雙重符合性審計(jì)抽樣時(shí)的抽樣規(guī)模的確定

耿修林

0 引言

運(yùn)用抽樣方法開展審計(jì)活動(dòng)已有近百年的歷史，經(jīng)過這么多年的發(fā)展產(chǎn)生了許多樣本審計(jì)測試的組織方式，它們大體上可區(qū)分為兩大類別，即概率抽樣和非概率抽樣。非概率性質(zhì)的審計(jì)抽樣能充分融入審計(jì)的意圖和審計(jì)人員的從業(yè)經(jīng)驗(yàn)，但由此得到的樣本測試結(jié)果原則上只能反映問題是否存在，不便于對(duì)審計(jì)對(duì)象總體情況做出符合數(shù)理邏輯的推斷。純概率意義上的審計(jì)抽樣，雖然能保證由樣本測試上升到對(duì)審計(jì)對(duì)象總體的反映，但在審計(jì)目的不很明確、審計(jì)人員業(yè)務(wù)經(jīng)驗(yàn)不足時(shí)，一味依賴于隨機(jī)規(guī)則實(shí)施抽樣審計(jì)，有可能會(huì)產(chǎn)生較大的風(fēng)險(xiǎn)，甚至遺漏或不能找出問題所在[1]，這或許也是純概率審計(jì)抽樣測試在實(shí)際使用中時(shí)常遭受詬疑的原因之一。對(duì)此，如果采用試探性做法，先從審計(jì)對(duì)象總體中按概率方式抽取一個(gè)較大規(guī)模的樣本，在初步檢查掌握部分情況后再從這個(gè)較大規(guī)模的樣本中抽取較小水平的測試樣本，則可以彌補(bǔ)“直接抽樣”的不足。這樣的樣本抽取方式，習(xí)慣上稱之為雙重抽樣或雙相抽樣，其基本特征是從樣本中再抽取樣本[3]。

在相同的抽樣規(guī)模和樣本推斷信度下，分層審計(jì)抽樣的效果要好于簡單隨機(jī)審計(jì)抽樣[3][4]。但在審計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)不足或不存在明顯的分層標(biāo)志情形下，要想取得良好的分層審計(jì)抽樣估計(jì)效果也是不大有可能的。假如采用雙重審計(jì)抽樣，在獲得第一重審計(jì)樣本后，通過對(duì)第一重樣本的直觀觀察和判斷，然后再用分層抽樣的辦法，從第一重樣本中抽取較小規(guī)模的第二重樣本以此進(jìn)行測試分析，就有可能會(huì)改善審計(jì)樣本估計(jì)效果。

符合性審計(jì)也叫合規(guī)性審計(jì)，它主要檢查審計(jì)對(duì)象總體錯(cuò)誤發(fā)生的比例或被審計(jì)單位相關(guān)內(nèi)控制度的執(zhí)行情況等[2]。符合性審計(jì)中成數(shù)是其重要的估計(jì)內(nèi)容，由于這種測試內(nèi)容的特征，要是直接按照統(tǒng)計(jì)隨機(jī)原則抽取測試樣本可能在某些場合下行不通或者效果不好，原因是：符合性特征的發(fā)生帶有某種程度的“稀少性”，可能在大量的審計(jì)單元中都不存在，這時(shí)先抽取一個(gè)比較大的第一重樣本把那些真正具有審計(jì)測試意圖的單位挑選出來再實(shí)施抽樣，可能有助于快速確定出對(duì)測試具有價(jià)值的檢查樣本；通過雙重抽樣的第一重樣本檢查，能夠獲得有關(guān)輔助性資料，這對(duì)改善審計(jì)樣本尤其是分層估計(jì)效果會(huì)有實(shí)質(zhì)性幫助；縱使第二重樣本單位檢查的信息不能獨(dú)立發(fā)揮作用，至少也可以對(duì)第一重樣本審計(jì)檢查的結(jié)果進(jìn)行評(píng)估和調(diào)整[4]。

1 雙重符合性抽樣分層估計(jì)量的精度

為便于討論雙重符合性審計(jì)抽樣時(shí)的抽樣規(guī)模，在此先對(duì)雙重符合性抽樣分層估計(jì)原理進(jìn)行簡要的說明。假定從審計(jì)對(duì)象總體中按照純隨機(jī)抽樣方法抽取容量為n′的第一重樣本，然后將其分成L層，其中第h層的第一重樣本單位數(shù)為 n′h(h=1,2,...,L)，n′=n′1+n′2+...+n′L。從第一重樣本中抽取容量為n的第二重樣本，屬于第二重樣本第h層的樣本單位數(shù)為nh，那么n=n1+n2+...+nL。用表示由第一重抽樣得到的第h層層權(quán)，總體的第h層真實(shí)層權(quán)用Wh=N′h(N′)-1表示，N′為總體全部單位數(shù)，N′h為總體第h層單位數(shù)目。Yhj為第h層第 j個(gè)總體單位測量，且取值0或者1，yhj表示第h層第 j個(gè)樣本單位測量，同為0-1變量。在這些符號(hào)的約定下，容易得到審計(jì)對(duì)象總體符合性成數(shù)P=WhPh的樣本估計(jì)量，因?yàn)榈谝恢貥颖镜膶映蓴?shù) p′h為

第一重樣本成數(shù)p′

第二重樣本第h層的樣本成數(shù)

它可用作第一重樣本層成數(shù) p′h的估計(jì)，并且還是無偏的估計(jì)量[4]。此時(shí)，總體符合性成數(shù)P的估計(jì)量可以構(gòu)造成

其中，pstd表示雙重分層抽樣時(shí)的樣本符合性成數(shù)。

在抽樣測試水平比較大時(shí)，理論上可以說明pstd是總體均值P的無偏估計(jì)，用 pstd估計(jì)總體符合性成數(shù)P的方差為

在第一重抽樣比和第二重抽樣比較小的情形下，式（5）可簡單表示成

2 雙重符合性審計(jì)抽樣分層推斷時(shí)的抽樣規(guī)模

對(duì)雙重符合性審計(jì)抽樣測試問題，一方面需要給出第二重抽樣水平的計(jì)算辦法，另一方面也要確定出第一重抽樣測試的樣本檢查規(guī)模。依據(jù)決策分析的原理，大致有兩種處理方法，即“常規(guī)決策”分析和貝葉斯決策規(guī)則。

2.1 “常規(guī)決策”分析

樣本估計(jì)精度大小與樣本推斷風(fēng)險(xiǎn)之間存在一定的聯(lián)系，“常規(guī)決策”分析是根據(jù)事先給定的費(fèi)用預(yù)算約束，盡可能地提高抽樣估計(jì)精度即最大限度地降低估計(jì)量的方差，然后以此來確定抽樣測試水平。

雙重抽樣測試的費(fèi)用由兩部分組成，一部分是抽取第一重測試樣本發(fā)生的費(fèi)用，另一部分是抽取第二重測試樣本的費(fèi)用[3]。設(shè)第一重測試樣本每個(gè)單位的可變測試費(fèi)用為c1，這樣第一重抽樣總的可變檢查費(fèi)用c1n′。由于第二重樣本是符合性審計(jì)抽樣測試的關(guān)鍵部分，有關(guān)這一部分的檢查費(fèi)用需要給出更為詳細(xì)的說明，假定第二重測試樣本中每個(gè)層的樣本單位檢查的可變費(fèi)用為c2h，這樣為簡單起見分層用雙重審計(jì)抽樣測試的全部可變費(fèi)用可采用如下的線性函數(shù)進(jìn)行描述

其中的C表示測試檢查的全部可變費(fèi)用支出。

根據(jù)一般的抽樣調(diào)查原理，由于第二重測試樣本每個(gè)層中分配的樣本單位數(shù)是隨機(jī)變量，為此需要考慮在固定第二重抽樣各層抽樣比的基礎(chǔ)上，計(jì)算審計(jì)樣本測試全部可變費(fèi)用支出的數(shù)學(xué)期望

其中，γh為既定的第二重測試樣本的層抽樣比。

估計(jì)量 pstd的方差由式（5）給出，在引進(jìn)第二重測試樣本固定的層抽樣比情況下，可以將式（5）改寫成

對(duì)其進(jìn)行變形處理

把式（8）與式（10）相乘得

根據(jù)CAUCHY-SCHWARZ不等式得

由此可解得第二重符合性審計(jì)抽樣中各層的抽樣比

把式（13）代入到式（7），得到第一重抽樣的最小抽樣測試水平，即

在第一重抽樣規(guī)模給定時(shí)，可以得到

如上所述，第二重樣本量是隨機(jī)變量，對(duì)其求數(shù)學(xué)期望可以給出雙重符合性測試抽樣時(shí)第二重抽樣的平均抽樣水平

對(duì)雙重符合性測試抽樣在第二重抽樣時(shí)層間樣本量采用等比例分配，此時(shí)式（6）可簡潔表示成

此時(shí)，假定檢查可變費(fèi)用采用函數(shù)

1.2.1 實(shí)驗(yàn)組教學(xué)方法 Mini-CEX考核評(píng)估項(xiàng)目包括7種：病史采集；體格檢查；醫(yī)德醫(yī)風(fēng)；醫(yī)患交流；臨床診斷；治療方案；整體評(píng)價(jià)。實(shí)施步驟：（1）設(shè)計(jì)以Mini-CEX考核內(nèi)容為基礎(chǔ)的內(nèi)科護(hù)理學(xué)授課計(jì)劃及內(nèi)容，并在教案中體現(xiàn)。（2）教師布置病例，要求護(hù)生結(jié)合病例進(jìn)行角色扮演，內(nèi)容包括病史采集、體格檢查、臨床診斷、治療方案，其間要體現(xiàn)醫(yī)德醫(yī)風(fēng)、醫(yī)患交流。（3）每次課程最后20分鐘，教師抽取1名護(hù)生以Mini-CEX考核表格進(jìn)行全面考核，當(dāng)場進(jìn)行評(píng)價(jià)并反饋。Mini-CEX的優(yōu)點(diǎn)是護(hù)生可以及時(shí)獲得反饋，在給一名護(hù)生進(jìn)行反饋的同時(shí)，其他護(hù)生也有收獲。

那么，關(guān)于雙重審計(jì)抽樣的抽樣規(guī)模確定，還可以有個(gè)稍微簡單一點(diǎn)的計(jì)算方法。

聯(lián)合式（17）和式（18），構(gòu)造如下的符合性抽樣規(guī)模決策分析數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

把約束規(guī)劃轉(zhuǎn)換成無約束問題，利用拉格朗日法則能得到

通過求極值，得到

對(duì)測試費(fèi)用給定，把式（21）代入式（18）

由此解出的第一重符合性抽樣測試規(guī)模的計(jì)算公式

反過來，把式（23）代入到式（18），能得到第二重符合性抽樣測試水平的計(jì)算公式

2.2 貝葉斯決策規(guī)則

運(yùn)用“常規(guī)決策”分析法確定符合性審計(jì)抽樣測試水平的“缺陷”是，它直接把樣本估計(jì)精度和抽樣測試費(fèi)用這兩類性質(zhì)不同的東西放在一起處理，雖然最終能給出分析的結(jié)果，但從事理上有說不通的嫌疑。貝葉斯決策規(guī)則在確定符合性審計(jì)抽樣測試規(guī)模的時(shí)候，不僅把樣本估計(jì)精度與由此衍生出來的判斷失誤風(fēng)險(xiǎn)損失有機(jī)地結(jié)合起來，同時(shí)還兼顧了審計(jì)樣本測試發(fā)生的費(fèi)用[5]。因此，貝葉斯決策規(guī)則對(duì)審計(jì)抽樣測試的損失或費(fèi)用運(yùn)用得更為深刻，也更符合客觀現(xiàn)實(shí)的邏輯。

假定由樣本測試資料做出審計(jì)判斷失誤的損失可以用價(jià)值量來刻畫；由樣本測試資料進(jìn)行審計(jì)判斷的失誤可以用總體符合性成數(shù)估計(jì)的誤差來反映。那么，根據(jù)貝葉斯決策的基本做法，可以構(gòu)造如下形式的雙重符合性審計(jì)抽樣規(guī)模確定模型：

在第二重審計(jì)測試抽樣層間樣本數(shù)目采用等比例分配的假定下，式（25）等價(jià)于

通過求解無條件極值可得到

3 結(jié)論

樣本測試規(guī)模的大小對(duì)審計(jì)樣本測試推斷結(jié)果的影響是客觀存在的。按照概率統(tǒng)計(jì)的一般原理，樣本測試規(guī)模過小，有可能會(huì)產(chǎn)生更大的樣本估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)；反過來樣本測試規(guī)模較大，由此會(huì)在一定程度上提高估計(jì)精度，相應(yīng)地也就能降低樣本推斷風(fēng)險(xiǎn)。但測試樣本也不可能無限增大，否則就達(dá)不到抽樣審計(jì)的目的。另外，既然是抽樣審計(jì)樣本測試組織方式可以針對(duì)特定對(duì)象的特征進(jìn)行安排，但樣本測試的規(guī)模需要結(jié)合樣本推斷要求以及測試費(fèi)用約束來加以確定。這一方面是為了增加工作的規(guī)范性；另一方面是為了減小審計(jì)責(zé)任和風(fēng)險(xiǎn)。

[1]李鳳鳴.審計(jì)學(xué)原理（第5版）[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2011.

[2]毛節(jié)飛.審計(jì)理論與實(shí)務(wù)[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,2009.

[3]馮士雍,倪加勛,鄒國華.抽樣調(diào)查理論與方法[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1998.

[4][美]W.G.科克倫.抽樣技術(shù)[M].張堯庭,吳輝譯.北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1985.

[5]Hans Peter Stuger.Asymmetric Loss Functionsand Sample Size Deter?mination:A Bayesian Approach[J].Austrlan Journal of Statistics,2006,(35).