HPM視角下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)

周小燕，胡豐華

（浙江科技學(xué)院a.理學(xué)院；b.建筑工程學(xué)院，杭州310023）

國(guó)際上把對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究稱為“History and pedagogy of mathematics”（以下簡(jiǎn)稱HPM）。HPM研究組織正式成立30年以來(lái)，其理論及實(shí)踐研究得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。但是，綜觀國(guó)際HPM研究的現(xiàn)狀，相對(duì)于豐富的HPM理論研究，其課堂實(shí)踐方面的研究還比較薄弱。目前，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀也不容樂觀，學(xué)生缺乏創(chuàng)造能力。為此，筆者研究了HPM角度下的高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，旨在通過整合數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)。

1 HPM介紹

HPM源自于1972年在英國(guó)召開的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上的一個(gè)工作組，通常也把這個(gè)研究領(lǐng)域本身稱為HPM。HPM研究的目標(biāo)是通過對(duì)數(shù)學(xué)歷史的運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)教育的水平，關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的教學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)史與發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用。

2 高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀

高等數(shù)學(xué)是理工科大學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)課程，它有著廣泛的應(yīng)用性，并和學(xué)生后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)關(guān)系密切。但是，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多、學(xué)時(shí)少，學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)面臨許多困難：概念抽象（如極限概念），嚴(yán)格的形式化表述（如極限的ε-δ定義），較高的計(jì)算技巧性（如不定積分的計(jì)算）等。大部分學(xué)生不能很好地掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本結(jié)論和基本方法，只會(huì)簡(jiǎn)單地按具體公式計(jì)算或套用固定步驟解題。上述現(xiàn)象固然有學(xué)生主觀的因素，但關(guān)鍵還是在于數(shù)學(xué)教材的編寫與傳統(tǒng)的教學(xué)方式。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容在17、18世紀(jì)已形成，這些數(shù)學(xué)教材是在科學(xué)性與教育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)刪減編寫而成的。它舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景、知識(shí)背景、演化歷程及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時(shí)忽視了那些被歷史淘汰掉的但對(duì)現(xiàn)實(shí)科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法。另外，中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的技能和邏輯推理，學(xué)生要求掌握一大堆的概念、定理，以及反反復(fù)復(fù)的習(xí)題演算，而對(duì)于數(shù)學(xué)概念在歷史上的產(chǎn)生過程，數(shù)學(xué)定理或公式的發(fā)現(xiàn)過程則并不提及。小學(xué)中學(xué)如此，到了大學(xué)也仍然沒有改變，所以學(xué)生甚至大部分教師都認(rèn)為數(shù)學(xué)是單調(diào)的，數(shù)學(xué)是枯燥的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的這些技巧只不過是它的一方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。

3 數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)整合的必要性

數(shù)學(xué)的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在早期的人類社會(huì)中，數(shù)學(xué)與語(yǔ)言、藝術(shù)及宗教一并構(gòu)成了最早的人類文明。數(shù)學(xué)已經(jīng)具有兩千多年的歷史，數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的科學(xué)，它研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展。數(shù)學(xué)史研究具有三重目的：一是歷史目的，即恢復(fù)歷史的本來(lái)面目；二是數(shù)學(xué)的目的，即古為今用，為現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)史，這在當(dāng)前已經(jīng)成為一種國(guó)際現(xiàn)象［1］。而數(shù)學(xué)史教育是教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，以實(shí)證的方式，向?qū)W生詳細(xì)追溯這一知識(shí)或概念被人們所發(fā)現(xiàn)和完善的全部歷史過程，并向?qū)W生指明在發(fā)展道路上出現(xiàn)的各種各樣的困難，以及數(shù)學(xué)家們?cè)鯓討?zhàn)勝或避開它們，最后又怎樣走近那個(gè)從未達(dá)到過的目標(biāo)。過去的那種英才教育、專才教育的教育思想，已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)的需要，素質(zhì)教育、通識(shí)教育才是首要，而數(shù)學(xué)史在推進(jìn)素質(zhì)教育方面，顯然有著它的特殊作用［2］。數(shù)學(xué)史的教育應(yīng)該至少包含三方面的目的：一是使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，二是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，三是培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)。

4 實(shí)例研究

4.1 悖 論

所謂數(shù)學(xué)悖論，是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無(wú)法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。人類歷史上有4次數(shù)學(xué)高峰：第一次是古希臘的演繹數(shù)學(xué)時(shí)期，第二次是牛頓、萊布尼茲的微積分時(shí)期，第三次是以希爾伯特為代表的形式主義公理化時(shí)期，第四次是以計(jì)算機(jī)技術(shù)為標(biāo)志的新數(shù)學(xué)時(shí)期。數(shù)學(xué)歷史上的三大危機(jī)分別是由古希臘時(shí)期的希帕索斯悖論，17、18世紀(jì)關(guān)于微積分基礎(chǔ)爭(zhēng)論的貝克萊悖論和20世紀(jì)初的集合論悖論引起的，它同前3次高峰有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系是數(shù)學(xué)作為一門追求完美的科學(xué)的必然。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)剛開始時(shí)，通過給學(xué)生介紹由數(shù)學(xué)悖論引起的數(shù)學(xué)危機(jī)，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)是一門充滿矛盾并不斷發(fā)展的學(xué)科，而不是一成不變的就像人們現(xiàn)在看到的完美的形式體系那樣。筆者給學(xué)生介紹的是貝克萊悖論。

17世紀(jì)末，為了滿足工業(yè)革命的需要，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分理論，并成功地應(yīng)用到了實(shí)踐中，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)于這一理論的可靠性深信不移。但是，兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用是混亂的，無(wú)窮小分析后來(lái)證明是包含邏輯矛盾的。1734年，英國(guó)大主教貝克萊對(duì)當(dāng)時(shí)的微積分學(xué)說(shuō)進(jìn)行了猛烈的抨擊，例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算x2的導(dǎo)數(shù)，先將x取一個(gè)不為0的增量Δx，由（x＋Δx）2-x2，得到2xΔx＋（Δx）2后再被Δx除，得到2x＋Δx，最后突然令Δx＝0，求得導(dǎo)數(shù)為2x，這是依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果。無(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說(shuō)是0，一會(huì)兒又說(shuō)不是0。數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0，但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。這一悖論的發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)引起了一定的思想混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)，引起了持續(xù)200多年的微積分基礎(chǔ)理論的爭(zhēng)論。隨后，許多數(shù)學(xué)家從各種不同的角度進(jìn)行研究、探索，試圖把微積分重新建立在可靠的基礎(chǔ)之上。經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力，包括達(dá)朗貝爾、拉格朗日、伯努利家族、拉普拉斯及歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾在內(nèi)，最后終將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于20世紀(jì)70年代構(gòu)建了完整的實(shí)數(shù)體系，建立起嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。

給學(xué)生介紹這樣的數(shù)學(xué)悖論，可以讓學(xué)生明白悖論是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種內(nèi)在動(dòng)力，也能激發(fā)學(xué)生更有興趣去了解第一次數(shù)學(xué)危機(jī)和第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，從而能對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展有個(gè)大致的了解。

4.2 數(shù)學(xué)理想方法的產(chǎn)生

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家往往是在問題的解決過程中產(chǎn)生新的思想方法，甚至是一門學(xué)科。在課堂上和學(xué)生一起追尋數(shù)學(xué)方法的源頭，從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本原狀態(tài)中理解方法論的本質(zhì)，有助于加深學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解。

在空間解析幾何這一章開始時(shí)，筆者在課堂上給學(xué)生講述了解析幾何這一學(xué)科其實(shí)也是一種思想方法的誕生。

笛卡爾是法國(guó)著名的哲學(xué)家、自然科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。笛卡爾從小身體瘦弱，但他極其聰敏，他8歲進(jìn)入耶穌會(huì)學(xué)校接受傳統(tǒng)的文化教育，但在他看來(lái)教科書中那些微妙的論證，其實(shí)不過是模棱兩可甚至前后矛盾的理論，只能使他頓生懷疑而無(wú)從得到確鑿的知識(shí)。他只喜歡數(shù)學(xué)教師克拉維斯的代數(shù)課，但很快又察覺到代數(shù)課中的一些內(nèi)容缺乏直觀性，同時(shí)他也不喜歡歐幾里得幾何，覺得它缺乏動(dòng)感和想象力，他立志要建立一種集代數(shù)和幾何兩門學(xué)科優(yōu)點(diǎn)于一身而又能去掉二者缺點(diǎn)的新學(xué)科。1619年，笛卡爾研究“帕波斯問題”時(shí)，引發(fā)了他建立坐標(biāo)系，且把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程的思想，這個(gè)問題是引發(fā)解析幾何誕生的重要契機(jī)之一。1637年，笛卡爾的名著《幾何學(xué)》問世，宣布解析幾何的誕生，解析幾何的產(chǎn)生標(biāo)志著數(shù)學(xué)從初等數(shù)學(xué)時(shí)期進(jìn)入高等數(shù)學(xué)時(shí)期。《幾何學(xué)》是笛卡爾著名《方法論》的3個(gè)附錄之一，約100頁(yè)，分為3卷。在《幾何學(xué)》的一開始他就提出：“任何一個(gè)幾何問題都很容易化歸為用一些術(shù)語(yǔ)來(lái)表示，使得只要知道直線段的長(zhǎng)度的有關(guān)知識(shí)，就足以完成它的作圖?！钡芽柕臄?shù)學(xué)格言是：“一切問題都可以化成數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題可以化成代數(shù)問題，一切代數(shù)問題可以化成代數(shù)方程求解的問題。”

另外值得一提的是，法國(guó)另一位數(shù)學(xué)家費(fèi)馬從另一個(gè)出發(fā)點(diǎn)獨(dú)立地進(jìn)行了解析幾何的初創(chuàng)工作，他主要是從不定方程解的作圖這一角度開展工作的，也是繼承阿波羅尼奧斯和帕波斯的工作之后，提出了解析幾何的理論和方法的［3］。

解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何分離的趨向，把“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。解析幾何的建立為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。”

4.3 數(shù)學(xué)家的故事

伊夫斯曾說(shuō)過：“在課堂上證明這些故事和秩事是非常有用的，就像少量激發(fā)興趣的因子、調(diào)味品一樣，通過介紹一個(gè)人的成長(zhǎng)故事來(lái)激勵(lì)學(xué)生，慢慢灌輸對(duì)偉大創(chuàng)造者的尊敬和仰慕，找回對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科逐漸衰退的興趣，與歷史文化逐步建立聯(lián)系?！睌?shù)學(xué)家們所經(jīng)受的痛苦和斗爭(zhēng)，所表現(xiàn)出的堅(jiān)韌不拔，如果學(xué)生們知道這些事情更多一些，將會(huì)以更大的勇氣和熱忱去學(xué)習(xí)和工作。在高等數(shù)學(xué)微積分部分的教學(xué)過程中，筆者給學(xué)生介紹了18世紀(jì)著名的伯努利家族。

伯努利家族是瑞士巴塞爾的一個(gè)家族，這個(gè)家族出現(xiàn)了很多藝術(shù)家和科學(xué)家，特別是18世紀(jì)，家族3代出了8位著名的數(shù)學(xué)家，他們分別是雅各布和約翰兄弟、他們的侄子大尼古拉、約翰的3個(gè)兒子和2個(gè)孫子，當(dāng)今有6個(gè)數(shù)學(xué)方程、定理和函數(shù)都以伯努利命名［4］。8位數(shù)學(xué)家中最出名的是雅各布、約翰及其子丹尼爾，其中雅各布和約翰是最早認(rèn)識(shí)微積分的驚人力量并將其應(yīng)用于各類問題的數(shù)學(xué)家。

雅各布于1671和1676年獲得藝術(shù)碩士和神學(xué)碩士學(xué)位，但他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，他與萊布尼茨（微積分的創(chuàng)始人之一）一直保持經(jīng)常的通訊聯(lián)系，互相探討微積分的有關(guān)問題。1687年雅各布擔(dān)任巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授，教授實(shí)驗(yàn)物理和數(shù)學(xué)。雅各布在概率論、微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)求和、變分方法、解析幾何等方面均有較大的成就。雅各布的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)包括：極坐標(biāo)的應(yīng)用、在直角坐標(biāo)下和極坐標(biāo)下導(dǎo)出平面曲線的曲率半徑公式、伯努利雙紐線、伯努利微分方程、等周曲線問題、伯努利數(shù)、伯努利大數(shù)定理等。雅各布發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)螺線（r＝aθ）以奇異的方式在漸開線、漸屈線和反射與折射的焦散中重復(fù)其自身，他追隨阿基米德，表示希望將這種曲線刻在自己的墓碑上，并刻寫“Eadem mutate resurgo”（縱然變化，我重生如故），這是一個(gè)表達(dá)基督希望的典故［5］。

約翰是雅各布的弟弟，1695年約翰擔(dān)任荷蘭格羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)教授。1705年雅各布去世，約翰去巴塞爾大學(xué)繼任數(shù)學(xué)教授的職務(wù)，致力于數(shù)學(xué)教學(xué)，直到1748年去世。約翰是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)包括：曲線的求長(zhǎng)、曲面的求積、等周問題、微分方程、指數(shù)運(yùn)算、解決懸鏈線問題、提出洛必塔法則、給出求積分的變量替換法、出版《積分學(xué)數(shù)學(xué)講義》等。約翰的另一大功績(jī)是培養(yǎng)了一大批出色的數(shù)學(xué)家，其中包括18世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家歐拉、瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆、法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必塔，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉等。

丹尼爾是約翰的次子，1724年，他發(fā)表《數(shù)學(xué)練習(xí)》，引起學(xué)術(shù)界關(guān)注，第二年，25歲的丹尼爾受聘為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授，并被選為該院名譽(yù)院士。丹尼爾的貢獻(xiàn)集中在微分方程、概率和數(shù)學(xué)物理，被譽(yù)之為數(shù)學(xué)物理方程的開拓者和奠基人。作為伯努利家族博學(xué)廣識(shí)的代表，他的成就涉及多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。他出版了經(jīng)典著作《流體動(dòng)力學(xué)》、給出伯努利定理等流體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)理論、研究彈性弦的橫向振動(dòng)問題、提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律。他的論著還涉及天文學(xué)、地球引力、湖汐、磁學(xué)、振動(dòng)理論、船體航行的穩(wěn)定、生理學(xué)等。有一個(gè)關(guān)于丹尼爾的傳說(shuō)：有一次他在旅途中同一個(gè)陌生人閑談，他謙虛地自我介紹：“我是丹尼爾·伯努利?！蹦吧肆⒓磶еI諷的神情回答道：“那我就是伊薩克·牛頓?！痹诘つ釥柨磥?lái)，這是他有生以來(lái)受到過的最誠(chéng)懇的贊頌。

4.4 歷史上數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)理想的形成和發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家們也會(huì)犯錯(cuò)誤，通過揭示歷史上數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤來(lái)加深學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)的理解，也不失為一種非常好的教學(xué)手段。

在介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，筆者給學(xué)生講了這樣一個(gè)故事。數(shù)學(xué)對(duì)無(wú)限的分類產(chǎn)生于17世紀(jì)和18世紀(jì)之間，當(dāng)時(shí)由于對(duì)微積分的研究，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了大量的無(wú)窮級(jí)數(shù)，最初人們還沒有認(rèn)識(shí)到無(wú)窮級(jí)數(shù)的特殊性質(zhì)，只把它們看作無(wú)限多個(gè)項(xiàng)的和，于是就輕率地把有理運(yùn)算的性質(zhì)應(yīng)用到無(wú)窮級(jí)數(shù)，結(jié)果產(chǎn)生了許多奇異的答案。例如，牧師格蘭迪考慮了交錯(cuò)級(jí)數(shù)：

它的和應(yīng)該是多少呢？

第一種方法，S＝（1-1）＋（1-1）＋（1-1）＋…＝0＋0＋0＋…＝0；

第二種方法，S＝1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-…＝1。

面對(duì)這2種可能，因?yàn)?和1都是同樣可能的結(jié)果，所以正確的級(jí)數(shù)和為。當(dāng)然這個(gè)值也可以這樣

計(jì)算：

S＝1-（1-1＋1-1＋1-1＋…）＝1-S，

5 結(jié) 語(yǔ)

把數(shù)學(xué)史融入到高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，一方面加強(qiáng)了數(shù)學(xué)人文教育，另外一方面，使學(xué)生覺得高等數(shù)學(xué)教學(xué)課堂不再枯燥無(wú)味，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的興趣，能使學(xué)生更好地掌握教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而為他們后繼的專業(yè)課程打好基礎(chǔ)。

［1］ 江曉原，謝寶耿.從科學(xué)史到科學(xué)文化：江曉原教授訪談［J］.學(xué)術(shù)月刊，2004（12）：111-121.

［2］ 李文林.數(shù)學(xué)的進(jìn)化：東西方數(shù)學(xué)史比較研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［3］ 王樹禾.數(shù)學(xué)思想史［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2003.

［4］ 哈爾·赫爾曼.數(shù)學(xué)恩仇錄［M］.范偉，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2009.

［5］ EVES H W.數(shù)學(xué)圈［M］.李泳，劉晶晶，譯.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2007.