刪失數(shù)據(jù)下事件持續(xù)時間多因素生存分析模型

蔣 宏，方守恩，陳雨人

（同濟大學(xué) 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

交通事件的持續(xù)時間對于道路交通管理人員實施緊急疏散策略、制定交通管理措施和交通流誘導(dǎo)等具有十分重要的意義.交通事件持續(xù)時間則受到天氣、事故類型、到場時間、占用車道數(shù)、涉及車輛數(shù)、傷亡人數(shù)、救援車輛數(shù)等隨機因素的交互影響.

交通事件持續(xù)時間預(yù)測方法主要有：基于統(tǒng)計的預(yù)測方法、回歸模型、時間序列模型、決策樹、非參數(shù)回歸法和模糊邏輯法等［1］.其中，決策樹模型是比較簡單有效的方法，例如姬楊蓓蓓等［2］采用基于貝葉斯決策樹的算法，利用數(shù)據(jù)建立交通事件持續(xù)時間的預(yù)測模型，且具有很好的魯棒性；劉偉銘等［3］在對事件數(shù)據(jù)進行顯著性分析后，建立了高速公路交通事件持續(xù)時間預(yù)測決策樹.而目前國外較多采用概率模型對事件持續(xù)時間特性進行研究.多數(shù)研究表明交通事件持續(xù)時間服從對數(shù)正態(tài)分布［4-5］，而叢浩哲等［6］對浙江省某條高速公路交通事件持續(xù)時間數(shù)據(jù)檢驗表明數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布；Doohee等［7］的研究表明事故的檢測時間、報告時間和響應(yīng)時間服從 Weibull模型，清除時間則服從Log-logistic模型.

本文分別應(yīng)用生存分析模型中的比例風(fēng)險模型和加速風(fēng)險模型對交通事件持續(xù)時間及影響因素（協(xié)變量）進行建模，并討論2個模型的適用性.

1 交通事件持續(xù)時間的特性

交通事件持續(xù)時間一般包括4個獨立的階段：事件發(fā)現(xiàn)階段、事件響應(yīng)階段、事件清除階段和交通恢復(fù)階段［8］.事件發(fā)現(xiàn)階段：從交通事件發(fā)生到交通管理者、警察或高速公路救援隊發(fā)現(xiàn)交通事件的時間；事件響應(yīng)階段：從交通事件被確認到救援車輛到達現(xiàn)場的時間；事件清除階段：救援隊伍處理受傷人員、封閉車道直到移除車輛和碎片后離開現(xiàn)場即救援隊伍將干擾交通運行的障礙清除所處的時段；事件恢復(fù)階段：交通事件被清除后車輛排隊開始消散直到交通流恢復(fù)到正常交通狀態(tài)所處的時段.

目前國內(nèi)對于交通事件持續(xù)時間的準(zhǔn)確預(yù)測尚有一定的難度，其中比較重要的原因是缺少對事件狀態(tài)全過程的記錄.從公路交管部門對交通事件的記錄信息來看，可用于交通持續(xù)時間統(tǒng)計分析的只有事件確認時刻、開展救援時刻以及處置完畢時刻.由于記錄的缺失，導(dǎo)致事件持續(xù)時間數(shù)據(jù)出現(xiàn)2種類型（刪失和完全），其中t1和t2為刪失數(shù)據(jù)，t3為完全數(shù)據(jù)，如圖1.

圖1 事件持續(xù)時間數(shù)據(jù)示例Fig.1 Illustration of incident duration data

由于交通恢復(fù)階段受交通流和交通管理等多種因素影響難以觀測和記錄，交通事件的發(fā)現(xiàn)時間相對其他階段可以忽略不計，本文將事件確認到處置完畢的時間段作為研究的觀測周期.

2 生存分析的基本函數(shù)

生存分析是研究多種影響因素與生存時間有無聯(lián)系以及聯(lián)系程度大小的一種既考慮時間又考慮結(jié)果的統(tǒng)計方法，并可充分利用刪失數(shù)據(jù)提供的不完全信息［9］.生存時間（事件狀態(tài)的持續(xù)）指從某起點事件開始到被觀測對象出現(xiàn)終點事件所經(jīng)歷的時間.

生存時間T是一個連續(xù)性的非負隨機變量，當(dāng)取t時具有累計分布函數(shù)F（t），又稱為失效函數(shù)（failure function）.由定義可知，事件持續(xù)時間的概率是隨機變量T的函數(shù)，表示為

式中：P （T ＜t）表示事件 ｛T ＜t｝發(fā)生的概率.由式（1）可得概率密度函數(shù)為

生存函數(shù)S（t）（survival function）又稱累計生存率，簡稱生存率，表示具有協(xié)變量X的觀察對象其生存時間T大于時間t的概率，定義為

還有一個在t時刻處（附近）對死亡發(fā)生的可能性進行度量的函數(shù)h（t），稱為危險函數(shù)（hazard function），它是-lnS（t）關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，定義如下：

累計危險函數(shù)為

事件持續(xù)時間的危險函數(shù)、密度函數(shù)、累計頻率函數(shù)和生存函數(shù)的關(guān)系如圖2.

圖2 生存分析模型函數(shù)［10］Fig.2 Survival analysis models functions［10］

3 比例風(fēng)險模型

生存分析模型中最常用的多因素分析方法就是比例風(fēng)險模型（proportional hazards model）［11］，該模型是一種半?yún)?shù)模型，不需要假定生存時間的分布，但卻可以通過一個模型來分析生存時間的分布規(guī)律以及危險因素（協(xié)變量）對生存時間的影響.其基本形式如下：

式中：h（t｜Z）為具有p個協(xié)變量Z的個體j在時刻t的危險率；h0（t）為基準(zhǔn)風(fēng)險函數(shù)，它是全部協(xié)變量都為零或標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的風(fēng)險函數(shù)，一般是未知的；Zk（k＝1，…，p） 為個體j不隨時間改變的協(xié)變量；βk（k＝1，…，p） 為變量參數(shù)，若βk＞0，表明該協(xié)變量為危險因子，會增加風(fēng)險函數(shù)值，對生存時間出現(xiàn)負作用，βk＜0表明該協(xié)變量為保護因子，會減少風(fēng)險函數(shù)值，即延長生存時間，βk＝0表明該因素為無關(guān)因素.

之所以被稱為比例風(fēng)險模型是因為任意2個具有協(xié)變量Z和Z＊的個體，其危險率成比例

協(xié)變量參數(shù)向量β＝ （β1，…，βk，…，βp）′可根據(jù)偏似然估計方法得到.令t1＜t2＜…＜tD表示順序事件時間，定義時間ti時的風(fēng)險集R （ti）為在ti之前仍處于研究過程的所有觀測個體集合，Zjk為個體j的第k個協(xié)變量，Z（i）k是與在時間ti時失效的個體相關(guān)的第k個協(xié)變量，定義危險函數(shù)的偏似然函數(shù)如下：

為了評價比例風(fēng)險模型的擬合程度，選用Cox-Snell殘差對其進行檢驗.如果模型中β的估計值為b＝（b1，…，bk，…，bp）′，則 Cox殘差定義為

4 加速失效模型

參數(shù)加速失效模型（accelerated failure time models）可作為半?yún)?shù)比例模型的替代模型［12］，其對事件發(fā)生時間X的自然對數(shù)Y＝ln（X）建模，參數(shù)模型的形式如下：

式中：μ為截距；γ′＝（γ1，γ2，…，γp）為回歸系數(shù)向量；Z為協(xié)變量矩陣；σ為未知的尺度參數(shù)；W 為誤差項.通常根據(jù)假設(shè)誤差項服從的不同分布來產(chǎn)生不同的回歸模型［13］，其對應(yīng)關(guān)系如表1.

表1 常用的參數(shù)加速失效模型Tab.1 Some commonly used accelerated failure time models for parametric duration models

如果令S0（x）為隨機向量exp（μ＋σW）的生存函數(shù)，對于所有的觀測時刻x，帶有協(xié)變量Z的危險率與基本危險率h0的關(guān)系可變換為

模型中的參數(shù)可以通過極大似然估計法得到.假定有n個樣本，定義fj（tj）和Sj（tj）為觀測個體j在時刻tj的密度函數(shù)和生存函數(shù)，其示性函數(shù)為δj，構(gòu)造似然函數(shù)為

模型擬合程度評價采用概率圖檢驗的方法；此外，在一定置信水平下的擬合模型并不具有唯一性，本文以赤池信息量準(zhǔn)則［14］（Akaike information criterion，AIC）判斷相對優(yōu)劣性來選擇更優(yōu)的模型，AIC準(zhǔn)則要求AIC的取值越小越好.模型AIC函數(shù)（AIC）的定義如下：

式中：l為對數(shù)似然函數(shù)；e為模型中協(xié)變量的個數(shù)；c為模型獨立參數(shù)個數(shù).

5 模型應(yīng)用

5.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

實例分析對象為浙江省某條雙向8車道高速公路，全長約78km，設(shè)計車速120km·h-1.當(dāng)?shù)亟痪块T采集的交通事件數(shù)據(jù)信息包括：星期、天氣、報警時間、報警類型、到達現(xiàn)場時間、事件類型、占用車道數(shù)、涉及車輛數(shù)、受傷人數(shù)、死亡人數(shù)、最先到達現(xiàn)場的車輛、救援車輛數(shù)等.交通事件數(shù)據(jù)采集的時間跨度為3年，共得事件觀測個體1455個.對采集的定量和定性數(shù)據(jù)進行編碼和賦值：如將報警時間分為早高峰、白天、晚高峰和夜間4個水平；又如由散落物引起的事故涉及車輛數(shù)為0；觀測個體是否刪失分別用0和1標(biāo)識.模型變量的分組和賦值如表2.

表2 變量說明及賦值一覽Tab.2 Summary of variables explanation and value assignment

5.2 模型擬合與檢驗

采用逐步回歸法對變量進行篩選及最大似然估計，比例風(fēng)險模型中通過顯著性檢驗的協(xié)變量按照對持續(xù)時間影響程度大小排列為Z9，Z6，Z3，Z8和Z5這5個變量.此外，通過變量方差分析發(fā)現(xiàn)，Z1，Z2，Z4和Z7這4個協(xié)變量對于生存率沒有顯著影響，這些變量被剔除在最終的回歸模型外；從比例分析模型協(xié)變量參數(shù)估計系數(shù)的符號來看，回歸方程系數(shù)除Z5以外全部小于零，說明報警時段和占用車道數(shù)等全部為保護因子，即協(xié)變量每增加1個等級交通事件的持續(xù)時間就會延長，危險度降低.對于加速風(fēng)險模型，通過顯著性檢驗的協(xié)變量按照對持續(xù)時間影響程度大小排列為Z9，Z6，Z3，Z8，Z5，Z4這6個變量.此外，通過變量方差分析發(fā)現(xiàn)，Z1，Z2，Z7這3個協(xié)變量對于生存率沒有顯著影響，這些變量被剔除在最終的回歸模型外.2個模型協(xié)變量最終的篩選及參數(shù)估計結(jié)果如表3.

雖然有些協(xié)變量被剔除在模型外，但并不能排除這些因素對持續(xù)時間的影響，預(yù)選影響因子之間存在的強相關(guān)性會導(dǎo)致該現(xiàn)象的產(chǎn)生.例如，當(dāng)顯著性相關(guān)變量中有一方進入回歸模型中，另一方變量則有可能會排除在模型外，如當(dāng)事故類型進入模型后，Z7被排除在模型外，但并不能就此說明Z7對交通事件的持續(xù)時間沒有影響，通過對協(xié)變量進行皮爾遜相關(guān)性檢驗后發(fā)現(xiàn)，2個變量間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為-0.5508，說明進入模型的事故類型這個協(xié)變量部分反映了涉及車輛數(shù)的信息.

表3 模型的參數(shù)估計Tab.3 Estimated parameters for the models

根據(jù)5個協(xié)變量擬合的比例風(fēng)險模型繪制殘差和殘差累計危險率的Cox-Snell殘差圖（圖3），圖中的直線大致呈45°，說明模型擬合程度較好.

比例風(fēng)險模型生存函數(shù)模型形式為

式中，S0（t）為基準(zhǔn)生存函數(shù).對數(shù)據(jù)分別用各種假設(shè)回歸模型進行擬合，得到對數(shù)羅吉斯蒂模型的AIC值最?。ㄈ绫?），因此最終采用對數(shù)羅吉斯蒂進行建模，加速失效模型其生存函數(shù)形式為

模型擬合程度的概率圖檢驗如圖4.

圖3 Cox-Snell殘差Fig.3 Cumulative hazard of Cox-Snell residuals

表4 加速失效模型的參數(shù)Tab.4 Analysis for parameters of accelerated failure time models

5.3 協(xié)變量敏感性分析

生存函數(shù)每種協(xié)變量組合都會生成不同的生存函數(shù)概率曲線.圖5給出了不同事故類型下協(xié)變量Z5的生存函數(shù)概率，可以看出，事故類型對于生存函數(shù)的概率影響較小，沒有顯著性不同，這是由協(xié)變量的參數(shù)估計值決定的，對于比例風(fēng)險模型和加速失效模型其系數(shù)分別為0.027和0.055.由此可見，對于生存概率影響的大小是由參數(shù)估計值的貢獻決定的，因此，本文選擇了貢獻率最大的因子Z9進行深入分析.

為了比較2個模型對協(xié)變量的敏感程度，假定如下情景：在控制協(xié)變量Z3＝1，Z4＝1，Z5＝1，Z6＝1和Z8＝1的情況下，比較對模型影響程度最大的協(xié)變量Z9對生存函數(shù)的影響.從圖6a可見對于是否發(fā)生亡人事故，持續(xù)時間大于25min的概率差別甚微，且生存時間的概率估計值均可達到80%以上；但隨著持續(xù)時間的增加，發(fā)生亡人事故對于事件結(jié)束的概率影響較大；從圖6b可見，對于亡人事故，概率持續(xù)時間大于50min的概率約為40%，而對于非亡人事故概率估計值約為10%.

為了更進一步分析協(xié)變量對生存概率的影響，借鑒方差分析法的思想比較2個模型對協(xié)變量當(dāng)場亡人（Z9＝0，1）的敏感程度，考察任意觀測時間下的生存函數(shù)概率絕對差｜ST（t｜Z9＝1）-ST（t｜Z9＝0）｜的變化情況，生存函數(shù)概率絕對差曲線如圖7.

變量敏感性對比分析表明：在觀測區(qū)間內(nèi)2個模型對亡人事故的整體敏感性接近.但從圖7可見：比例風(fēng)險模型敏感性曲線的曲率變化率較小，而加速失效模型的曲率變化率較大，表明該模型對于協(xié)變量當(dāng)場亡人的敏感性較強，在持續(xù)時間約為30 min時達到極值；此外，持續(xù)時間約為60min的絕對差成為2個模型對協(xié)變量當(dāng)場亡人敏感性的分水嶺.

6 結(jié)論

在分析交通事件狀態(tài)及持續(xù)時間規(guī)律的基礎(chǔ)上，以某高速公路的1455起交通事件持續(xù)時間及影響因素為分析對象，應(yīng)用生存分析理論相關(guān)模型對交通事件持續(xù)時間分別用比例風(fēng)險模型和加速失效模型對協(xié)變量進行了篩選并建立了相應(yīng)的生存函數(shù)模型；并對持續(xù)時間的生存率貢獻最大的協(xié)變量當(dāng)場亡人進行了敏感性分析，比較了協(xié)變量在不同水平下的生存率，在持續(xù)時間小于30min時加速失效模型對于當(dāng)場亡人事故的敏感性較強，不利于短時的建模預(yù)測，且對于短時預(yù)測采用比例風(fēng)險模型更符合實際操作.生存模型可以基于事故報告信息預(yù)測持續(xù)時間大小的概率，為事故預(yù)后措施的實施及緊急救援提供決策參考.

此外，交通事件持續(xù)時間的預(yù)測評價技術(shù)還需要從以下幾個方面深入：①完善事件持續(xù)時間4個階段的統(tǒng)計數(shù)據(jù)并建立相關(guān)的數(shù)據(jù)庫，通過對事件持續(xù)時間分布規(guī)律的研究提高預(yù)測模型的精度；②預(yù)測模型的參數(shù)估計值的時間穩(wěn)定性［15］也需要大量的數(shù)據(jù)來驗證；③本文僅利用半?yún)?shù)加速失效模型和全參數(shù)加速失效模型對持續(xù)時間的生存函數(shù)進行了建模和比較分析，其他生存分析模型對于交通事件持續(xù)時間的適用性有待于進一步研究.

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