用激光掃描測振儀測定石膏懸臂梁動彈性模量

徐 煒，徐 敏，楊振宇

(河海大學力學與材料學院，江蘇南京 210098)

許多材料的彈性模量與振動頻率等因素有關(guān)，而動力計算中彈性模量往往被假定為常數(shù)，因此動力試驗與計算的結(jié)果存在一定的差異[1].材料的動彈性模量是結(jié)構(gòu)設(shè)計的一個重要參數(shù)，在水工結(jié)構(gòu)動力設(shè)計中，一般比靜彈性模量增加20%[2].一些材料如石膏、加重乳膠等被用于水工結(jié)構(gòu)動力模型試驗，這些材料的動彈性模量隨著頻率的變化而改變[3]，而動彈性模量的變化必將影響結(jié)構(gòu)的響應(yīng).為了模擬這種受力狀態(tài)，也為了便于在振動臺上進行試驗，試件一般采用懸臂梁結(jié)構(gòu)[4].國外學者已通過各種試驗方法[5-8]獲得材料的動彈性模量，如聲發(fā)射、測固有頻率等，但傳感器會引起試件局部附加質(zhì)量和力學特性的改變.Caracciolo等[9]用單點激光測振儀測得懸臂梁的固有頻率，從而獲得材料的動彈性模量，解決了這一問題.筆者使用多點激光掃描測振儀測得結(jié)構(gòu)的固有頻率以及振型，通過振型來校核結(jié)構(gòu)的固有頻率，排除側(cè)向振動固有頻率和交流電信號的干擾，使測試結(jié)果更加可靠.

1 用反演方法計算材料動彈性模量的基本理論

利用有限元模態(tài)分析和試驗?zāi)B(tài)分析的結(jié)果，根據(jù)反演的方法[10]可以求得材料在各階固有頻率下的動彈性模量.

由于小阻尼對大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)自振頻率影響很小，計算時可以將石膏懸臂梁的振動當做無阻尼振動.根據(jù)有限元方法，無阻尼自由振動的方程為

式中:K——剛度矩陣;ω——固有頻率;M——質(zhì)量矩陣.

一旦有限元網(wǎng)格劃分確定，K只與彈性模量E和泊松比μ有關(guān).如果 μ是常量，K可以寫成

式中K′是E=1時的勁度矩陣.

同樣，M 可以寫成

式中:ρ——材料密度;M′——ρ=1時的質(zhì)量矩陣.

將式(2)、式(3)代入式(1)，式(1)可以寫成

對于相同結(jié)構(gòu)、相同邊界條件、密度不變的同一種材料，材料的靜彈性模量和動彈性模量之間的關(guān)系可以寫成

式中:ωi，ω0i——試驗?zāi)B(tài)分析和有限元模態(tài)分析得到的第 i階固有頻率;Ei，E0i——在 i階固有頻率下的動彈性模量和靜彈性模量.

2 有限元模態(tài)分析

用商用軟件ANSYS對石膏懸臂梁進行模態(tài)分析.梁的尺寸為50mm×50mm×500mm.根據(jù)相關(guān)規(guī)范[11]進行抗彎試驗，得到將用于拱壩動力模型試驗的石膏密度為900kg/m3，泊松比為0.25，靜彈性模量為2400MPa.試驗數(shù)據(jù)如表1所示，各試件破壞荷載平均值為2 303N，彈性模量平均值為2 400MPa.石膏懸臂梁的有限元模型如圖1所示.為了測定石膏懸臂梁在200Hz以下的動彈性模量，有關(guān)文獻通過試驗證明了石膏的動彈性模量在石膏懸臂梁第一階固有頻率之后的變化在5%以內(nèi)[12]，所以，本文只測定石膏懸臂梁第一階固有頻率.石膏懸臂梁的第一階振型如圖2所示，第一階固有頻率為52.7Hz.

圖1 石膏懸臂梁有限元模型Fig.1 FEM model of plaster cantilever beam

表1 石膏的靜彈性模量Table 1 Static elastic modulus of plaster

圖2 懸臂梁第一階振型Fig.2 First-order modal shape of cantilever beam

3 試驗?zāi)B(tài)分析

3.1 試驗裝置

石膏懸臂梁試驗?zāi)B(tài)分析的試驗裝置如圖3所示.

3.2 第一階固有頻率

通過5-100H基礎(chǔ)正弦掃頻激勵，得到石膏懸臂梁第一階固有頻率.為了排除側(cè)向振動固有頻率和交流電信號的干擾，還需用振型和自由衰減周期進行校核.試驗結(jié)果如4所示.經(jīng)分析，第一階固有頻率為59.0Hz.

圖3 石膏懸臂梁試驗裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of experiment setup of plaster cantilever beam

圖4 石膏懸臂梁的第一階固有頻率Fig.4 First-order natural frequency of plaster cantilever beam

3.3 第一階振型

在第一階固有頻率下進行基礎(chǔ)正弦激勵，加速度為0.3m/s2.用測試激光信號發(fā)射器從梁的頂部到底部進行掃描，得到梁的第一階振型，如圖5中曲線所示.排除側(cè)向振動固有頻率和交流電信號的干擾，對第一階橫向振動固有頻率進行校核.結(jié)果表明，試驗所得第一階振型與有限元計算的一致.

3.4 阻尼比

通過敲擊錘敲擊懸臂梁得到石膏懸臂梁頂部測試點速度的自由衰減曲線，如圖6所示.取10個周期，根據(jù)式(7)得到阻尼比為4.4×10-3，驗證了之前小阻尼振動的假設(shè).

將自由衰減曲線進行FFT(快速傅里葉變換)，得到速度在頻域內(nèi)的變化，如圖7所示，其峰值對應(yīng)頻率為59.1Hz.自由衰減的頻率為59.1Hz，與之前得到的第一階固有頻率一致.

圖5 石膏懸臂梁第一階振型Fig.5 First-order modal shape of plaster cantilever beam

圖6 測試點速度自由衰減曲線Fig.6 Free vibration attenuation curve of velocity at test point

4 結(jié) 語

通過數(shù)值方法(有限單元法)和試驗?zāi)B(tài)分析方法分別得到石膏懸臂梁的第一階固有頻率和振型.根據(jù)有限元模態(tài)分析和試驗?zāi)B(tài)分析的結(jié)果，用反演的方法得到石膏在第一階固有頻率下的動彈性模量(3020MPa)，為拱壩動力模型試驗提供了動彈性模量參數(shù).試驗結(jié)果表明:石膏在第一階固有頻率下的動彈性模量與靜彈性模量相比，提高了約25.8%.

圖7 測試點速度在頻域內(nèi)的響應(yīng)Fig.7 Frequence response to velocity at test point

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