單調類定理的一個集合論證明

王小特

（陜西能源職業(yè)技術學院，咸陽 712000）

單調類定理的一個集合論證明

王小特

（陜西能源職業(yè)技術學院，咸陽 712000）

本文利用集合論中的序數理論和超限歸納法，給出概率測度論中一個集族生成的最小σ代數，最小λ類和最小單調類的具體形式，并給出單調類定理一個直接的證明.

單調類定理；集合論；最小σ代數；最小λ類；最小單調類

1 引言與預備

我們首先介紹概率測度論中的一些概念.

定義1.1［1］設Ω為一個集合，C為Ω的一個子集族.

①Ω∈C； ②A，B∈C，B?A得A－B?C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.

由C生成的σ代數，λ類和單調類分別用σ（C），λ（C），m（C）表示.顯然σ（C）?λ（C）?m（C）.概率測度論中單調類定理是一個重要的證明工具，集合形式的單調類定理主要研究在什么情況σ（C）＝m（C）或σ（C）＝λ（C）.

定理1.1［1］設C為一個集合.

（i）若C為代數，則m（C）＝σ（C）；

（ii）若C為π類，則λ（C）＝σ（C）.

單調類定理的證明一般采用的是構造性的證明［1］，而不采用直接的證明，直接證明的困難在于不知道集族C是如何生成最小單調類m（C），最小λ類λ（C）和最小σ代數σ（C），利用集合論中的序數理論和超限歸納法，我們可以給出σ（C），λ（C），m（C）的具體構造，從而給出單調類定理一個直接的證明.有關集合論的知識可參見［2］.

2 主要結果

設Ω為一個集合，C為Ω的一個子集族，下面我們利用超限歸納定義的方法構造C生成的最小單調類m（C），最小λ類λ（C）和最小σ代數σ（C）.

設第一個不可數序數為ω0.對任意的序數α＜ω0，假設對任意的序數β＜α，Mβ，Λβ，Σβ已經定義好了，下面我們定義Mα，Λα，Σα.

若α為后繼序數，設α＝β＋1，令

若α為極限序數，則令

這樣對任意的序數α＜ω0，Mα，Λα，Σα都已經定義好了.

命題2.1m（C）＝M，λ（C）＝Λ，σ（C）＝∑.

然后我們證明M是C生成的最小的單調類.設N為一個單調類且N?C，我們證明M?N.利用超限歸納法.

對任意的序數α＜ω0，我們證明Mα?N.顯然，M0?N.假設對任意的β＜α，Mβ?N.若α為后繼序數，設α＝β＋1，由Mα的構造以及N是單調類有，Mα?N.若α為極限序數，則Mα＝∪β＜αMβ?N.這樣對任意的序數α＜ω0，我們證明了Mα?N，從而M?N，即M是C生成的最小的單調類.

下面給出單調類定理一個直接的證明，我們只證明其中一個結論.

定理2.1設C為代數，則m（C）＝σ（C）.

上述證明不需要多么“高明”的技巧，想法是自然的，證明也很直觀，這種方法也可以應用到其他形式的單調類定理的證明中.

［1］嚴加安.測度論講義［M］.北京：科學出版社，2004.

［2］張錦文.公理集合論導引［M］.北京：科學出版社，1991

A Direct roof for the Theory of Monetone Class by the Set heory

WangXiao－te
（Shaanxi Energy Institute，Xianyang 712000，China）

In terms of order number and transfinite induction in set theory，the smallestσalgebra，monetone class andλclass which are genereted by one family of subsets are discussed.Further，a direct proof of the theory of monetone class is given.

theory of monetone class；set theory；smallsetσalgebra；smallestλclass；smallest monetone class

O189.1；O153.1

A

1672－1454（2012）04－0095－03

2010－03－12