關(guān)于下沉?xí)r間函數(shù)模型的探討

焦 彪 吳長(zhǎng)俊 曾 武

(1.陜西彬長(zhǎng)胡家河礦業(yè)有限公司，陜西 咸陽 713600;2.中交四航局，廣東 廣州 510231)

0 引言

在采礦工程中，地下礦物的開采也會(huì)引起地表下沉［1］，由于影響地表下沉的因素很多，很難建立一種理論來準(zhǔn)確描述地表的下沉規(guī)律。根據(jù)實(shí)際的觀測(cè)資料進(jìn)行各種模型的曲線擬合，從而建立較為準(zhǔn)確的地表下沉?xí)r間函數(shù)模型是目前研究地表下沉的重要手段。同樣，在基礎(chǔ)工程中，對(duì)地基沉降進(jìn)行監(jiān)測(cè)是十分必要的［2，3］。根據(jù)監(jiān)測(cè)的地表下沉數(shù)據(jù)，建立合理的w—t函數(shù)也是非常重要的，它可以較為準(zhǔn)確的反映地基沉降的一般規(guī)律，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)地基的后期沉降和最終沉降，從而為分析建筑物的安全性能提供可靠依據(jù)。下面對(duì)各種地表下沉的時(shí)間函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

1 Knothe 時(shí)間函數(shù)模型［4，5］

Knothe時(shí)間函數(shù)模型的表達(dá)式為:

其中，wmax為地表下沉穩(wěn)定時(shí)的最大下沉值，mm;c為地表下沉影響系數(shù)，它與工作面的開采速度和上覆巖層的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)。

對(duì)式(1)求導(dǎo)，就得到了地表下沉的速度表達(dá)式:

如圖1所示為Knothe時(shí)間函數(shù)模型的下沉曲線和下沉速度曲線，從圖1b)中可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，下沉速度v(0)=cwmax，隨著時(shí)間的增加，下沉速度呈指數(shù)減小，這顯然不符合地表下沉的一般規(guī)律。所以Knothe時(shí)間函數(shù)模型在應(yīng)用中具有局限性。

圖1 Knothe時(shí)間函數(shù)模型

針對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)的局限性，有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)［6］，改進(jìn)后的Knothe時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為:

其中，wk為該地表點(diǎn)的最終下沉值;T為下沉總時(shí)間c為巖性時(shí)間系數(shù)。

對(duì)式(3)求導(dǎo)，即可得到地表下沉速度函數(shù):

從式(1)～式(4)可以看出，雖然改進(jìn)后的Knothe時(shí)間函數(shù)模型在曲線形態(tài)上有一定進(jìn)步，但在初始時(shí)刻t=0時(shí)，v(0)=0.5cwke－cτ≠0，對(duì)于采礦工程中的地表下沉，這顯然是不符合的。所以改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)模型也有其局限性。

2 改進(jìn)的冪函數(shù)模型

文獻(xiàn)［7］對(duì)冪函數(shù)模型進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的模型，其表達(dá)式如下:

其中，a，b均為待定參數(shù)，且 a，b＞0;t為時(shí)間。

對(duì)式(5)求導(dǎo)，就得到了下沉速度函數(shù):

如圖2所示為改進(jìn)冪函數(shù)模型的下沉曲線和下沉速度曲線。

圖2 改進(jìn)的冪函數(shù)模型

從圖1，圖2可以看出，兩種模型的曲線形態(tài)是相似的，故改進(jìn)冪函數(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)和缺陷與Knothe時(shí)間函數(shù)模型一樣，在此不再進(jìn)行分析。

3 雙曲線函數(shù)模型［8，9］

其中，s0為t0時(shí)刻的沉降量;α，β均為待定參數(shù)。

由于雙曲線法能夠在一定程度上反映次固結(jié)的影響，在實(shí)際工程中應(yīng)用較廣。但這種方法也具有一定的缺陷，公式中待定參數(shù)的確定需要很長(zhǎng)的時(shí)間，對(duì)工程順利進(jìn)行具有一定的影響，另外此模型未考慮地基土變形的非線性和固結(jié)性質(zhì)是隨荷載的變化而有所變化的。基于上述缺陷，文獻(xiàn)［10］提出一種基于雙曲線模型的分級(jí)預(yù)測(cè)法，使雙曲線模型得到推廣，從而增加了改進(jìn)模型的實(shí)際應(yīng)用性。

分級(jí)預(yù)測(cè)法的表達(dá)式如下:

雙曲線函數(shù)模型主要用于預(yù)測(cè)地基和路基的沉降，其表達(dá)式為:

其中，ak，ai分別為第i級(jí)加載和第k級(jí)加載參數(shù)a的關(guān)系;Δσi'，Δσk'分別為第i級(jí)和第k級(jí)加載引起的地基土的附加應(yīng)力;σ0'為地基土的初始應(yīng)力;β取即為各荷載級(jí)下初始沉降與壓縮土層厚度的比值。

其中，smk為第k級(jí)荷載下t=tmk時(shí)刻的實(shí)測(cè)沉降;當(dāng)m≥1時(shí)，sfk可取各自計(jì)算結(jié)果的算數(shù)平均值。

由式(8)～式(10)即可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)施工情況和最初的幾組少量數(shù)據(jù)計(jì)算出下一級(jí)荷載的沉降量。

4 Gomepertz 時(shí)間函數(shù)模型［11，12］

Gomepertz曲線是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B.Gomepertz提出的，它是一種生長(zhǎng)曲線，其基本數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

其中，a，b，c均為待定參數(shù)。

對(duì)式(11)求導(dǎo)，可以得到地表下沉速度的表達(dá)式:

對(duì)式(12)求導(dǎo)，即可得到下沉加速度的表達(dá)式:

如圖3所示為Gomepertz時(shí)間函數(shù)模型的下沉曲線、下沉速度曲線和下沉加速度曲線。

圖3 Gomepertz時(shí)間函數(shù)模型

從圖3中可以看出，Gomepertz時(shí)間函數(shù)模型的下沉曲線是“S”形［13］的，這符合地表下沉的一般規(guī)律。Gomepertz預(yù)測(cè)模型與線性或近似線性加載條件下路堤沉降的變形特征較符合［14］，此模型多用于路堤或地基的沉降預(yù)測(cè)中。在采礦工程中，一般認(rèn)為當(dāng)t=0時(shí)，地表的下沉w(0)=0，然而從圖3中可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，w(0)，v(0)，a(0)≠0，故此模型在礦物開采引起的地表沉降中具有應(yīng)用局限性。

5 Logistic 時(shí)間函數(shù)模型［14，15］

Logistic時(shí)間函數(shù)模型的表達(dá)式為:

其中，t為時(shí)間;a為時(shí)間影響系數(shù);K為最終沉降量;c為待求參數(shù)。

對(duì)式(14)求導(dǎo)，得到地表下沉速度函數(shù):

對(duì)式(15)求導(dǎo)，得到地表下沉的加速度函數(shù):

如圖4所示為L(zhǎng)ogistic時(shí)間函數(shù)模型的下沉曲線、下沉速度曲線和下沉加速度曲線。

由圖4可以看出，Logistic時(shí)間函數(shù)模型與Gomepertz時(shí)間函數(shù)模型相似，都是“S”形曲線，不同的是Logistic時(shí)間函數(shù)模型具有對(duì)稱性，這與一般的地表下沉規(guī)律是有一定出入的。另外還可以看出，Logistic時(shí)間函數(shù)模型也未解決在t=0時(shí)，w(0)也應(yīng)等于0的問題。

圖4 Logistic時(shí)間函數(shù)模型

6 Weibull時(shí)間函數(shù)模型［16，17］

Weibull時(shí)間函數(shù)模型的表達(dá)式如下:

其中，wmax為地表下沉穩(wěn)定時(shí)的下沉值;n，k均為待定參數(shù)。

對(duì)式(17)求導(dǎo)可以得到下沉速度表達(dá)式:

對(duì)式(18)求導(dǎo)即可得到下沉加速度表達(dá)式:

從圖5中可以看出，Weibull時(shí)間函數(shù)模型所表示的下沉量時(shí)間函數(shù)、速度時(shí)間函數(shù)、加速度時(shí)間函數(shù)能較好的反映地表下沉的特征。因此，Weibull時(shí)間函數(shù)模型可預(yù)測(cè)一般情況下的地表沉陷的動(dòng)態(tài)過程。

圖5 Weibull時(shí)間函數(shù)模型

7 結(jié)語

1)本文總結(jié)了目前常用的下沉?xí)r間函數(shù)模型，對(duì)各個(gè)模型的曲線形式和適用性進(jìn)行了簡(jiǎn)要的分析。

2)本文在對(duì)各種模型進(jìn)行總結(jié)的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)要說明了各個(gè)模型的特征及其缺陷。

3)對(duì)幾種模型的曲線極值點(diǎn)進(jìn)行了計(jì)算，得出了幾種模型的最大下沉速度和最大下沉加速度與時(shí)間的關(guān)系。

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