并半連續(xù)格的一些性質(zhì)

王存舉

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

并半連續(xù)格的一些性質(zhì)

王存舉

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

文章給出并半連續(xù)格的概念，討論并半連續(xù)格的一些性質(zhì).在并半連續(xù)格中引入并半Scott開集簇，用其來刻畫并半連續(xù)格.

半素濾子;并連續(xù)格;并半連續(xù)格

0 引言

隨著計算機語言中引入連續(xù)格的概念后，人們對連續(xù)格進行深入研究，把連續(xù)格推廣到半連續(xù)格[1]中得到許多新性質(zhì).在本文中，我們在并連續(xù)格的基礎(chǔ)上，從半素濾子上定義了并半連續(xù)格，研究了并半連續(xù)格的一些性質(zhì)，引入了Scott開集簇來刻畫并半連續(xù)格.

1 預備知識

定義1[1]設(shè) F為格 L的濾子，若對于任意 x，y，z∈L，當 x∨y∈F，x∨z∈F時，有 x∨(y∧z)∈F，則稱 F為半素濾子.用 Fi(L)表示所有半素濾子組成的集合.

定義2[2]設(shè)(L，≤)是偏序集，對于?x，a∈L，D?L，定義:↓a=｛x∈L:x≤a｝，↑a=｛x∈L:a≤x｝，↓D=∪｛↓a:a∈D｝，↑D=∪｛↑a:a∈D｝，當 D=↓D時稱 D為下集，當 D=↑D時稱 D為上集.

定義3[3]設(shè) L是完備格，對于 a，b∈L，稱 a?b，若對任意 F∈Fi(L)，∧F≤a，有 b∈F.記?a=｛x∈L∶x?a｝，?a=｛x∈L:a?x｝.若 a?a，則 a稱是?緊元，記 K(L)=｛a∈L:a是?緊元｝.

2 并半連續(xù)格概念及性質(zhì)

下面我們先引用文獻[4]中并連續(xù)格的概念，如果 x∨(∧F)=∧(x∨F)對任意余定向 F和 x都成立，則稱并半格 L是并連續(xù)格.從而我們結(jié)合文獻[5]對偶給出下面定義.

定義4 設(shè) L是完備格，對任意 x∈L，F(xiàn)∈Fi(L)，若 x∨(∧F)=∧(x∨F)，則稱 L是并半連續(xù)格.

定理1 設(shè) L是完備格，若對任意 x∈L，有?x是半素濾子.

證明 對任意 x∈L，顯然?x是上集.對?a，b∈?x，由定義3知，對?F≤Fi(L)，若∧F≤x，則 a∈F且 b∈F.由 L是完備格且 F是半素濾子知，a∧b∈F，從而 x?a∧b.于是?x為濾子.下面接著證?x是半素濾子.對任意 r，s，t∈L，若 r∨s∈?x且 r∨t∈?x，則對?F∈Fi(L)，當∧F≤x時，有 r∨s∈F，r∨t∈F，由于 F是半素濾子，于是 r∧(s∨t)∈F，再由定義3知，x?r∧(s∨t)，即 r∧(s∨t)∈?x.即證明?x是半素濾子.

引理1 設(shè) L為完備格，若 L滿足 a≤b蘊含 a?b，則稱 L是并半連續(xù)格.

證明 由定義1知，↑a=｛x∈L:a≤x｝，所以 a≤∧↑a，故 a∨(∧↑a)=∧↑a=∧(a∨↑a)，由a≤b蘊含 a?b，所以↑a包含?a，所以有 a∨(∧?a)=∧?a=∧(a∨?a)，由定理1知對任意 a∈L，有?a∈Fi(L)，從而滿足定義4，故 L是并半連續(xù)格.

推論1 若完備格 L是并半連續(xù)格，當 a≤x蘊含著 a?x時，對?a∈L，有∧?a≤a.

命題1 設(shè) L是完備格，則對任意 a∈L，有?a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

證明 設(shè) x∈?a，即 a?x.對任意的 F∈Fi(L)，滿足∧F≤a，則 x∈F.從而?a?∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.另一方面，設(shè) y∈∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝，則存在 F∈Fi(L)，滿足∧F≤a，有 y∈F從而 a?y.因此有∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝??a.所以?a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

引理2 設(shè) L是并半連續(xù)格，對任意 z，y∈L，若 z≤y蘊含著 z?y，則存在 x∈L，使得 z?x?y.

證明 設(shè) L是并半連續(xù)格，若存在 x∈L，則由推論1知，∧?x≤x.令 z=∧?x，則 z≤x蘊含著 z?x.若 x?y，對任意 F∈Fi(L)，∧F≤x，有 y∈F，由命題1知，?x?F，所以 z=∧?x≤∧F，即 z≤∧F≤x，也有 y∈F，故 z?y，從而說明存在 x∈L，使得 z?x?y成立.

注1 每個素濾子都是半素濾子.

定義5 設(shè) L是完備格，稱 L的子集 U為并半Scott開集，如果 U滿足以下條件:

(1)U=↑U;

(2)對任意 F∈Fi(L)，∧F∈U蘊含著 F∩U≠?.顯然 L上的全體并半Scott開集 U構(gòu)成了一個拓撲，成為并半Scott拓撲，記為 σ?(L).特別地，當并半Scott開集 U是濾子時，稱 U是并半Scott開濾子，簡稱并半開濾子.

定理3 設(shè) L是并半連續(xù)格，對任意 x，y∈L，若 x?y，蘊含著 x≤y，有下面兩個結(jié)論成立:

(1)?x∈σ?(L);

(2)L↓x∈σ?(L).

證明 (1)顯然對任意 x，y∈L，若 x?y，蘊含著 x≤y，則?x為一個上集，下面設(shè) F∈Fi(L)，滿足∧F∈?x，則 x?∧F.由引理2知，存在 z∈L，使得 x?z?∧F，所以 z∈F.故?x∩F≠?.所以?x∈σ?(L).

(2)L是并半連續(xù)格時，若 x?y，蘊含著 x≤y，則 L↓x顯然是上集.下面設(shè) F∈Fi(L)滿足∧F∈L↓x.接著假設(shè) F∩(L↓x)=?，則有 F?↓x.但事實上 F是上集，↓x是下集，從而產(chǎn)生矛盾.因此F∩(L↑x)≠?.

定理4 設(shè) L是并半連續(xù)格，則下面結(jié)論等價:

(1)存在并半Scott開濾子 U使得 y∈U??x;

(2)x?y.

證明 (1)?(2)設(shè)存在并半Scott開濾子 U使得 y∈U??x，則?F∈Fi(L)，若∧F≤x，則由 U是上集，有∧F≤U，又因為 U是并半Scott開的，所以?u∈F，使得 u∈U.因為 y∈U??x，從而∧F≤x?u，因而 y∈F，所以 x?y.

(2)?(1)由引理1知，“?”具有插入性質(zhì)，所以存在序列｛yn:n∈N｝，使得 x?y1?…?yn－1?yn=y.令 U=∪｛↑yn:n∈N｝，則顯然是一族遞增濾子的并，故 U是濾子.對任意 n∈N，由 yn∈?x，有↑yn??x，故 U??x.下面證 U是并半Scott開的.顯然 U是上集，對?F∈Fi(L)，若∧F∈U，則存在 yn，使得∧F∈↑yn，于是∧F≤yn?yn+1，從而 yn+1∈F，所以 yn+1∈F∩U≠?，故 U∈σ?(L).

推論2設(shè) L是并半連續(xù)格，則 U∈σ?(L)充要條件是 U=↑U且 U?∩｛?x:x∈U｝.

證明 由定理4顯然.

定理5 設(shè) L是并半連續(xù)格，且 k∈L，若↑k是并半Scott開濾子，則 k是緊元.

證明 設(shè) F∈Fi(L)，則當∧F≤k，有∧F∈↑k.因為↑k是并半Scott開濾子，所以存在 d∈F，且 d∈↑k，使得 d∈F∩↑k≠?，又因為 F是上集 ，從而對 k∈F，有 k?k，故 k是緊元.

[1]RAY Y.Semiprime ideals in general lattices[J].JPure Appl Algebra，1989，56:105－118.

[2]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京:首都師范大學出版社，2000.

[3]ZHAO D.Semicontinuous lattices[J].Algebra Universalis，1997，37:458－476.

[4]GIERZG，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domains[M].Cambridge:Cambridge University Press，2003.

[5]伍秀華，李慶國.擬半連續(xù)格和交半連續(xù)格[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008，22(6):11－16.

Abstract:In this paper，the introduction of the concept of join semicontinuous lattices and some properties of join semicontinuous lattices were discussed and introduction of the concept of join semi－Soctt open collection to described the characterizations of join semicontinuous lattices.

Key words:semiprime filter;join semicontinuous lattices;join semicontinuous lattice

Some Properties of Join Sem icontinuous Lattices

WANG Cun－ju
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 153

A

2095－0691(2012)03－0030－02

2012－03－02

王存舉(1984－ )，男，安徽宿州人，碩士生，研究方向:一般拓撲學和序理論.