旋轉(zhuǎn)變換綜合問題的解決策略探析

☉湖北省襄陽諸葛亮中學(xué) 韓春見

旋轉(zhuǎn)變換是新課程標(biāo)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一，由于它有利于培養(yǎng)學(xué)生實踐與操作能力，形成空間觀念和運動變化意識，故在各地中考中，出現(xiàn)了將旋轉(zhuǎn)變換融入到幾何圖形的證明和計算中的綜合試題，使問題充滿著動感，富于變換.本文試就旋轉(zhuǎn)變換思想在中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用加以說明.

一、旋轉(zhuǎn)變換知識歸納

1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度形成新的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換分為全等變換和相似變換.

2.旋轉(zhuǎn)的三個基本要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角.

3.基本特征：

一是圖形上的每個點同時都按相同方式轉(zhuǎn)動相同的角度，即任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度.

二是旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不動，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.

三是旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等圖形），只是位置發(fā)生了變化.

二、旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用策略

關(guān)于旋轉(zhuǎn)變換常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等.其常結(jié)合平移、軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進(jìn)行綜合應(yīng)用.這類試題要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基本功，較強(qiáng)的觀察力，豐富的想象力及綜合分析問題的能力.因此，解題時學(xué)生要樹立動態(tài)的觀念，要切實把握幾何圖形折整體運動過程和圖形變換前后的條件，并注意運動過程中特殊位置，抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量，哪些是變化的量.在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律，尋找到問題中相等的角和線段，使命題問題得到解決.

三、常見綜合題型

1.與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)變換

例1（2011年安徽省中考題）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C.

（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB′時，設(shè)A′B′與CB相交于點D.

證明：△A′CD是等邊三角形.

（2）如圖2，連接A′A、B′B.設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′.

求證：S△ACA′∶S△BCB′=1 ∶3.

（3）如圖3，設(shè)AC中點為E，A′B′中點為P，AC=a，連接EP，當(dāng)θ=_____時，EP長度最大，最大值為_________.

分析：（1）由題知，∠A′=60°，故要證△A′CD是等邊三角形，可考慮證其是等腰三角形或再證其有一個角為60°.利用AB∥CB′，可得∠BCB′=∠B=60°，可得△A′CD是等邊三角形.（2）由于∠BCB′=∠AC A′，且AC=A′C，BC=B′C，可知△ACA′和△BCB′是兩個相似的等腰三角形，故S△ACA′和S△BCB′之比可轉(zhuǎn)化為△ACA′和△BCB′對應(yīng)邊AC與BC平方之比.（3）線段長短，往往放在三角形中，利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決，故考慮連接CP，在△ECP中EP＜CE+CP，當(dāng)E、C、P三點共線時，EP=CE+CP，此時EP長度最大.

證明：（1）因為AB∥CB′，所以∠B=∠BCB′=30°.

所以∠A′CD=60°.

又因為∠A′=60°，所以∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°.

所以△A′CD是等邊三角形.

（2）因為∠ACA′=∠BCB′，AC=A′C，BC=B′C，

所以S△ACA′∶S△BCB′=1 ∶3.

（3）當(dāng)E、C、P三點不共線時，EC+CP＞EP；當(dāng)E、C、P三點共線時，EC+CP=EP.

綜上所述，EP≤EC+CP.

則當(dāng)旋轉(zhuǎn)120°時，E、C、P三點共線，EP長度最大.

說明：旋轉(zhuǎn)變換具有如下性質(zhì)：（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（意味著：旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線段的垂直平分線上）；（3）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.中考對圖形的平移的基本要求是：（1）通過具體實例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；（2）能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計.本題正是充分利用了旋轉(zhuǎn)角相等和旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等解決問題.

2.與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)變換

例2 （2011年江蘇南通市中考題）已知：如圖4，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖5）.

（1）探究AE′與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

（2）當(dāng)α=30°時，求證：△AOE′為直角三角形.

分析：（1）證AE′=BF，可證明線段AE′和BF所在的△OAE′與△OBF′全等，利用已知易知OA=OB，OE′=OF′，利用旋轉(zhuǎn)知∠AOE′=∠BOF′，故可知△OAE′≌△OBF′，得到AE′=BF.（2）由于旋轉(zhuǎn)角α=30°，可知∠AO E′=60°，且O E′=2OA，可考慮取OE′中點M，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到△AOM為等邊三角形，△AME′為等腰三角形且外角∠AMO等于60°，即得到∠E′AM=30°.從而∠E′AO=∠E′AM+∠MAO=30°+60°=90°，證得△AOE′為直角三角形.

解答：（1）AE′=BF.證明如下.

如圖5，因為在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以∠F′OE′=∠AOD=∠AOB=90°.

即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′.

所以∠AOE′=∠BOF′.

又因為OA=OB=OD，OE′=2OD，OF′=2OA，

所以O(shè)E′=OF′.

所以△OAE′≌△OBF′（SAS）.

所以AE′=BF.

（2）作△AOE′的中線AM，如圖6.

則OE′=2OM=2OD=2OA=2AM=2E′M.

所以O(shè)A=OM，AM=E′M，

∠AE′M=∠E′AM.

因為α=30°，所以∠AOM=60°，

所以△AOM為等邊三角形.

所以MA=MO=ME′，∠AMO=60°.

又因為∠AE′M+∠E′AM=∠AMO，

即2∠AE′M=60°，所以∠AE′M=30°.

所以∠AE′M+∠AOE′=30°+60°=90°.

在△AOE′中，由三角形內(nèi)角和可得，

∠E′AO=180°-（∠AE′M+∠AOE′）=90°.

所以△AOE′為直角三角形.

說明：由于圖形旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀，所以圖形旋轉(zhuǎn)問題要把握這兩點.本題正是利用圖形旋轉(zhuǎn)的不變性，探索圖形在旋轉(zhuǎn)過程中的有關(guān)規(guī)律，問題設(shè)置成從簡單到復(fù)雜漸次展開的形式，使學(xué)生在解決問題的過程中逐漸地認(rèn)清問題的本質(zhì).另外此題第（2）問的解決方法比較多，有利于學(xué)生個性思維特征的展示.