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    解析初中數(shù)學中分式方程的解法及應用

    2012-08-28 01:42:48江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學姚永華
    中學數(shù)學雜志 2012年22期
    關(guān)鍵詞:公分母工程隊等量

    ☉江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學 姚永華

    解析初中數(shù)學中分式方程的解法及應用

    ☉江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學 姚永華

    分式方程的解法及應用是中考考查的重點內(nèi)容,考查時大多以直接解分式方程和列分式方程解應用題的形式出現(xiàn).因此,對本部分知識需要進行專項訓練,熟練掌握解分式方程的方法,并通過應用題使學生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系,體會代數(shù)方法的優(yōu)越性,進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題解決問題的能力.下面就對分式方程的解法及其應用做具體解析.

    一、分式方程的有關(guān)概念

    分式方程是方程中的一種,且分母里含有未知數(shù)的(有理)方程叫做分式方程.

    二、分式方程的解法

    解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母,這也是解分式方程的一般思路和做法.

    1.去分母

    方程兩邊同時乘以最簡公分母(最簡公分母:①系數(shù)取最小公倍數(shù)②出現(xiàn)的字母取最高次冪③出現(xiàn)的因式取最高次冪),將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時.不要忘了改變符號.

    2.解整式方程

    移項,若有括號應去括號,注意變號,合并同類項,把系數(shù)化為1求出未知數(shù)的值;

    3.驗根

    求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根.驗根時把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等于0,這個根就是增根.否則這個根就是原分式方程的根.若解出的根是增根,則原方程無解.如果分式本身約分了,也要帶進去檢驗.一般的,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零,因此要將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為零,則是方程的解.

    (1)注意去分母時,不要漏乘整式項.(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的解.(3)増根使最簡分母等于0.

    三、分式方程的應用

    列分式方程解應用題的一般步驟是:找等量關(guān)系—設(shè)—列—解—檢驗—答.

    例1 玉樹地震后,有一段公路急需搶修,此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成,需要20天,在甲工程隊施工4天后,為了加快工程進度,又調(diào)來乙工程隊與甲工程隊共同施工,結(jié)果比原計劃提前10天,為抗震救災贏得了寶貴時間,求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天?

    考點:分式方程的應用.專題:工程問題.分析:等量關(guān)系為:甲工作量+乙工作量=1.

    解析:設(shè)乙工程隊獨立完成這項工程需要x天.

    經(jīng)檢驗x=12是原方程的解.

    答:乙工程隊獨立完成這項工程需要12天.

    點評:工作量問題常用的等量關(guān)系為:工作量之和為1,易錯點是準確找到各個隊的工作時間.

    例2 某公司開發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場,現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品.公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解生產(chǎn)情況,獲得如下信息:

    信息一:甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天;

    信息二:乙工廠每天比甲工廠多加工20件.

    根據(jù)以上信息,求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品.

    考點:分式方程的應用.

    分析:總工作量除以所用時間即為工效,而乙工廠每天比甲工廠多加工20件的前提下,甲工廠單獨完成比乙工廠單獨完成多用10天,據(jù)此可列方程.

    解:設(shè)甲工廠每天能加工x件新產(chǎn)品,則乙工廠每天能加工(x+20)件新產(chǎn)品.

    經(jīng)檢驗:x=40是所列方程的解.

    乙工廠每天加工零件為:x+20=60.

    答:甲工廠每天能加工40件新產(chǎn)品,乙工廠每天能加工60件新產(chǎn)品.

    點評:理解題意找出題中的等量關(guān)系,列出方程,注意分式方程一定要驗根.

    例3 在某道路拓寬改造工程中,一工程隊承擔了24千米的任務.為了減少施工帶來的影響,在確保工程質(zhì)量的前提下,實際施工速度是原計劃的1.2倍,結(jié)果提前20天完成了任務,求原計劃平均每天改造道路多少千米.

    解析:該題目的等量關(guān)系是計劃用的天數(shù)-實際用的天數(shù)=20天

    設(shè)原計劃平均每天改造道路x千米,根據(jù)題意,得:

    解這個方程,得x=0.2.

    經(jīng)檢驗,x=0.2是原方程的解.

    答:原計劃平均每天改造道路0.2千米.

    例4 杭州國際動漫節(jié)開幕前,某動漫公司預測某種動漫玩具能夠暢銷,就用32 000元購進了一批這種玩具,上市后很快脫銷,動漫公司又用68 000元購進第二批這種玩具,所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍,但每套進價多了10元.求:

    (1)該動漫公司兩次共購進這種玩具多少套?

    (2)如果這兩批玩具每套的售價相同,且全部售完后總利潤率不低于20%,那么每套售價至少是多少元?

    解:(1)設(shè)動漫公司第一次購進x套玩具,由題意得:

    經(jīng)檢驗,x=200是所列方程的根.

    所以動漫公司兩次共購進這種玩具600套.

    (2)設(shè)每套玩具的售價為y元,由題意得:

    解分式方程作為基礎(chǔ)性知識,在中考中以直接考查為主,也經(jīng)常與數(shù)軸等知識綜合考查,解決問題時要注意分式方程根的檢驗是必不可少的步驟.列分式方程解應用題,在中考中多以解答題為主,有時也會出現(xiàn)在選擇題或填空題中,解決此類題目的關(guān)鍵是準確理解題意,確定題目中的等量關(guān)系,列出分式方程.而在解此時的分式方程時,不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式,還要檢驗是否符合題意.

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