(shù)列比較容易，大部分學(xué)生能完成問(wèn)題的證明.)

3．2.2 反思探究，催生新想法

在逐項(xiàng)驗(yàn)證過(guò)程中要求a2必先知道a1，要求a3必先求什么？要求a6必先求什么？要求ak+1必先求什么？求a2,a3,a4,a5,…本質(zhì)上有什么差別嗎？

(提問(wèn)時(shí)稍作停頓，留待學(xué)生思考.)

改變a1的值上述循環(huán)還能進(jìn)行下去嗎？a1與a2,a3,a4,a5,…的地位相同嗎？它相當(dāng)于算法中的什么？要是能用有限的幾步驗(yàn)證確保無(wú)限步驗(yàn)證的正確性，你認(rèn)為至少包括哪幾步？

3．2.3 經(jīng)驗(yàn)支撐，形成原理

反之，當(dāng)(1),(2)都成立，能確保命題成立嗎？有沒(méi)有類似的生活經(jīng)驗(yàn)支持你的猜想？引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中的類似經(jīng)驗(yàn)：(1)父親姓周，(2)兒子隨父親姓，則其兒子、孫子……都姓周.演示多米諾骨牌游戲：(1)第一塊骨牌倒下，(2)前一塊骨牌倒下能推倒后一塊骨牌，則所有骨牌都會(huì)倒下.

這種解決問(wèn)題的方法能推廣到其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中去嗎？要是能推廣，它適用哪一類數(shù)學(xué)命題？

(師生共同探討完成，加深理解.)

這種解決問(wèn)題的方法我們稱之為——數(shù)學(xué)歸納法，其具體的表達(dá)形式請(qǐng)大家翻開課本……

4 2點(diǎn)思考

4.1 原理引入要體現(xiàn)其自然的、水到渠成的思維過(guò)程

人教A版教材主編寄語(yǔ)“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的”.自然主要表現(xiàn)在：(1)數(shù)學(xué)命題無(wú)數(shù)，但作為公理、定理的不多，這些命題之所以作為公理、定理是有其必然性的，除了命題本身表述簡(jiǎn)潔、蘊(yùn)含深刻的數(shù)學(xué)思想之外，也是最容易讓人自然而然想到的問(wèn)題；(2)作為公理、定理的命題在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中是必須解決的問(wèn)題，有其必要性；(3)統(tǒng)攝程度高，應(yīng)用相對(duì)廣泛.首先，數(shù)學(xué)歸納法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是用有限解決無(wú)限的問(wèn)題，當(dāng)我們面對(duì)無(wú)限時(shí)該怎么辦，解決的辦法是發(fā)揮人的智慧，化無(wú)限為有限，用有限的步驟替代無(wú)限驗(yàn)證.

4.2 要重視原理形成過(guò)程對(duì)學(xué)生發(fā)展的長(zhǎng)期影響

會(huì)使用工具的人掌握的是一種技能，會(huì)制造工具的人滲透的是一種思想.數(shù)學(xué)歸納法作為原理，具有高度的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中即使會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法解決一些問(wèn)題，并不一定真正理解了它的意義.本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)是理解數(shù)學(xué)歸納法的形成過(guò)程，要理解它的形成過(guò)程至少包含3個(gè)層面的含義：首先是“為什么”，既是探尋新方法的必要性、探索的動(dòng)力所在，又是培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)的重要資源；其次是“怎么辦”，也就是方法怎么尋找，從哪兒入手，還是要回到問(wèn)題中來(lái)，抽絲剝繭式地透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)，把一連串的重復(fù)驗(yàn)證行為抽象出來(lái)形成一個(gè)命題，是關(guān)鍵的步驟；再就是“怎么用”，是一個(gè)程序問(wèn)題，適用范圍是什么，具體使用時(shí)的操作程序、注意要點(diǎn)等，是培養(yǎng)學(xué)生技能的關(guān)鍵舉措.

在現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)中，由于應(yīng)試的需要，對(duì)技能的重視有過(guò)之而無(wú)不及，一大批解題高手也應(yīng)時(shí)而生.而罔顧過(guò)程的完整性，也導(dǎo)致了學(xué)生提不出有新意的問(wèn)題，面對(duì)新題束手無(wú)策，最終導(dǎo)致創(chuàng)新意識(shí)的缺失.

[1] 江建國(guó)，柳云，張娟萍.對(duì)話催生智慧 預(yù)設(shè)跨越障礙——數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)簡(jiǎn)錄及反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010(6):18-20.

[2] 李渺，陳長(zhǎng)偉.高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010,19(5):80-83.

[3] 吳佑華.有效變式：為數(shù)學(xué)課堂生成智慧溢彩[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010(8):2-11.