位似曲線與單參數(shù)曲線族

錢季偉

（長江工程職業(yè)技術學院，武漢 430212）

在中學數(shù)學中，用內(nèi)角的相等或邊長的成比例來定義三角形或多邊形的相似，顯然這種方法不能推廣到曲線（形）上來，因此必須挖掘相似性的更本質(zhì)的內(nèi)涵，使之可以在更廣泛的場合下應用于相似問題的討論。

1 若干定義

（1）位似變換。取定平面上一點O，稱為位似中心，規(guī)定點O在位似變換下的象即自己；平面上其他的點p在變換下的象p＇滿足：p＇在直線op上，＝k（≠0.1），k稱為位似比，p稱為p＇的原象。顯然象與原象的概念是對稱的，若以p＇為原象，點p為象，則位似比

在直角坐標系中，以原點O為位似中心，位似變換可表示為：

圖1

（2）對平面上任意曲線F上所有的點作位似變換，所有的點的象組成曲線F＇，則稱F＇與線F是位似曲線。

（3）對于曲線G與G＇，若能通過平面上的等距（平移、旋轉(zhuǎn)與反射）變換，使之成為位似曲線，則稱G與G＇為相似曲線。

由以上定義可知：兩曲線是相似的，必須且只須它們是位似的；曲線的位似是曲線相似的本質(zhì)的表示形式，因此位似比也可稱為相似比。

2 引 理

以坐標原點O為位似中心，k為位似比，若曲線C1的方程為Φ（x，y）＝0，則曲線C2是C1的位似曲線的充分必要條件是：它的方程是（考慮到幾何圖形的清晰性，規(guī)定曲線與以位似中心為始點的射線最多相交于一點。）

證：對C1上所有的點P（x，y），作變換（1），即以代入 Φ（x，y）＝0，得到曲線Φ該曲線上的點P＇（x＇，y＇）是C1上的點P 的象，且，所以是C1的位似比為k的位似曲線。再把x＇，y＇改寫為x，y，就得到位似曲線的方程：

由此可知，具有方程（2）的曲線C2確是C1的位似曲線，這就證明了條件的充分性；因為對于確定的k，曲線C1的位似曲線是唯一的，所以方程（2）也是必要的。

例1：① 以p為參數(shù)的拋物線族y2＝2px（p＞0）中的任意兩拋物線y2＝2p1x，y2＝2p2x是位似曲線。

②任意兩拋物線是相似曲線（不論其解析式如何）。

② 對于任意兩拋物線C1與C2，我們總可以通過適當?shù)牡染嘧儞Q，使它們的方程成為：

（確切地說，把C1、C2變換到頂點在原點，以X軸為對稱抽，開口向右）此時，因為拋物線y2＝2p1x，y2＝2p2x是位似曲線，根據(jù)定義，C1與C2是相似曲線。

3 定 義

若單參數(shù)的曲線族F（x，y，s）＝0中的任意兩曲線F（x，y，s1）＝0，F(xiàn)（x，y，s2）＝0是位似曲線，則稱F（x，y，s）＝0是位似曲線族。

由本例知道，以p為單參數(shù)的拋物線族y2＝2px是位似曲線族，但是并非所有單參數(shù)的曲線族都是位似曲線族，例如：橢圓族中的任意兩橢圓都不是位似曲線，實際上橢圓族中所有橢圓都相交于點（0，1）和（0，-1）兩點，所以它不是位似曲線族。

對于一個單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0，如何判定它是位似曲線族，即它的任意兩曲線都是位似曲線，我們有如下的定理：

在以坐標原點O為位似中心的坐標系中，以s為參數(shù)的單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0是位似曲線族的充分必要條件是：設f（x，y，s1）＝0，f（x，y，s2）＝0是曲線族中任意兩條曲線，若存在與s1，s2有關的常數(shù)k，使方程f（x，y，s2）＝0能等價地變換為方程

則該曲線族是位似曲線族。

根據(jù)引理，曲線f（x，y，s1）＝0，f（x，y，s2）＝0是位似曲線，又因為s1，s2是任意的，所以，以s為參數(shù)的單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0是位似曲線族。

4 相似（位似）曲線的性質(zhì)

雖然有各類不同的相似（位似）曲線，但是不同種類的相似（位似）曲線卻有著共同的性質(zhì)，例如相似（位似）比為k的兩相似（位似）曲線有以下性質(zhì)：

① 對應弧段（對應弦）的長度之比等于k；② 以對應弧段為曲邊的曲邊三角形的面積之比等于k2；③對應點的曲率之比等于

證：在以坐標原點O為位似中心的坐標系中，設曲線C1的方程為y＝φ（x），則根據(jù)引理，方程為的曲線C2是C1的位似曲線，C1上的點為原象，位似比為k（如圖2所示）。

圖2

設點P1和P2的x坐標為x1和x2，則對應的點（即其象）Q1和Q2的x坐標是kx1和kx2，

于是弧段P1P2的長度

5 相似三角形（多邊形）的位似

回顧本文的開始，由于定義三角形（多邊形）的方法不能推廣到曲線的情況，于是引入位似變換，給出了曲線位似和相似的定義。顯然，這個推廣了的定義，應該把三角形（多邊形）也包括進去。下面給予驗證。

圖3

如圖3，令AB‖A＇B＇，AC‖A＇C＇，BC‖B＇C＇。

證：① 若 P，P＇在AB，A＇B＇上，（或在 AC，A＇C＇上），則因為三角形OAP與三角形OA＇P＇相似，所以

② 若P，P＇在BC，B＇C＇上，則因為三角形OPD與三角形OP＇D＇相似，所以注意三角形ABD 與三角形A＇B＇D＇相似，所以于是

以上我們證明了相似三角形任意一組對應邊上任意兩個對應的點P，P′，存在所以點O是位似中心，相似的三角形也是位似形，相似比k就是位似比。

6 位似曲線方程不唯一

最后有必要作一點說明：以坐標原點為位似中心，一組（兩條）位似曲線可以因其與位似中心的不同位置關系而得到不同形式的方程，例如：對稱軸為x軸，開口向右的拋物線，以頂點為位似中心的方程為y2＝2pix（px＞0，i＝1，2），以焦點為位似中心的方程為