運(yùn)用數(shù)形思想 巧解數(shù)學(xué)問題

☉江蘇省鹽城高等師范學(xué)校 沈 紅

數(shù)形結(jié)合思想能把抽象的知識、數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形以及位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“由形化數(shù)”或“由數(shù)化形”，進(jìn)行“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，可以將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到巧解數(shù)學(xué)問題的目的.下面，筆者結(jié)合自己教學(xué)實踐經(jīng)驗，談幾點(diǎn)對運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧解數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和看法，以供讀者參考.

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙解決代數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合思想，大致分為兩種情況：一是以數(shù)解形；二是以形助數(shù).往往是通過精確的數(shù)來闡明形的某些屬性，也可以通過形的幾何直觀性，來說明數(shù)之間的某種關(guān)系，進(jìn)而不斷揭示數(shù)學(xué)解題方法或策略.在教學(xué)中，有些代數(shù)問題，從直觀去分析，尋求解決問題的突破口或解題途徑，不易發(fā)現(xiàn)，使同學(xué)們不易走出困境.但我們?nèi)绻麡?gòu)造幾何圖形，這樣就非常容易使同學(xué)們發(fā)現(xiàn)解題的途徑，使問題解決變的柳暗花明.

（1）若同時滿足①、②的x值也滿足③，求m的取值范圍；

（2）若滿足③的x值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍.

解析：同學(xué)們根據(jù)已有知識，在下面熱烈討論，他們思考得出：該問題涉及整式、分式不等式和含絕對值不等式的知識，個人認(rèn)為關(guān)鍵弄清同時滿足①、②的x值滿足③的充要條件是：③對應(yīng)的方程的兩根分別在區(qū)間（-∞，0）和［3，+∞）內(nèi).但要進(jìn)行解決，需要把它們轉(zhuǎn)化成圖形，這樣使問題不難化解，從中找到突破口，使問題迎刃而解.

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙解決三角問題

眾所周知，三角函數(shù)變換問題蘊(yùn)含著豐富的幾何圖形.如果把三角函數(shù)的問題融于幾何圖形之中，把數(shù)（量）與圖形有機(jī)地結(jié)合起來，進(jìn)行討論、分析、研究，這樣就能有效地促進(jìn)同學(xué)們從抽象復(fù)雜的三角函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過幾何圖形觀察，從中直觀地發(fā)現(xiàn)問題解決的途徑，達(dá)到事半功倍的效果.

分析：本案例是和差化積問題，通過三角函數(shù)公式，進(jìn)行逐步化簡，難度并不大，但我們利用單位圓進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，使問題解決顯得獨(dú)到好處，同學(xué)們在下面很快得出下列解法.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙解決幾何問題

在教學(xué)中，我們要經(jīng)常把幾何問題代數(shù)化，去借助解方程（組）、不等式（組）、向量坐標(biāo)等運(yùn)算，來引導(dǎo)學(xué)生確定圖形關(guān)系，去探討解決問題的方法.所以，首先，我們要給學(xué)生梳理所學(xué)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法；其次，要引導(dǎo)學(xué)生挖掘教材中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法；第三，要把分析問題和解決問題的策略、方式、方法教給學(xué)生.同時要讓同學(xué)們得到一定的訓(xùn)練，感受到其中的學(xué)習(xí)樂趣.

例3已知正方形ABCD邊長為1，P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，求f（P）=PA+PB+PC+PD的最小值.

解析：如圖2，建立坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），設(shè)P（x，y），則：

由其特征，可用復(fù)數(shù)法解決該題. 設(shè)z1=x+yi，z2=x+（1-y）i，z3=（1-x）+（1-y）i，z4=（1-x）+yi，中，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時等號成立.f（P）的最小值為2