再談“數(shù)形結合”在數(shù)學解題中的作用

☉江蘇省贛榆高級中學 關余友

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是數(shù)學知識的高度概括，它貫穿于整個數(shù)學教學活動的始終.最常用的數(shù)學思想有方程思想、不等式思想、函數(shù)思想、類比思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等.數(shù)形結合思想是中學數(shù)學教學中的重要思想方法之一，它在高考中占有非常重要的地位，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合.很多數(shù)學問題用此方法來解，可以達到化難為易的目的.高中數(shù)學教學中應重視這種思想方法的滲透，從而幫助學生提高分析問題和解決問題的能力.

數(shù)形結合思想應用廣泛，高考試題對數(shù)形結合的考查主要涉及：（1）考查集合及其運算問題；（2）考查用函數(shù)圖像解決有關問題（如方程、不等式、函數(shù)的有關性質等）；（3）考查用向量解決有關問題；（4）考查三角函數(shù)的圖像及其應用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結合.

一、數(shù)形結合在集合中的應用

在解集合問題中要注意圖形與符號、圖形與文字之間的轉譯，充分發(fā)揮圖像在解題中的作用.

例1 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M，N滿足M∩N={1，3}，（CUM）∩N={2}，CU（M∪N）={5}，則集合M=________

分析：集合M，N比較抽象，欲具體考察其關系有困難，若能借助集合的圖示（文氏圖），就能化抽象為具體，故可作出文氏圖（圖1）加以解決，集合M={1，3，4}.

二、數(shù)形結合在函數(shù)中的應用

方程或不等式的問題?？赊D化為研究兩個函數(shù)圖像交點或位置關系的問題.

分析：圖像法解不等式具有運算量小，思維量小，簡潔明了等優(yōu)點，實質是轉化與化歸思想的應用.

從圖像中可以觀察出：原不等式的解為：當a≥1時，x≥0；當0＜a＜1時，0≤x≤x0（其中x0為y=與y=ax+1的圖像的交點的橫坐標）.

三、數(shù)形結合在解析幾何中的應用

用解析幾何中的重要公式（如斜率、兩點間距離公式、定比分點公式等）與定義來謀求數(shù)式背景及相關性質.

例3 已知圓C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點.

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析：認真分析和研究代數(shù)式的結構特征，運用類比聯(lián)想，將已知條件轉化為直觀形象的圖形，或挖掘出代數(shù)式的幾何意義并使之形象化、具體化是數(shù)形結合運用能力的體現(xiàn).本例中，將最值問題轉化為直線斜率的最值問題和直線在y軸上的截距的最值問題，并作出相應圖像，使問題一目了然，迅速獲解.

四、數(shù)形結合在數(shù)列中的應用

解：由任意的n∈N*，都有an≥a8成立，得a8為數(shù)列{an}中的最小項.

分析：以上解法錯誤的原因就是對兩個函數(shù)的圖形畫得不準確，當然一般情況下我們也不可能畫出準確的圖形，那怎么辦？就必須借助已知條件所提供的信息.