不等式中的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題

☉湖北省孝感市文昌中學(xué) 羅小倩

近幾年的中考數(shù)學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)以不等式為背景的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題.下面列舉幾例，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.

1.購(gòu)票的方案設(shè)計(jì)

例1 2008年8月，北京奧運(yùn)會(huì)帆船比賽將在青島國(guó)際帆船中心舉行.觀看帆船比賽的船票分為兩種：A種船票600元/張，B種船票120元/張.某旅行社要為一個(gè)旅行團(tuán)代購(gòu)部分船票，在購(gòu)票費(fèi)不超過(guò)5000元的情況下，購(gòu)買(mǎi)A，B兩種船票共15張，要求A種船票的數(shù)量不少于B種船票數(shù)量的一半.若設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種船票x張，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

（1）共有幾種符合題意的購(gòu)票方案？寫(xiě)出解答過(guò)程.

（2）根據(jù)計(jì)算判斷：哪種購(gòu)票方案更省錢(qián)？

（2011年山東省青島市）

解：（1）由題意：

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x＝5，6.

所以共兩種購(gòu)票方案：

方案一：A種船票5張，B種船票10張；

方案二：A種船票6張，B種船票9張.

（2）因?yàn)?，第一種方案的票費(fèi)為：5×600＋120×10＝4200（元）；

第二種方案的票費(fèi)為：6×600＋120×9＝4680（元）；

所以，第一種方案更合算.

2.進(jìn)貨的方案設(shè)計(jì)

例2 某超市銷(xiāo)售有甲、乙兩種商品，甲商品每件進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)15元；乙商品每件進(jìn)價(jià)30元，售價(jià)40元.

（1）若該超市同時(shí)一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共80件，恰好用去1600元，求：能購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該超市為使甲、乙兩種商品共80元的總利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）不少于600元，但又不超過(guò)610元，請(qǐng)你幫助該超市設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案.

（2008年遵義市）

解：（1）甲商品進(jìn)了x件，則乙種商品進(jìn)了80-x件，依題意得：

10x+（80-x）×30=1600，解得：x=40.

即甲種商品進(jìn)了40件，乙種商品進(jìn)了80-40=40件.

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種商品為x件，則購(gòu)買(mǎi)乙種商品為（80-x）件，依題意可得：

600≤（15-10）x+（40-30）（80-x）≤610.

解得：38≤x≤40.

即有三種方案，分別為甲38件，乙42件或甲39件，乙41件或甲40件，乙40件.

3.租車(chē)的方案設(shè)計(jì)

例3 2008年5.12四川地震后，懷化市立即組織醫(yī)護(hù)工作人員趕赴四川災(zāi)區(qū)參加傷員搶救工作.擬派30名醫(yī)護(hù)人員，攜帶20件行李（藥品、器械），租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車(chē)共8輛，日夜兼程趕赴災(zāi)區(qū).經(jīng)了解，甲種汽車(chē)每輛最多能載4人和3件行李，乙種汽車(chē)每輛最多能載2人和8件行李.

（1）設(shè)租用甲種汽車(chē)x輛，請(qǐng)你設(shè)計(jì)所有可能的租車(chē)方案；

（2）如果甲、乙兩種汽車(chē)的租車(chē)費(fèi)用每輛分別為8000元、6000元，請(qǐng)你選擇最省錢(qián)的租車(chē)方案.

（2010年河南鄭州市）

解：（1）因?yàn)樽庥眉追N汽車(chē)為x輛，則租用乙種汽車(chē)（8-x）輛.

即共有兩種租車(chē)方案：

第一種是租用甲種汽車(chē)7輛，乙種汽車(chē)1輛；

第二種是全部租用甲種汽車(chē)8輛.

（2）第一種租車(chē)方案的費(fèi)用為7×8000+1×6000=62000（元）.

第二種租車(chē)方案的費(fèi)用為8×8000=64000（元）.

所以，第一種租車(chē)方案最省錢(qián).

例4 榮昌公司要將本公司100噸貨物運(yùn)往某地銷(xiāo)售，經(jīng)與春晨運(yùn)輸公司協(xié)商，計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車(chē)共6輛，用這6輛汽車(chē)一次將貨物全部運(yùn)走，其中每輛甲型汽車(chē)最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車(chē)最多能裝該種貨物18噸.已知租用1輛甲型汽車(chē)和2輛乙型汽車(chē)共需費(fèi)用2500元；租用2輛甲型汽車(chē)和1輛乙型汽車(chē)共需費(fèi)用2450元，且同一種型號(hào)汽車(chē)每輛租車(chē)費(fèi)用相同.

（1）求租用一輛甲型汽車(chē)、一輛乙型汽車(chē)的費(fèi)用分別是多少元.

（2）若榮昌公司計(jì)劃此次租車(chē)費(fèi)用不超過(guò)5000元.通過(guò)計(jì)算求出該公司有幾種租車(chē)方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)，并求出最低的租車(chē)費(fèi)用.

（2008年黑龍江哈爾濱市）

解：（1）設(shè)租用一輛甲型汽車(chē)的費(fèi)用是x元，租用一輛乙型汽車(chē)的費(fèi)用是y元.

答：租用一輛甲型汽車(chē)的費(fèi)用是800元，租用一輛乙型汽車(chē)的費(fèi)用是850元.

（2）設(shè)租用甲型汽車(chē)z輛，則租用乙型汽車(chē)（6-z）輛.

解得2≤z≤4.

由題意知，z為整數(shù)，則z=2或z=3或z=4.

故共有3種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車(chē)2輛，租用乙型汽車(chē)4輛；

方案二：租用甲型汽車(chē)3輛，租用乙型汽車(chē)3輛；

方案三：租用甲型汽車(chē)4輛，租用乙型汽車(chē)2輛.

方案一的費(fèi)用是800×2+850×4=5000（元）；

方案二的費(fèi)用是800×3+850×3=4950（元）；

方案三的費(fèi)用是800×4+850×2=4900（元）.

所以最低運(yùn)費(fèi)是4900元.

答：共有3種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車(chē)2輛，租用乙型汽車(chē)4輛；

方案二：租用甲型汽車(chē)3輛，租用乙型汽車(chē)3輛；

方案三：租用甲型汽車(chē)4輛，租用乙型汽車(chē)2輛.

最低運(yùn)費(fèi)是4900元.

4.汽車(chē)調(diào)度的方案設(shè)計(jì)

例5 某物流公司，要將300噸物資運(yùn)往某地，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的車(chē)可供調(diào)用，已知A型車(chē)每輛可裝20噸，B型車(chē)每輛可裝15噸，在每輛車(chē)不超載的條件下，把300噸物資裝運(yùn)完，問(wèn)：在已確定調(diào)用5輛A型車(chē)的前提下至少還需調(diào)用B型車(chē)多少輛？

（2011年永州市）

解：設(shè)還需要B型車(chē)x輛，根據(jù)題意，得：

20×5+15x≥300.

由于x是車(chē)的數(shù)量，應(yīng)為整數(shù)，所以x的最小值為14.

答：至少需要14臺(tái)B型車(chē).