利用漸近展開法求一類多重級數(shù)的閉形式

商妮娜， 秦惠增

（山東理工大學理學院，淄博 255049）

利用漸近展開法求一類多重級數(shù)的閉形式

商妮娜， 秦惠增

（山東理工大學理學院，淄博 255049）

多重級數(shù)；漸近展開；Bernoulli常數(shù)；Riemann zeta函數(shù)

1 引 言

其中γ＝0.57757721566490…是Euler常數(shù).本文考慮相對更復雜的問題，即將（1）推廣成下面的多重級數(shù)

這里k＝2，3，….我們考慮這個多重級數(shù)的閉形式.

2 引理和定理

首先給出下面重要的引理.

引理1［2］設(shè)a，n是整數(shù)且0≤a＜n.如果f（z）在區(qū)域S＝｛z｜a≤Rez≤n｝內(nèi)是亞純的且f（z）＝o（e2π｜lnz｜），Imz→±∞在S內(nèi)一致成立，那么

其中Bj是Bernoulli常數(shù)，M是一個正整數(shù)且0＜θn＜1.

利用數(shù)學歸納法很容易證明下面的引理.

引理2對于整數(shù)i＞1，則有

引理3對于任意整數(shù)m＞0，有

可知（7）成立. 同理可證（5），（6）也成立.

從引理3可得如下結(jié)果

并且利用上面的引理就可以得到下面的定理.

定理對于整數(shù)k＝2，3，…，則有

證利用數(shù)學歸納法容易證明

［1］Ovidiu Furdui and Qin Huizeng.Solution of problema 149［J］.La Gaceta de la RSME，2010，13（1）：78－79.

［2］Olver，F(xiàn)rank W J.Asymptotics and special functions，Massachusetts：A K Peters，63South Ave，Natick，MA 01 760 1997.

Using Asymptotic Expansion Method Seek the Closed Form for a Class of Multiple Series

SHANGNi－na，QINHui－zeng
（Institute of Applied Mathematics，Shandong University of Technology，255049，China）

multiple series；asymptotic expansion；Bernoulli constant；Riemann zeta function

O173

A

1672－1454（2012）04－0072－04

2010－03－22