狀態(tài)空間法在超寬帶雷達(dá)動(dòng)目標(biāo)速度及距離像估計(jì)中的應(yīng)用

楊利民 蘇衛(wèi)民 顧 紅 耿潤(rùn)潼 邵 欣

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210049)

1 引言

由于UWB雷達(dá)相對(duì)帶寬2(f2-f1)/(f1+f2)不小于25%[1](f2和f1分別為超寬帶信號(hào)頻率的上、下限)，通常而言該雷達(dá)具有高分辨距離像能力。與窄帶雷達(dá)不同的是，常被看作“點(diǎn)”的目標(biāo)對(duì)于UWB雷達(dá)而言其由多個(gè)散射體組成，因而具有更精細(xì)的距離像信息。然而，UWB雷達(dá)通過(guò)提高發(fā)射信號(hào)的絕對(duì)帶寬(即f2-f1)以提高距離像分辨力的同時(shí)，存在相對(duì)徑向運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)的多普勒頻率由于較寬的絕對(duì)帶寬而不再是點(diǎn)頻，而是跟隨信號(hào)頻率變化，該現(xiàn)象稱為多普勒色散(Doppler dispersion)[2]。這使得試圖通過(guò)計(jì)算多普勒頻率以獲得徑向速度變得困難。

根據(jù)文獻(xiàn)[3,4]，當(dāng)多普勒色散因子BT(2v/c)<<1時(shí)(其中B,T分別為發(fā)射信號(hào)帶寬和時(shí)寬，v和c分別為目標(biāo)相對(duì)徑向速度和光速)，窄帶回波模型仍適合，回波的伸縮可以忽略。然而，在 UWB雷達(dá)中，對(duì)于帶寬B很寬及高速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，該因子極易接近或者大于 1。此時(shí)，回波存在與徑向速度相關(guān)的伸長(zhǎng)或者壓縮，壓縮因子s為(c-v)/(c+v)[3,4]。因此，需考慮多普勒色散對(duì)徑向速度估計(jì)的影響。于是，文獻(xiàn)[5]首次提出利用被美譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的小波變換估計(jì)目標(biāo)與雷達(dá)間距離及壓縮因子s，再根據(jù)該因子獲得相對(duì)徑向速度，從而有效地規(guī)避了多普勒色散對(duì)徑向速度估計(jì)的影響。

然而，利用小波變換時(shí)，限制了UWB雷達(dá)的發(fā)射波形，即發(fā)射波形需滿足母小波容許性[5]。目前，有利用SS估計(jì)UWB雷達(dá)參數(shù)的相關(guān)研究[6-8]，其考慮在高頻區(qū)利用幾何衍射理論(Geometrical Theory of Diffraction,GTD)建立帶有散射體特征參數(shù)的散射體沖激響應(yīng)模型，能獲得高分辨距離及速度像。對(duì)于低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)且多普勒色散因子遠(yuǎn)小于1時(shí)，GTD模型具有良好的適應(yīng)性。然而，隨著現(xiàn)代國(guó)防科技的飛躍發(fā)展，如X-37B無(wú)人太空戰(zhàn)機(jī)等高速運(yùn)動(dòng)飛行器問(wèn)世，探討適應(yīng)于高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)方法具有重要的應(yīng)用價(jià)值。本文討論當(dāng)多普勒色散因子大于 1時(shí)，采用SS方法估計(jì)基于UWB雷達(dá)的目標(biāo)徑向速度及距離像。首先，當(dāng)多普勒色散因子大于1時(shí)，結(jié)合具有伸縮的回波模型構(gòu)造目標(biāo)頻域沖激響應(yīng)。然后，利用SS法[9,10]估計(jì)目標(biāo)高分辨距離像及壓縮因子s，從而利用s進(jìn)一步獲得高精度徑向速度。本文進(jìn)一步推導(dǎo)了上述估計(jì)參數(shù)的 CRLB，并與通過(guò)蒙特卡羅(Monte Carlo,MC)重復(fù)試驗(yàn)獲得的相應(yīng)均方根誤差(RMSE)進(jìn)行比較，以分析估計(jì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性能。SS法在低信噪比(SNR)下依然具有較好的估計(jì)性能，因此具有良好的噪聲抑制能力。此外，由于只需要目標(biāo)頻域沖激響應(yīng)而不涉及UWB雷達(dá)的具體發(fā)射波形，SS沒(méi)有如小波變換對(duì)發(fā)射波形應(yīng)具有容許性的限制[5]。

本文內(nèi)容安排如下：首先，結(jié)合具有壓縮的回波模型推導(dǎo) UWB雷達(dá)下目標(biāo)的頻域沖激響應(yīng)模型，并根據(jù)該模型獲得Hankel矩陣；其次，討論利用 SS估計(jì)存在徑向運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)的距離及壓縮因子s；然后，分別推導(dǎo)壓縮因子s，距離R及初相位φ對(duì)應(yīng)的CRLB；通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述討論；最后，總結(jié)全文。

2 UWB雷達(dá)目標(biāo)頻域沖激響應(yīng)及狀態(tài)空間模型

2.1 UWB雷達(dá)目標(biāo)頻域響應(yīng)函數(shù)

為獲得目標(biāo)散射體的沖激響應(yīng)函數(shù)，假設(shè)UWB雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)fT(t)為狄拉克(Dirac)函數(shù)δ(t)，則當(dāng)UWB雷達(dá)BT(2v/c)>1時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[5]可得具有伸縮的回波模型：

當(dāng)?shù)趌個(gè)散射體的徑向速度滿足|vl|/c<<1,|·|為取模，則式(1)中第l個(gè)散射體壓縮因子sl為

及其對(duì)應(yīng)的時(shí)延τl為

其中Rl為第l個(gè)散射體與雷達(dá)間的斜距。對(duì)式(1)作快速傅里葉變換(FFT)，即目標(biāo)的頻域沖激響應(yīng)為

2.2 UWB雷達(dá)目標(biāo)狀態(tài)空間模型

對(duì)于線性系統(tǒng)，在控制理論中的不同于自回歸滑動(dòng)平均(Auto-Regressive and Moving Average,ARMA)的另一種常見(jiàn)模型為狀態(tài)空間模型[10]，即UWB雷達(dá)目標(biāo)的離散狀態(tài)空間方程可表示為[9]

其中x(n)為其狀態(tài)向量，且A為系統(tǒng)狀態(tài)變化矩陣，B為輸入量對(duì)狀態(tài)影響矩陣，C為狀態(tài)對(duì)輸出影響矩陣。設(shè)該系統(tǒng)為1個(gè)輸入和輸出量，且狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為β，則有及C∈,?表示復(fù)數(shù)集。由文獻(xiàn)[10]可知，矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)ARMA模型的極值點(diǎn)；矩陣(A-BC)對(duì)應(yīng) ARMA模型的零值點(diǎn)。若該系統(tǒng)為零初始狀態(tài)，輸入為沖激函數(shù)，則有

于是，根據(jù)式(6)可得沖激響應(yīng)[6]：

式(8)中y(n)=CAn-1B即為基于狀態(tài)空間模型的沖激響應(yīng)函數(shù)。

根據(jù)如式(5)所示的UWB雷達(dá)目標(biāo)頻域響應(yīng)函數(shù)(n)，其可進(jìn)一步表示為

則結(jié)合式(8)中的第n個(gè)表達(dá)式和式(9)，可得

從式(10)可知，如式(8)的基于狀態(tài)空間模型的沖激響應(yīng)完全可以利用如式(5)所示的具有伸縮的回波模型的沖激響應(yīng)函數(shù)(n)表示。于是，根據(jù)式(9)及Hankel矩陣的定義可構(gòu)造Hankel矩陣H[9]為

其中N為回波采樣個(gè)數(shù)，NR=round(2N/3)[6]為H矩陣的行數(shù) (其中round(·)為取最近的整數(shù))。

3 利用狀態(tài)空間估計(jì)UWB雷達(dá)動(dòng)目標(biāo)距離及速度

由式(11)，進(jìn)行奇異分解(Singular Value Decomposition,SVD)可得[11]

其中∑=diag(σ1,σ2,…)，且σ1≥σ2≥…,diag(·)為對(duì)角矩陣，(·)H為共軛轉(zhuǎn)置(Hermitian)。由于對(duì)目標(biāo)散射體個(gè)數(shù)估計(jì)的正確與否直接決定散射體距離及徑向速度的估計(jì)精度及性能[12]，因此需正確估計(jì)目標(biāo)散射體個(gè)數(shù)。但傳統(tǒng)的 AIC (Akaike Information Criterion)[13]和 MDL (Minimum Description Length)[14]在SS方法中存在如文獻(xiàn)[15]所述的增加計(jì)算復(fù)雜度。于是，此處采用文獻(xiàn)[6]，即當(dāng)∑中前m個(gè)對(duì)角線元素滿足

則認(rèn)為目標(biāo)由m個(gè)散射體組成。從而有

其中U:,1:m為矩陣U前m列組成的矩陣，∑1:m,1:m為矩陣∑前m個(gè)奇異值。若分別刪除如式(14)所示矩陣的最后一行和第一行，可分別得到和+ ，即

由式(15)可得

其中?表示偽逆(Moore-Penrose Pseudo-Inverse)[16]。則矩陣特征分解為

因此，由式(17)可得

從而由式(18)，各散射體到雷達(dá)間的距離可表示為

由式(9)及式(18)可得矩陣C，即

從式(2)及式(20)可得相應(yīng)的目標(biāo)徑向速度

其中 Square(·)表示對(duì)(·)中各元素的平方。

4 距離/速度估計(jì)的CRLB

推導(dǎo)基于狀態(tài)空間法的UWB雷達(dá)目標(biāo)距離及速度的CRLB，以討論SS參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性能。由于2個(gè)及以上的散射體對(duì)CRLB的推導(dǎo)的復(fù)雜性，為了簡(jiǎn)化，本文只推導(dǎo)一個(gè)散射中心時(shí)的 CRLB。假設(shè)估計(jì)的參數(shù)為壓縮因子，斜距和相位，表示為，則包含噪聲的回波可表示為

其中y(n)為考慮噪聲的回波信號(hào)，(n)為服從均值為0，協(xié)方差為σ2的加性高斯白噪聲，即N(0,σ2),(n)為高斯白噪聲(n)污染后的回波。(n)的概率密度函數(shù)可表示為

則由式(23)可得似然函數(shù)的對(duì)數(shù)形式

其中l(wèi)n(·)為取對(duì)數(shù)。則由式(24)可得Fisher信息矩陣(FIM)的元素[6-7]：

通過(guò)式(25)，F(xiàn)IM可表示為

其中

根據(jù)式(26)，對(duì)矩陣J求逆，可得矩陣CCR(θ)

其中

其中C1,1,C2,2和C3,3分別為θ(1,1),θ(1,2)和θ(1,3)(即壓縮因子s，斜距R和相位φ)標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差的CRLB。

5 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)目標(biāo)由3個(gè)散射體組成，其和雷達(dá)間斜距分別為R0+2 m,R0+4 m和R0+5 m，其中R0=50 m。在本文中，由于最大不纏繞距離(即不模糊距離)Ru=c/ (2 Δf)=75 m，而目前所考慮的最大距離(R0+5)

現(xiàn)比較當(dāng)UWB雷達(dá)發(fā)射信號(hào)帶寬B分別為1 GHz和200 MHz時(shí)對(duì)如式(9)所示的頻域沖激響應(yīng)作逆傅里葉變換(IFFT)處理的目標(biāo)距離像，以及當(dāng)B為200 MHz時(shí)采取SS法估計(jì)的距離像。對(duì)上述獲得的距離像如圖1所示。

從圖1發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利用IFFT時(shí)，在B為1 GHz能較好估計(jì)目標(biāo)距離像。然而，當(dāng)B為 200 MHz時(shí)，其估計(jì)性能大大降低，只能粗略反映其距離像輪廓。而采取SS法時(shí)，盡管B為200 MHz，仍能高分辨估計(jì)目標(biāo)距離像。由此可知，在同帶寬條件下，和IFFT相比，SS的距離像估計(jì)性能得到很大的改善。

為了討論利用SS估計(jì)UWB雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的徑向速度，現(xiàn)假設(shè)4個(gè)平動(dòng)剛體目標(biāo)，其徑向速度分別為6000 m/s,6500 m/s,7000 m/s和7500 m/s，且 UWB信號(hào)頻率。雷達(dá)發(fā)射信號(hào)頻率f∈[1,2]GHz，則對(duì)應(yīng)帶寬B為1 GHz，時(shí)寬T為0.5 ms，則這 4個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)中最小多普勒色散因子BT(2v/c)|v=6000m/s=20>1，所以其回波存在由因子s≈1-2v/c=0.99996決定的伸長(zhǎng)，且該因子隨著徑向速度增大而降低。由SS獲得的上述目標(biāo)對(duì)應(yīng)的壓縮因子，然后結(jié)合式(2)計(jì)算出各自徑向速度估計(jì)值及其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)誤差如表1所示。

由表1發(fā)現(xiàn)，通過(guò)SS可以高精度估計(jì)UWB雷達(dá)徑向速度。由圖1和表1可知，通過(guò)SS法不但能高精度估計(jì)動(dòng)目標(biāo)徑向速度，而且能獲得高分辨距離像。而且，與小波變換估計(jì)中要求發(fā)射波形具有母小波容許性不同的是，由于SS只需目標(biāo)沖激響應(yīng)函數(shù)，而并未涉及具體的雷達(dá)發(fā)射波形，因此，本文采取的SS法沒(méi)有對(duì)發(fā)射波形的嚴(yán)格限制。

表1 當(dāng)SNR為20 dB時(shí)利用SS法獲得不同徑向速度的估計(jì)值比較(m/s)

由式(27)可得如圖2所示的利用SS估計(jì)的目標(biāo)徑向速度、距離及相位隨SNR變化的CRLB。

由圖2可知，在低SNR情況下，利用SS估計(jì)的徑向速度及距離也具有較低的CRLB值，從而使得高分辨估計(jì)目標(biāo)的徑向速度及距離像成為可能。

下面進(jìn)一步對(duì)比估計(jì)參數(shù)的 RMSE及相應(yīng)的CRLB，以分析參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性能。設(shè)距離及徑向速度估計(jì)參數(shù)的RMSE[17]定義為

其中L為散射體個(gè)數(shù)，(i)為第l個(gè)徑向速度或者距離參數(shù)pl在共100次MC試驗(yàn)中第i次重復(fù)試驗(yàn)的估計(jì)值。當(dāng)SNR從-25 dB到25 dB變化時(shí)，由式(28)估計(jì)的RMSE與對(duì)應(yīng)的CRLB進(jìn)行比較，以進(jìn)一步分析利用 SS估計(jì)上述參數(shù)的性能，如圖3所示。

從圖3得知，隨著SNR的增大，徑向速度的估計(jì)精度也隨著提高，在SNR小于15 dB時(shí)，與其CRLB很接近。盡管在SNR大于15 dB時(shí)其RMSE開(kāi)始偏離CRLB，但由于RMSE保留在約 1 0-6量級(jí)，此時(shí)對(duì)徑向速度精度影響可忽略。同樣，利用 SS估計(jì)的目標(biāo)距離像隨著SNR增大，其估計(jì)精度顯著改善，在SNR約20 dB處變化開(kāi)始趨緩。由此發(fā)現(xiàn)，利用SS，不但能估計(jì)目標(biāo)高分辨距離像，而且在對(duì)發(fā)射信號(hào)波形無(wú)限制及BT(2v/c)大于1的情況下，能估計(jì)高精度的徑向速度。此外，當(dāng)SNR較低時(shí)依然能保持較低的徑向速度及距離像RMSE，因此，SS法在參數(shù)估計(jì)中具有良好的噪聲抑制能力。

6 結(jié)論

與窄帶雷達(dá)不同的是，在UWB雷達(dá)中當(dāng)高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的多普勒色散因子大于1時(shí)，其回波模型發(fā)生由相應(yīng)壓縮因子決定的伸縮。本文結(jié)合上述回波模型的特點(diǎn)構(gòu)建目標(biāo)頻域沖激響應(yīng)，采用SS分別估計(jì)目標(biāo)的徑向速度及距離像。然后，進(jìn)一步推導(dǎo)了上述估計(jì)參數(shù)的 CRLB，并與通過(guò)蒙特卡羅重復(fù)實(shí)驗(yàn)獲得相應(yīng)的RMSE進(jìn)行比較，以討論估計(jì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性。由于SS法并未涉及具體UWB雷達(dá)發(fā)射波形形式，該方法對(duì)發(fā)射波形沒(méi)有限制，這不同于小波變換。仿真結(jié)果表明SS不但能高精度估計(jì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)徑向速度，而且能獲得高分辨距離像。通過(guò)比較參數(shù)估計(jì)值的RMSE及其CRLB可知SS估計(jì)的參數(shù)具有良好的統(tǒng)計(jì)性能。此外，SS法具有良好的噪聲抑制能力。

圖1 信號(hào)帶寬B分別為1 GHz和200 MHz時(shí)利用IFFT及當(dāng)B為200 MHz時(shí)利用SS估計(jì)的散射體(R0+2 m、R0+4 m和R0+5 m)距離像的比較

圖2 利用SS估計(jì)徑向速度、距離及相位的CRLB與SNR關(guān)系

圖3 當(dāng)隨SNR變化時(shí)，利用SS估計(jì)目標(biāo)距離及徑向速度作100次MC試驗(yàn)的RMSE分別與其相應(yīng)CRLB的比較

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