分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下缺口期權(quán)定價(jià)模型

藺 捷，薛 紅，王曉東

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

期權(quán)作為一種防范金融風(fēng)險(xiǎn)或投機(jī)的有效手段而得到了迅猛發(fā)展.除了標(biāo)準(zhǔn)歐式和美式看漲看跌期權(quán)外，還有很多不同的復(fù)雜的新型期權(quán)，缺口期權(quán)就是其中的一種.文獻(xiàn)[1]在幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理，給出了缺口期權(quán)定價(jià)公式;文獻(xiàn)[2]在幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下利用保險(xiǎn)精算的方法，將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)的確定問(wèn)題，給出了歐式期權(quán)定價(jià)公式.

1 金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)股票價(jià)格S(t)和利率r(t)分別滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程

假設(shè){BH(t)，t≥0}與{WH(t)，t≥0}是完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)且相互獨(dú)立.令

定理1隨機(jī)微分方程(3)的解為

證明 由分?jǐn)?shù)型It^o公式

可得

定理2[3]隨機(jī)微分方程(4)的解為

定義3[4]股票價(jià)格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回報(bào)率β(u)由下式給出

定理4[3]股票價(jià)格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回報(bào)率 β(u)滿(mǎn)足 β(u)=μ，u∈[t，T].

2 缺口期權(quán)定價(jià)公式

定義5[1]歐式缺口看漲期權(quán)到期日的價(jià)值為

定義6歐式缺口看漲期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

引理7[5]假定a，b，c，d，k為實(shí)數(shù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則有其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

由引理7可得

定理9歐式缺口看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

關(guān)于算子MH的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8].

證明 由定理1、2、4可知

由分?jǐn)?shù)型It^o公式，知

則

由于

由于

且

當(dāng)K≥G時(shí)，

其中

同理當(dāng)K＜G時(shí)，有

注1當(dāng)b=0，c=0，a→0時(shí)，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下缺口期權(quán)定價(jià)公式

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，且

特別地，

(ii)當(dāng)G=K時(shí)，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式期權(quán)定價(jià)公式(參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]).

3 結(jié) 語(yǔ)

本文在利率滿(mǎn)足Vasicek模型，股票價(jià)格過(guò)程遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，建立了金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法，討論缺口期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到了缺口看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

[1]張 艷，孫 彤.關(guān)于歐式缺口期權(quán)定價(jià)模型的研究[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24(12):44－47.

[2]BLADTM，RYDBERG T.An actuarial approach to option pricing under the physicalmeasure and withoutmarket assumptions[J].Insurance:Mathematics and Economics，1998，22(1):65－73.

[3]XUE H，SUN Y.Pricing european option under fractional jump－diffusion Ornstein－Uhlenbeck model[C]//Conference Proceeding of 2009 International Institute of Applied Statistics Studies，Qingdao:Aussino Academic Publishing House，2009:164－169.

[4]XUE H，LIQ.An actuarial approach to the minimum ormaximum option pricing in fractional Brownian motion environment[C]//Proceedings 2010 2nd IEEE international conference on information and financial engineering，September，Chongqing:IEEE PRESS.2010:216－219.

[5]陳松男.金融工程學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.

[6]BIORKT，HULTH.A note on Wick products and the fractional Black－Scholes model[J].Finance and Stochastics，2005，9(2):197－209.

[7]BIAGINIF，HU Y，OKSENDAL B，et al.Stochastic calculus for fractional Brownian notion and applications[M].New York:Springer，2008.

[8]于艷娜，孔繁亮.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中應(yīng)用鞅方法定價(jià)歐式期權(quán)[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，26(4):433－435.