撥云見日，細(xì)說函數(shù)定義域

☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 周海勇

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容，函數(shù)的數(shù)學(xué)思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，定義域是函數(shù)“三要素”（定義域、值域、對應(yīng)法則）之一，是函數(shù)最本質(zhì)的特征.在解決問題的過程中，如果忽視函數(shù)的定義域，常常會事倍功半，甚至誤入歧途，在求函數(shù)解析式時，必須考慮函數(shù)的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式是不完整的.下面就對求函數(shù)定義域的方法進(jìn)行分類說明，希望對大家在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生解決與定義域有關(guān)的問題時有所幫助.

題型一：由解析式確定函數(shù)的定義域

當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，則其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.也就是：（1）若f（x）為整式函數(shù)，則定義域為全體實數(shù)；（2）若f（x）為分式函數(shù)，則分母不能為0；（3）若f（x）為偶次方根，則被開方數(shù)不小于0；（4）若f（x）=x0，則定義域為｛x|x∈R，且x≠0｝；（5）在解決實際問題時，自變量的取值要有實際意義等.

分析：根據(jù)函數(shù)式子的特點，要求偶次根式下被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不為0；x0要有意義，即其中的自變量x不能為0.

點評：求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合，一般可通過解不等式或不等式組完成.當(dāng)一個函數(shù)是由兩個或者兩個以上的式子的形式構(gòu)成時，那么它的定義域是使每個式子有意義的集合的交集.

題型二：復(fù)合函數(shù)的定義域

如果函數(shù)y=f（t）的定義域為A，函數(shù)t=g（x）的定義域為D，值域為C，則當(dāng)C?A時，稱y=f［g（x）］為f與g在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫中間變量，t=g（x）叫內(nèi)函數(shù)，y=f（x）叫外函數(shù).復(fù)合函數(shù)的定義域由外函數(shù)的定義域、內(nèi)函數(shù)的值域以及內(nèi)函數(shù)的定義域共同確定.

1.已知函數(shù)f（x）的定義域，求函數(shù)y=f［g（x）］的定義域

分析：求滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍即可.

例2設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為［0，1］，則函數(shù)f（2x）的定義域是________.

解：依題意，有：

2.已知函數(shù)f［g（x）］的定義域，求函數(shù)f（x）的定義域

分析：由已知a≤x≤b，求g（x）的值域，即為f（x）的定義域.

變式1：已知函數(shù)g（x）=f（3-2x）的定義域為［-1，2］，則函數(shù)f（x）的定義域為_____.

解：g（x）的定義域為［-1，2］.

即-1≤x≤2.

所以-1≤3-2x≤5.

即f（x）的定義域為［-1，5］.

3.已知函數(shù)f［g（x）］的定義域，求函數(shù)f［h（x）］的定義域

分析：先由y=f［g（x）］的定義域求出f（x）的定義域，再由f（x）的定義域求f［h（x）］的定義域.

變式2：已知函數(shù)f（x+1）的定義域為［-2，3］，求f（2x-2）的定義域.

解：f（x+1）的定義域為-2≤x≤3.

令t=x+1，則-1≤t≤4.

故f（t）的定義域為-1≤x≤4.

點評：（1）對于復(fù)合函數(shù)f［g（x）］而說，如果函數(shù)f（x）的定義域為A，則f［g（x）］的定義域是使得函數(shù)g（x）∈A的x的取值范圍.（2）如果f［g（x）］的定義域為A，則函數(shù)f（x）的定義域是函數(shù)g（x）的值域.

題型三：由實際問題確定函數(shù)的定義域

在解決函數(shù)實際應(yīng)用題時，要考慮結(jié)合實際問題，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要注意問題的實際意義對自變量的限制（如長度、面積必須大于0，人必須為自然數(shù)等）.

例3 甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h.已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，且比例系數(shù)為b；固定部分為a元.把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域.

分析：先建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式以及速度v的實際意義確定函數(shù)的定義域.

故函數(shù)的解析式有意義得到v≠0，由自變量v的實際意義得到v＞0，由題目的限制條件“速度v不得超過ckm/h”得到v≤c.

所以函數(shù)的解析式及其定義域為

點評：在解決關(guān)于函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，一定要注意研究并寫明函數(shù)的定義域，否則扣分是比較多的.這是因為作為解答題的這類題型，往往還要考查函數(shù)的其他性質(zhì).如果函數(shù)的定義域出錯了，那么在此基礎(chǔ)上研究出來的函數(shù)的其他性質(zhì)也就不一定正確了.這一點我們要加倍注意，并形成重視函數(shù)定義域的良好意識與習(xí)慣.

總之，函數(shù)的定義域是求解函數(shù)的一切問題的基礎(chǔ)，解決函數(shù)的一切問題必須認(rèn)真考查函數(shù)的定義域，學(xué)會并掌握求函數(shù)的定義域的常用方法是學(xué)習(xí)好函數(shù)的基礎(chǔ).