等腰三角形中的漏解、多解和錯解

☉山東省萊西市第四中學 崔明月

等腰三角形中的漏解、多解和錯解

☉山東省萊西市第四中學 崔明月

等腰三角形中關于邊角求解的分類討論問題，一直是令同學們頭疼的一個問題，有時忘記分類討論，導致漏解；有時得出兩個答案，又因沒有檢驗是否滿足三角形內角和定理和三邊關系，導致多解．下面我們舉例分析這類問題，看其有何規(guī)律．

一、關于等腰三角形角度的求解

例1 若等腰三角形有一個角是70°，則其他兩個角的度數是_______．

答案：55°和55°；40°和70°

例2 若等腰三角形有一個角是120°，則其他兩個角的度數是_______．

答案：30°

例3 若等腰三角形有一個角是60°，則其他兩個角的度數是_______．

答案：60°和60°

規(guī)律總結：已知等腰三角形一個角的度數，根據等腰三角形兩底角相等和三角形內角和定理可以求出其他兩角的度數，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個解？當等腰三角形一個內角為鈍角（如例2）或直角或60°的角（如例3）的時候，求其余各角只有一個解；當等腰三角形的一個內角為銳角且這個銳角（如例1）不等于60°時，求其余各角有兩解．

二、關于等腰三角形邊的求解問題

例4 等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則它的周長為________．

答案：17cm

例5 等腰三角形的周長是16，若其中一邊長是5，那么另外兩邊長分別是________．

答案：6、5或5.5、5.5

規(guī)律總結：已知等腰三角形的兩邊（沒有指明底和腰時）求其另一邊或其周長，可根據等腰三角形的定義求得，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個解？根據三角形三邊的關系，檢驗求得的兩組結果是否滿足“兩腰之和大于底邊”，來判斷解的情況．（如例4中，三邊可為3cm、3cm、7cm或7cm、7cm、3cm，但是“3cm、3cm、7cm”不滿足三邊關系，所以答案是一個解；例5的兩個結果滿足三角形的三邊關系，所以是兩組解）．

下面我們看看這兩條規(guī)律在運用中出現的問題.

1.漏解

例6 已知等腰三角形的兩邊長分別為4和6，則該等腰三角形的周長為__________.

錯解：該等腰三角形的周長為16.

剖析：由于題目中并沒有明確4和6誰是底邊長、誰是腰長，所以應分以下兩種情形考慮.

⑴當底邊長為6、腰長為4時，該等腰三角形的周長為14.⑵當底邊長為4、腰長為6時，該等腰三角形的周長為16.同學們只想到了情形⑵，因而導致漏解.正解：該等腰三角形的周長為14或16.例7 等腰三角形的一個角是80°，則它的另兩個角是__________.

錯解：它的另兩個角分別為50°、50°.

剖析：因為題中并未指明80°的角是頂角還是底角，所以應分以下兩種情況全面分析.

（1）當80°的角是頂角時，該等腰三角形的底角是50°.

（2）當80°的角是底角時，該等腰三角形的另兩個角中，一個角是底角，度數為80°，另一個角是頂角，其度數為180°-80°×2=20°.

正解：該等腰三角形的另兩個角分別為50°、50°或80°、20°.

2.多解

例8 已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則該等腰三角形的周長為____________.

錯解：該等腰三角形的周長為12或15.

剖析：（1）當該等腰三角形的腰長為6、底邊長為3時，其周長為15.

（2）當該等腰三角形的腰長為3、底邊長為6時，根據“三角形兩邊之和大于第三邊”，可知周長為12這種情形是不存在的，因此這里的“12”是多余的.

正解：該等腰三角形的周長為15.

例9 已知等腰三角形ABC的一個外角是80°，則與它不相鄰的一個內角的度數是______.

錯解：與它不相鄰的一個內角的度數是40°或100°.

剖析：“等腰三角形ABC的一個外角是80°”中的外角只能是與頂角相鄰的外角，不可能是與底角相鄰的外角.若它是與底角相鄰的外角，則兩底角都應是100°，這就會使得△ABC的內角和大于180°，這與“三角形內角和等于180°”矛盾，因此這里的“100°”是多余的解.

3.錯解

例10 由等腰三角形ABC的頂點A引腰BC邊上的高AD，其長恰好等于腰BC長的一半，試求∠BAC的度數.

錯解：如圖1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.

所以∠B=∠BAD=45°，∠C=∠CAD=45°，所以∠BAC=90°.

剖析：錯解誤將“頂點A”當作“頂角A”，因此而出錯.這就要求我們在解題時必須認真讀題，深入審題，正確地理解題意.由于題中已指明BC為腰，所以這里的頂角應是∠B或∠C.

圖1

圖2

圖3

正解：不妨設∠C為頂角.

（1）當高AD在三角形內部時（如圖2）.

（2）當高AD在三角形外部時（如圖3）.

注意：對于此題，如果只考慮高AD在三角形內部的情況，則會出現漏解的錯誤.

通過上面的例子可以看出，在解決等腰三角形的邊、角計算問題時，我們一定要認真分析題目中已知的邊和角，分清是哪兩個角相等，哪兩條邊相等，并注意是一解還是兩解，防止多解、漏解、錯解.