定積分問(wèn)題的數(shù)值求解及Matlab實(shí)現(xiàn)

張長(zhǎng)耀，劉秀麗

(西藏農(nóng)牧學(xué)院公共教學(xué)部，西藏林芝860000)

實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中常常需要計(jì)算積分.依據(jù)人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)于積分I=，只要找到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)，便有下列牛頓—萊布尼茨公式:

但實(shí)際使用這種求積方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，諸如等，其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)，故不能用上述公式計(jì)算.下面我們用教學(xué)中遇到的一個(gè)定積分的題目作為例子，來(lái)說(shuō)明此類(lèi)定積分題目的求解.

例[1]求定積分

雖然這個(gè)題目的被積函數(shù)是形式較簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，但它的原函數(shù)不是初等函數(shù)，無(wú)法利用牛頓——萊布尼茨公式計(jì)算.本文引入數(shù)值方法，借助Matlab編程來(lái)計(jì)算該定積分的近似值.

求解定積分的常用數(shù)值方法有矩形法、梯形法和拋物線法，下面我們借助Matlab編程分別實(shí)現(xiàn).

1 中點(diǎn)矩形法

在Matlab程序中，我們將[a，b]n等分，對(duì)等分區(qū)間

在區(qū) 間[xi-1，xi]上 取 中 點(diǎn)， 即 取，用該積分和作為定積分的近似值.

現(xiàn)就上面題目給出用中點(diǎn)矩形法求解的Matlab程序

由程序計(jì)算得該定積分的近似值為

s=5.730 296 683 541 563.

用該方法解決此定積分題目的誤差分析可以用下面定理估計(jì).

定理1[2]設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至多有限個(gè)點(diǎn)外處處有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且存在正數(shù)M使得，用一組分點(diǎn)

把[a，b]n等分，則

矩形法的Matlab編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但效果欠佳.如果在分割的每個(gè)小區(qū)間上采用一次或二次多項(xiàng)式來(lái)近似代替被積函數(shù)，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似計(jì)算公式.下面介紹的梯形法和拋物線法就是這一指導(dǎo)思想的產(chǎn)物.

2 梯形法

曲線y=f(x)上相應(yīng)的點(diǎn)為

P0，P1，…，Pn(Pi(xi，f(xi))，i=0，1，…，n)

將曲線的每一段弧Pi-1Pi用過(guò)點(diǎn)Pi-1，Pi的弦Pi-1Pi(線性函數(shù))來(lái)代替，這使得每個(gè)上的曲邊梯形成為真正的梯形，其面積為

matlab命令行中輸入trapm(10 000，0，3*pi/2)，即把分為10 000個(gè)子區(qū)間，由程序計(jì)算得該定積分的近似值為5.730 296 683 541 554.

用該方法解決此定積分題目的誤差分析可以用下面定理估計(jì).

定理2[3]設(shè)區(qū)間[a，b]劃分為寬度為h=(b-a)/n的n個(gè)子區(qū)間，組合梯形公式

是對(duì)積分

3 拋物線法(辛普森公式)

對(duì)于精度要求不是很高的定積分的計(jì)算，梯形公式的計(jì)算結(jié)果完全可以達(dá)到應(yīng)用的精度要求.如果對(duì)精度要求較高，則有必要引入更有效的拋物線法，即在分割的每個(gè)小區(qū)間上采用二次多項(xiàng)式來(lái)近似代替被積函數(shù).

將積分區(qū)間[a，b]作n(其中n為偶數(shù))等分，分點(diǎn)依次為

曲線上相應(yīng)點(diǎn)為P0，P1，…，Pn(Pi(xi，f(xi))，i=0，1，…，n)現(xiàn)把區(qū)間[x0，x2]上的曲線段y=f(x)用通過(guò)三點(diǎn)P0(x0，f(x0))，P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))的 拋物線

來(lái)近似代替，則有

同樣也有

下面給出該題目用拋物線法求解的Matlab程序

Matlab命令行中輸入simeq(10 000，0，3*pi/2)，即把分為10 000個(gè)子區(qū)間，由程序計(jì)算得該定積分的近似值為5.730 296 683 541 416.

用該方法解決此定積分題目的誤差分析可以用下面定理估計(jì).

定理3[3]設(shè)[a，b]劃分為寬度為h=(ba)/(2n)的2n個(gè)等寬度子區(qū)間[xk，xk+1]，組合辛普 森 公 式是積分的逼近.并且，如果f∈C4[a，b]，則存在 ξ，a＜ ξ＜b，使得誤差項(xiàng)ES(f，h)具有的形式.

一般地，對(duì)于很難或者完全無(wú)法直接積分的復(fù)雜函數(shù)，解析方法通常是不實(shí)際的，而且有時(shí)候根本無(wú)法得到結(jié)果，這種情況，我們都可以通過(guò)本文中類(lèi)似的Matlab編程的方法得到積分的近似值.

[1]張嘉林.高等數(shù)學(xué)[M].北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2008.

[2]劉 證，丁桂艷.關(guān)于定積分幾種近似計(jì)算的誤差估計(jì)[J].鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26(4):313－317.

[3][美]MATHEWS JH，F(xiàn)INK K D.數(shù)值方法(Matlab版)[M].周 璐，陳 渝，錢(qián) 方，等，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2009.