因題而異設(shè)未知數(shù)

☉江蘇省淮安市淮陰區(qū)開(kāi)明中學(xué) 馬先龍

在中考選擇題和填空題解題中，常常會(huì)碰到計(jì)算問(wèn)題.對(duì)于此類問(wèn)題，有時(shí)需要列方程（組）解決.列方程（組）前，若能根據(jù)題設(shè)和圖形特點(diǎn)，因題而異設(shè)未知數(shù)，往往能化難為易，事半功倍.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

1.直接設(shè)未知數(shù)

例1 （2011四川內(nèi)江中考）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）.

分析：如圖1，由條件，易知AD=AB=3，CD=CB=1，過(guò)點(diǎn)D分別作DF⊥x軸，DG⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)F、G，設(shè)D（m，n），在Rt△ADF和Rt△CDG中，由勾股定理易得關(guān)于m、n的方程組，解出m、n即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

2.間接設(shè)未知數(shù)

例2 （2011安徽蕪湖中考題改編）如圖2，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_______.

分析：如圖2，直接求正方形ABCD的面積比較困難，可間接設(shè)未知數(shù).

由正方形的面積公式，知只須求出AB的長(zhǎng)，因AC=所以只須求出AC的長(zhǎng).連接AC，設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)G，則AC=AG+CG.由條件易知△AEG∽△CFG，設(shè)EG=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，解出x，即得EG、FG的長(zhǎng)，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理可求出AG、CG的長(zhǎng)，得出AC的長(zhǎng)后，問(wèn)題迎刃而解.

解：如圖2，連接AC，設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)G，設(shè)EG=x.

因?yàn)锳E⊥EF，EF⊥FC，所以∠AEG=∠CFG=90°.

所以AE∥CF，所以△AEG∽△CFG.

所以S正方形ABCD=（4）2=160，所以正方形ABCD的面積為160.

例3（2011重慶市中考）某步行街?jǐn)[放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景.甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成.這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了________朵.

分析：直接求黃花的總朵數(shù)比較困難，可間接設(shè)未知數(shù).設(shè)步行街?jǐn)[放甲、乙、丙三種造型的盆景分別為x盆、y盆、z盆，則由題意可列出關(guān)于x、y、z的方程組，把x當(dāng)做已知數(shù)，從中解出y、z，代入24x+12y+18z中，消去x，即可求出黃花的總朵數(shù).

解：設(shè)步行街?jǐn)[放甲種造型的盆景x盆，乙種造型的盆景y盆，丙種造型的盆景z盆，由題意，得：

3.多設(shè)未知數(shù)

例4（2011四川南充中考）如圖3，在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖3，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（ ）.

A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米

分析：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB，連接OA、OC，則CE=4，AF=3，EF=1.因⊙O的半徑和OE都是未知的，所以可多設(shè)未知數(shù)，設(shè)⊙O的半徑=x，OE=y，這樣就能較容易地列出方程，解出x，則MN=2x.

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB，連接OA、OC，設(shè)⊙O的半徑=x，OE=y，在Rt△OCE中，由勾股定理，得x2=y2+42……（1）.

在Rt△OAF中，由勾股定理，得x2=（y+1）2+32……（2）.

比較（1）、（2），得y2+42=（y+1）2+32，解得y=3，把y=3代入（1），得x=5，所以圓柱形油槽直徑MN為10，應(yīng)選C.

4.設(shè)輔助未知數(shù)

例5 （2011浙江溫州中考題改編）如圖4，八個(gè)全等的直角三角形拼接后得到三個(gè)正方形.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=11，則S2的值為_(kāi)______.

分析一：如圖4，直接求S2比較困難，根據(jù)題設(shè)和圖形的特點(diǎn)，可設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為S（S為輔助未知數(shù)），這樣就易于找出S1、S2與S和S3之間的關(guān)系，把所得關(guān)系代入條件，可得S3與S的關(guān)系，把這一關(guān)系代入S2，消去S即得S2的值.

解：如圖4，設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為S.

則S1=8S+S3，S2=4S+S3.因?yàn)镾1+S2+S3=11，

所以（8S+S3）+（4S+S3）+S3=11，12S+3S3=11.

解：如圖4，設(shè)每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，則AB=a+b，EF=，MN=a-b，所以S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2.

因?yàn)镾1+S2+S3=11，所以（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=11，展開(kāi)整理，得3（a2+b2）=11.