加權(quán)馬爾可夫鏈在預(yù)測(cè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)中的應(yīng)用

宋千紅

（1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)文理學(xué)院，大慶163319；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)[1,2]是指居民支付所購(gòu)買消費(fèi)品和獲取服務(wù)項(xiàng)目的價(jià)格。它同人民生活息息相關(guān)，在整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)價(jià)格體系中占有重要地位。是我國(guó)政府統(tǒng)計(jì)部門所編制的一種重要指數(shù)。對(duì)于觀察居民生活消費(fèi)品及服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格的變動(dòng)對(duì)城鄉(xiāng)居民生活的影響，對(duì)于各級(jí)部門掌握居民消費(fèi)價(jià)格狀況和研究制定居民消費(fèi)價(jià)格政策、工資政策、進(jìn)行宏觀調(diào)控和抑制通貨膨脹等，都具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。主要應(yīng)用加權(quán)馬爾可夫鏈的預(yù)測(cè)方法對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 馬爾可夫鏈

在實(shí)際中有一類很廣泛的隨機(jī)過(guò)程，其特點(diǎn)體現(xiàn)在過(guò)程中各個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量有一定的相依（即非獨(dú)立）關(guān)系，具體地說(shuō)就是：過(guò)去只影響現(xiàn)在，而不影響將來(lái)，這種隨機(jī)過(guò)程叫做馬爾可夫過(guò)程。時(shí)間離散、狀態(tài)離散的馬爾可夫過(guò)程叫做馬爾可夫鏈。

嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義為[3]：設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）為一概率空間，{X（n），n≥0}是定義在其上的取值為整數(shù)（或它的子集）的隨機(jī)序列，若對(duì)任意的m≥1 及非負(fù)整數(shù)t1＜t2＜…＜tm＜tm+1，有

P{X（tm+1）=im+1｜X（t1）=i1，X（t2）=i2，…，X（tm）=im}=P{X（tm+1）=im+1｜X（tm）=im}，其中 i1，i2，…im+1∈I，I 為{X（n），n≥0}的狀態(tài)空間，且假定等式兩端的條件概率都有意義，則稱{X（n），n≥0}為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱馬氏鏈。

2 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的基本思想

由于每個(gè)時(shí)段的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列是一列相依的隨機(jī)變量，其各階自相關(guān)系數(shù)刻畫了各種滯時(shí)（各個(gè)時(shí)段）的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。因此，可考慮先分別依其前面若干時(shí)段的價(jià)格指數(shù)（對(duì)應(yīng)的狀態(tài)）對(duì)該時(shí)間段價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后，按前面各時(shí)段與該時(shí)段相依關(guān)系的強(qiáng)弱進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)和綜合分析，即可以達(dá)到充分、合理地利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的。這就是加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的基本思想[4]。

3 加權(quán)馬爾可夫鏈在預(yù)測(cè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)中應(yīng)用的具體步驟

（1）根據(jù)全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)和通貨膨脹率之間的關(guān)系，將全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)劃分為若干個(gè)狀態(tài)空間；

（2）按“（1）”所建立的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，確定各年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)資料序列所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)；

（3）“馬氏性”檢驗(yàn)，通常離散序列的馬爾可夫鏈，可用X2統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)。設(shè)所討論的指標(biāo)值序列包含m 個(gè)可能的狀態(tài)，用fij 表示指標(biāo)值序列x1，x2，…xn中從狀態(tài)i 經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j 的頻數(shù)，i，j∈E。將轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣的第j 列之和除以各行各列的總和所得的值稱為“邊際概率”，記為P·j，即

（4）計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rk，k∈E

式中rk表示第k 階（滯時(shí)為k年的）自相關(guān)系數(shù)，xl表示第l年的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，x ˉ表示消費(fèi)價(jià)格指數(shù)均值，n 表示消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列的長(zhǎng)度；對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化，即把

作為各種滯時(shí)（步長(zhǎng)）的馬爾可夫鏈的權(quán)重；

（5）對(duì)“（2）”所得的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得不同滯時(shí)（步長(zhǎng)）的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，它決定了消費(fèi)價(jià)格指數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程的概率法則；

（6）分別以前面若干年的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)值為初始狀態(tài)，結(jié)合其相應(yīng)的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測(cè)出該年消費(fèi)價(jià)格指數(shù)值的狀態(tài)概率Pi(k)，i∈E，k 為滯時(shí)（步長(zhǎng)），k=1，2，…，m；將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)求和作為消費(fèi)價(jià)格指數(shù)指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，即

max{Pi，i∈E}所對(duì)應(yīng)的即為該年消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的預(yù)測(cè)狀態(tài)。

4 實(shí)例分析

以中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒1989～2006年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)資料為例，進(jìn)行馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)，以說(shuō)明加權(quán)馬爾可夫鏈方法的具體應(yīng)用并檢驗(yàn)之。居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)資料如表1 所列。

表1 全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)及狀態(tài)表Table 1 CPI and it’s states

（1）如表2 所示，根據(jù)消費(fèi)價(jià)格指數(shù)和通貨膨脹率之間的關(guān)系，將1989～2006年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)劃分為4 個(gè)狀態(tài)空間，即通貨緊縮、正常、通貨膨脹及嚴(yán)重通貨膨脹。

（2）按“（1）”所確立的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，確定各年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)資料序列所屬狀態(tài)如表1 所示。

表2 全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)狀態(tài)分級(jí)表Table 2 The state classification of CPI

（3）對(duì)于給定的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)資料序列做馬爾可夫性檢驗(yàn)。由表1 提供的資料可得到一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

（4）可計(jì)算出各階自相關(guān)系數(shù)和各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈權(quán)重，見(jiàn)表3。

（5）經(jīng)計(jì)算，可得步長(zhǎng)為2，3，4 的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

表3 各階自相關(guān)系數(shù)和各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈權(quán)重表Table 3 The auto correlative coefficient and weight

（6）據(jù)2005年、2004年、2003年、2002年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)及相應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)2006年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)及所處狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，見(jiàn)表4。

表4 2006年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)表Table 4 The CPI prediction of 2006

由表 4 可知，max{Pi，i∈E}=0.322 6，此時(shí) i=2，可見(jiàn)2006年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相應(yīng)的狀態(tài)為2（正常），即該年居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)在100～103 之間，屬于正常年，這與實(shí)際值101.5 是吻合的。

5 結(jié)束語(yǔ)

目前在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，出現(xiàn)了多種預(yù)測(cè)的方法，如基于絕對(duì)分布的馬爾可夫鏈方法、疊加馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法等，與它們相比，加權(quán)馬爾可夫鏈具有預(yù)測(cè)范圍廣、可靠性高、信息利用合理充分的特點(diǎn)。通過(guò)實(shí)例分析，預(yù)測(cè)結(jié)果為全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)所處于的狀態(tài)（即一個(gè)區(qū)間），而非具體的數(shù)值，與普通的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法相比，加權(quán)馬爾可夫鏈?zhǔn)且愿麟A的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，用各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈加權(quán)和來(lái)預(yù)測(cè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)所處狀態(tài)，將加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法用于全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)充分表現(xiàn)出來(lái)。但對(duì)于如何根據(jù)最后計(jì)算得到的狀態(tài)概率分布求出居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的具體值仍是一個(gè)有待解決的問(wèn)題。

［1］ 李時(shí).應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.

［2］ 張梅林.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.

［3］ 葉爾驊，張德平.概率論與隨機(jī)過(guò)程［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［4］ 孫才志，張戈，林學(xué)鈺.加權(quán)馬爾可夫模型在降水豐枯狀況預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2003（4）:100-105.