黃沙吹盡 返璞歸真——一道習(xí)題的多角度探究

☉湖北省宜昌市夷陵中學(xué) 徐 勇

學(xué)生上完選修4-5《不等式選講》第二講“柯西不等式”不久，一個學(xué)生拿著一道題來問我，原題如下：

我和這名同學(xué)一起分析，覺得要求出u的最小值，去根號是關(guān)鍵，于是有了如下探究：

探究一：由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2得：

探究二：

和學(xué)生一起探究完這道題，感覺這道題能很好地培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、辨誤、糾誤能力，是一道難得的好題，于是決定在習(xí)題課上面向全班學(xué)生評析此題.

第二天的習(xí)題課上，當(dāng)我按照上面的探究一、探究二講解完這道題，并再次強調(diào)此題構(gòu)造柯西不等式的思路時，幾個學(xué)生在下面小聲說，這樣構(gòu)造也太麻煩了吧！這句話打消了我接著講下一題的計劃.是啊，像探究一、二這樣做確實能解決問題，但付出的代價太大了，還不如發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生繼續(xù)探究下去！于是，我引導(dǎo)道：“還有沒有更簡單的方法？請大家思考并討論.”經(jīng)過熱烈的討論，不少同學(xué)舉起了手，我點了學(xué)生甲，請他到黑板前面讓大家分享他的成果，于是有了如下探究：

探究三：考慮到柯西不等式左邊有兩組平方和相乘，而本題的函數(shù)u為三項相加，只要先把u平方即可得到乘積形式，即u2=x2+4+y2+9+z2+16+2 ［8）=（x+y+z）2+81=442，當(dāng)且僅時等號成立.又u＞0，故umin=

教室里響起了熱烈的掌聲！探究三充分考慮了柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點，求解更為直接.那這道題還有沒有別的做法呢？這時學(xué)生的思維完全打開了，不久學(xué)生乙就給出了另一種方法：

探究四：本題函數(shù)u為根式和形式，且被開方數(shù)為平方和形式，這一點與二維形式的三角不等式吻合，所以連續(xù)兩次運用三角不等式即可，

學(xué)生乙的做法跳出了柯西不等式的窠臼，根據(jù)函數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行有效聯(lián)想，做法漂亮、干脆，令人眼前一亮！當(dāng)大家還沉浸在這種優(yōu)美解法中時，學(xué)生丙舉手站了起來：

探究五：探究四的做法實質(zhì)就是構(gòu)造三個向量：a=（x，2），b=（y，3），c=（z，4），，當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b，c同向共線，即時兩等號同時成立.故u

好一句“實質(zhì)就是”，讓我們對函數(shù)u有了新的認(rèn)識.那我們對函數(shù)u還能從別的角度去認(rèn)識它嗎？果真是“思想有多遠(yuǎn)，行動就有多遠(yuǎn)”，很快學(xué)生們就給出了另一種探究思路：

由兩點間線段最短有

真是令人拍案叫絕！一道看似需要用柯西不等式才能做的問題，竟然用初中的平面幾何知識就輕易解決了！學(xué)生們徹底沸騰了……

反思：很多學(xué)生包括老師在內(nèi)都有一種思維定勢，認(rèn)為新課后的作業(yè)、習(xí)題一定要用新課上的知識去解決，這種觀點其實是大錯特錯的.本案例中，通過放手發(fā)動學(xué)生去思考，學(xué)生不斷優(yōu)化自己的思維，在創(chuàng)造、再創(chuàng)造中得出很多體現(xiàn)了書本知識靈活應(yīng)用的方法，逐步對問題的本質(zhì)有了清晰的認(rèn)識.另外，本次探究成功很重要的一點是有了學(xué)生的積極參與.布魯納認(rèn)為：在教學(xué)過程中，學(xué)生是一個積極的探索者，教師的作用是形成有助于學(xué)生獨立探究的情境，讓學(xué)生自己思考問題，參與知識獲得的過程.教師要舍得留出時間和空間給學(xué)生，以供他們馳騁自己的思維.