再探一道高考試題

☉安徽省歙縣中學(xué) 姜林峰 章 薇

文1給出了本題的五種解法，并得到該函數(shù)為周期函數(shù)，還提出了一個探究方向.在文2的啟發(fā)下，本文將從另幾個不同的角度進行類比探究，以期有更多的收獲.

一、角度1——對余弦函數(shù)進一步展開類比與探究

顯然，這里的函數(shù)f（x）是由余弦函數(shù)抽象而來的，性質(zhì)f（x+y）+f（x-y）=4f（x）f（y）是由余弦“和差化積公式”抽象而來的.

但是，這里的系數(shù)4能否改成其他常數(shù)呢？余弦函數(shù)是中心對稱圖形，那么這里的函數(shù)f（x）也可以是中心對稱圖形嗎？

提出問題：設(shè)R上的非常數(shù)函數(shù)f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=af（x）f（y）（a為非零常數(shù)），試在此前提下探究函數(shù)f（x）的相關(guān)性質(zhì).

探究1：判斷函數(shù)f（x）的奇偶性.兩式相減得f（x）=f（-x），故f（x）是偶函數(shù).

解：由條件可得f（x+m）+f（x-m）=af（x）f（m）=f（x），即f（x+m）=f（x）-f（xm）.

則f（x+3m）=f（x+2m）-f（x+m）=f（x+m）-f（x）-f（x+m）=-f（x），從而f（x+6m）=f（x），所以函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，6m是它的一個周期.

探究3：設(shè)函數(shù)f（x），若存在正常數(shù)m使得f（m）=0，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、周期性及其對稱性.

解：（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，證明方法同前.

（2）因f（x+m+m）+f（x+m-m）=2f（x+m）f（m）=0，則f（x+2m）=-f（x），從而f（x+4m）=-f（x+2m）=f（x），所以函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，4m是它的一個周期.

（3）因f（m+x）+f（m-x）=af（m）f（x）=0，則f（m+x）=-f（mx），故函數(shù)f（x）關(guān)于點（m，0）成中心對稱.

綜上可得：設(shè)R上的非常數(shù)函數(shù)f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=af（x）f（y）（a為非零常數(shù)），則：

（2）若存在正常數(shù)m使得f（m）=0，則函數(shù)f（x）函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且有無數(shù)條對稱軸x=2km（k∈Z），還有無數(shù)個對稱中心（2km+m，0）（k∈Z）.

解：不失一般性，設(shè)f（x+y）+f（x-y）=af（x）f（y）中的常數(shù)a＞0.

類似的類比推廣還有很多，限于篇幅，這里不一一列出.

二、角度2——從和、差角公式進行類比與探究

（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；其圖像關(guān)于直線x=2km+m（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km，0）（k∈Z）成中心對稱；

（2）g（x）是偶函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；圖像關(guān)于直線x=2km（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km+m，0）（k∈Z）成中心對稱.

證明：（1） ①因f（0-0）=f（0）g（0）-f（0）g（0）=0，

則f（m+x）=f（m-x），故函數(shù)f（x）圖像關(guān)于直線x=m對稱；

又因4m是函數(shù)f（x）的周期，所以函數(shù)f（x）有無數(shù)條對稱軸x=2km+m（k∈Z）；

④因原點是f（x）的對稱中心，4m是函數(shù)f（x）的周期，所以函數(shù)f（x）有無數(shù)個對稱中心（2km，0）（k∈Z）.

（2） ①因f［x+（-x）］=f（x）g（-x）+f（-x）g（x）=f（x）［g（-x）-g（x）］=0，故g（-x）=g（x），則g（x）是偶函數(shù)；

③因g（x）是偶函數(shù)，由等式g（x+m）=-g（x-m）得g（x+m）=-g（m-x），所以函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于點（m，0）成中心對稱；同上可得函數(shù)g（x）有無數(shù)個對稱中心（2km+m，0）（k∈Z）；

④因y軸是g（x）對稱軸，4m是f（x）的周期，所以函數(shù)g（x）有無數(shù)條對稱軸x=2km（k∈Z）.

（1）f（x）是偶函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；圖像關(guān)于直線x=2km（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km+m，0）（k∈Z）成中心對稱；

（2）函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；其圖像關(guān)于直線x=2km+m（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km，0）（k∈Z）成中心對稱；

證明方法同上，限于篇幅，這里從略（下同）.

三、角度3——再從“和差化積公式”進行類比與探究

探究1：設(shè)R上非常數(shù)函數(shù)f（x）、g（x），滿足f（x+y）-f（x-y）=-2g（x）g（y），且存在正常數(shù)m使得f（m）=g（2m）=0，g（m）=f（2m）≠0，則：

（1）f（x）是偶函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；圖像關(guān)于直線x=2km（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km+m，0）（k∈Z）成中心對稱；

（2）函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；其圖像關(guān)于直線x=2km+m（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km，0）（k∈Z）成中心對稱；

②f（x+2m）-f（x-2m）=-2g（x）g（2m）=0，即f（x+2m）=f（x-2m），所以4m是函數(shù)f（x）的周期；

③因f（2m+x）-f（2m-x）=-2g（x）g（2m）=0，即f（2m+x）=f（2m-x），則函數(shù)關(guān)于直線x=2m對稱.又因為4m是函數(shù)f（x）的周期，所以函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2km（k∈Z）對稱；

④證明見后.

g（m）≠0，則g（2m-x）=-g（2m+x），因此函數(shù)g（x）關(guān)于點（2m，0）對稱；

又因4m是函數(shù)g（x）的周期，同上可得函數(shù)g（x）關(guān)于點（2km，0）對稱，也關(guān)于直線x=2km+m（k∈Z）對稱；

探究2：設(shè)R上非常數(shù)函數(shù)f（x），滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且存在正常數(shù)m使得f（m）=0，則：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；是周期函數(shù)，4m是它的周期；圖像關(guān)于直線x=2km（k∈Z）對稱；還關(guān)于點（2km+m，0）（k∈Z）成中心對稱；

四、角度4——由“積化和差公式”進行類比與探究

同上可以寫出并證明其他三個“積化和差”公式的類比推廣.限于篇幅，這里從略.

五、角度5——從其他三角運算進行類比與探究

探究1：設(shè)R上非常數(shù)函數(shù)f（x），滿足f（x）=f（x+a）+f（x-a）（a＞0），則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，6a是它的周期；

簡 證 ：由題可得f（x+3a）=f［（x+2a）+a］=f（x+2a）-f（x+a）=f（x+a）-f（x）-f（x+a）=-f（x），所以f（x+6a）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且6a是它的周期；

由①式得f（x+2m+m）=f（x+2m）-f（x+m）=f（x+m）-f（x）-f（x+m）=-f（x），則f（x+6m）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，6m是它的周期；

故g（x+6m）=g（x），即函數(shù)g（x）是周期函數(shù)，6m是它的周期.

探究3：設(shè)R上非常數(shù)函數(shù)f（x）、g（x），滿足

探究4：設(shè)R上非常數(shù)函數(shù)f（x）、g（x），滿足

1.蔣良平.言簡意賅 穩(wěn)中求新.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，11.

2.鄭觀寶.淺議抽象函數(shù)周期性的表達方式.數(shù)學(xué)通訊，2011，4.