動(dòng)靜結(jié)合演繹精彩

☉浙江省紹興縣平水鎮(zhèn)中 馮 雁 沈岳夫

所謂“動(dòng)靜結(jié)合”，這里是指在研究的兩個(gè)幾何圖形中，一個(gè)圖形隨著兩點(diǎn)（一動(dòng)一定或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）之間線段長(zhǎng)度的改變，根據(jù)題目條件其生成的圖形也隨之改變，即稱之為“動(dòng)圖”，另一個(gè)圖形靜止不變，即稱之為“靜圖”，兩者結(jié)合叫動(dòng)靜結(jié)合.縱觀2011年學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)考試題，筆者發(fā)現(xiàn)這類試題呈上升趨勢(shì)，它們集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性，題目靈活、多變，動(dòng)中有靜，動(dòng)靜結(jié)合，能在動(dòng)圖變化中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、綜合分析能力，特別是注重對(duì)分類思想的考查.

解決此類問(wèn)題的策略是：首先，要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，由特殊情形過(guò)渡到一般情形；其次，要把握?qǐng)D形在動(dòng)態(tài)中暫時(shí)靜止的某一瞬間，將這些點(diǎn)鎖定在某個(gè)位置，并能根據(jù)題意依次畫(huà)出各個(gè)不同狀態(tài)的圖形，以及相鄰狀態(tài)的交界處的圖形；第三，明確解題方法，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題有確定圖形的變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型求解；當(dāng)確定特殊圖形的特殊位置關(guān)系時(shí)，通常建立方程模型求解.在求解過(guò)程中要關(guān)注圖形的生成依賴的“臨界點(diǎn)”的變化.現(xiàn)結(jié)合2011年的學(xué)業(yè)考試題，采擷幾例予以剖析，以期待讀者的重視.

一、因兩點(diǎn)間長(zhǎng)度發(fā)生改變，探究其生成的動(dòng)圓與靜圓的相切問(wèn)題

例1 （2011年南京市）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P為BC的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

（1）當(dāng)t=1.2時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值.

分析：（1）判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，即要求圓心P到直線AB的距離與圓半徑PQ的關(guān)系即可.通過(guò)公式可求PQ的長(zhǎng)為2.4cm；求圓心P到直線AB的距離就應(yīng)作輔助線：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，由△PBD∽△ABC求出，從而得出結(jié)論.

（2）對(duì)于⊙P與⊙O相切，可能存在兩種情況，一是⊙P在⊙O內(nèi)兩圓相切；二是⊙O在⊙P內(nèi)兩圓相切.但都有一個(gè)共同點(diǎn)，即兩圓的圓心距等于兩半徑之差，故只要求出圓心距OP和兩圓半徑即可求得.

解：（1）直線AB與⊙P相切.理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由于AC=6cm，BC=8cm，所以AB=10cm.又P為BC的中點(diǎn)，可知PB=4cm.又∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC.所以△PBD∽△ABC.得，解得PD=2.4cm.當(dāng)t=1.2時(shí)，PQ=2t=2.4cm.所以PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑.故直線AB與⊙P相切.

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)單點(diǎn)Q發(fā)生變動(dòng)，從而使以PQ為半徑的圓逐漸變大.兩圓的位置關(guān)系應(yīng)從內(nèi)含→內(nèi)切（⊙P在⊙O內(nèi)）→相交→內(nèi)切（⊙O在⊙P內(nèi)）→內(nèi)含的五種情況分類討論.解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是依題畫(huà)圖，針對(duì)所畫(huà)的圖形，借助特殊“臨界點(diǎn)”位置（內(nèi)切）的關(guān)系，運(yùn)用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想解決問(wèn)題.可見(jiàn)，通過(guò)正確畫(huà)圖，搭起了學(xué)生思考的“腳手架”.讓學(xué)生自主探究，不斷地深入思考，從而提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生的分類意識(shí).

二、因兩點(diǎn)間長(zhǎng)度發(fā)生改變，探究其生成的正三角形與矩形的重疊部分面積

例2 （2011年重慶市）如圖3，矩形ABCD中，AB=6，BC=，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且BP=3.一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA勻速動(dòng)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線PA勻速動(dòng)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）.

（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值.

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍.

（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對(duì)角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；

（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn)，分為0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；

（3）存在.當(dāng)△AOH是等腰三角形時(shí)，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值.

（2）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，如圖5，設(shè)EG交CD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB.在Rt△EMH中，∠MEH=60°，MH=BC=而B(niǎo)E=BO+EO=3+t，所以CM=BH=BE-EH=3+t-2=1+t.進(jìn)而求得

當(dāng)1≤t＜3時(shí)，如圖6，在Rt△BFH中，∠BFH=60°，BF=3-t，則BH=BF·tan60°=3△BFH∽△CNH，得解得CN=t-1.所以S陰影=S梯形BCME-S△HCN=

（3）存在，理由如下：

（Ⅱ）當(dāng)HA=HO時(shí)（如圖10），則∠HOA=∠HAO=30°，又因?yàn)椤螲EO=60°，所以∠EHO=90°.進(jìn)而得EO=2HE=2AE.又AE+EO=3，所以AE＋2AE=3，得AE=1.所以3-t=1或t-3=1，解得t=2或4.

（Ⅲ）當(dāng)OH=OA時(shí)（如圖11），則∠OHA=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB.則點(diǎn)E和O重合，得AE=3.所以3-t=3或t-3=3，解得t=6（舍去）或t=0.

綜上所述，存在5個(gè)這樣的值，使△AOH是等腰三角形，即：

點(diǎn)評(píng)：此題設(shè)置了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題情境，主要考查了等腰三角形、正三角形、相似三角形、矩形、梯形、直角三角形等有關(guān)知識(shí)，這種集多個(gè)知識(shí)、多種解題思想于一體的綜合題，既能考查學(xué)生的創(chuàng)造性思維品質(zhì)，又能體現(xiàn)學(xué)生的實(shí)際水平和應(yīng)變能力.解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形，由于線段EF的長(zhǎng)度在改變，所以正△EFG與矩形ABCD重疊部分的形狀也隨之改變，依次為直角梯形、五邊形、等腰梯形、正三角形等.然后觀察圖形，尋找“臨界點(diǎn)”（t=0，1，3，4，6），分類分析產(chǎn)生各種情況的圖形，以及相鄰情況的分界圖的生成.因此，在運(yùn)動(dòng)中不能被“動(dòng)”所迷惑，而應(yīng)在“動(dòng)”中求“靜”，“以靜制動(dòng)”，抓住要害，各個(gè)擊破，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題來(lái)解決，找出動(dòng)態(tài)過(guò)程中的不變量，同時(shí)，要注意分類討論思想的滲透，以及轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)建模在解題中的靈活運(yùn)用.

三、因兩點(diǎn)間長(zhǎng)度發(fā)生改變，探究其生成的正方形與三角形的重疊部分的函數(shù)最值問(wèn)題

例3（2011年淮安市）如圖12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2.點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是________；當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是________.

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得EP=1，PF=1，EF=2，即為正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4.

解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，EF=2；當(dāng)t=3時(shí)，EF=4.

點(diǎn)評(píng)：此本題以三角形為載體，由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生正方形，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形的邊長(zhǎng)也是一個(gè)由變到不變的過(guò)程，即在0＜t≤2時(shí)正方形的邊長(zhǎng)由短變長(zhǎng)，在2＜t≤8時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是定長(zhǎng)4，正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀也是一個(gè)不斷變化的，依次為正方形、五邊形、梯形、三角形、梯形、五邊形、六邊形、四邊形等.在變化中隱含著不變的因素，點(diǎn)“動(dòng)”引起“形”動(dòng)，這與一般的動(dòng)態(tài)問(wèn)題的不同.設(shè)置簡(jiǎn)潔、清晰，三個(gè)問(wèn)題層次分明，具有一定的區(qū)分度，體現(xiàn)了學(xué)業(yè)考?jí)狠S題的選拔功能.從考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，有正方形、梯形、相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)，同時(shí)解題過(guò)程需要用到數(shù)形結(jié)合、靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、一般到特殊、特殊到一般、分類討論等多種重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求.此題是一道不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度.