對北師大版教材“梯子滑動問題”的探究

☉湖北省宜都市外國語學(xué)校 范 鴻

北師大版九年級教材上冊P47有一例：如圖1，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？

分析 由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻6m，如果設(shè)梯子的底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻（6+x）m.根據(jù)題意，可得方程（x+6）2+72=102.解這個方程得x=

1.提出問題

從上述解題過程中，我們發(fā)現(xiàn)梯子底端滑動的距離x=1，這個結(jié)論是否具有一般性？即：是不是在任何情況下，底端滑動的距離都大于頂端下滑的距離？如果不是，那么“梯子滑動”是否有一定的規(guī)律？

2.猜想規(guī)律

帶著這個問題，改變本題中的頂端下滑距離的數(shù)據(jù)，設(shè)梯子的底端滑動xm，重新計算：（1）當(dāng)頂端下滑距離為2m，列出方程（x+6）2+62=102，解得x=2；（2）當(dāng)頂端下滑距離為3m，列出方程（x+6）2+52=102，解得x=

（3）當(dāng)頂端下滑距離為4m，列出方程（x+6）2+42=102，解得x=

（4）……

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頂端下滑距離為2m時，底端滑動距離也為2m.當(dāng)梯子頂端下滑距離在增大時，方程中一個加數(shù)如62、52、42……在減小，梯子底端滑動的距離在增大.但是，上述的計算結(jié)果顯示：當(dāng)頂端下滑距離大于2m時，底端滑動的距離小于頂端下滑的距離.提醒我們關(guān)注本題的條件，由于“斜邊-直角邊=2”，“兩直角邊之差=2”，到底哪一個是真正的條件，來影響頂端下滑距離和底端滑動距離的大小關(guān)系呢？從特殊到一般，如圖1，AO＞BO，設(shè)AA′=BB′=x，則A′O=AO-x，B′O=BO+x，在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知：A′O2+B′O2=A′B′2，于是（AO-x）2+（BO+x）2=AO2+BO2，解得：

我們猜想如下：

（1）若梯子頂端下滑的距離等于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離等于頂端滑動的距離；

（2）若梯子頂端下滑的距離大于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離小于頂端滑動的距離；

（3）若梯子頂端下滑的距離小于兩直角邊之差，則梯子底端滑動的距離大于頂端滑動的距離.

3.證明猜想

如圖1，AO＞BO，設(shè)AA′=x，BB′=y，則A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化簡并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.將y視為未知數(shù)，解分類討論如下：

（1）當(dāng)x=y時，即-BO+，解得x=AO-BO.反之也成立.

（2） 當(dāng)y＞x時，即-BO+

解得x＜AO-BO.反之也成立.

（3） 當(dāng)y＜x時，即-BO+解得x＞AO-BO，反之也成立.

綜上所述，猜想正確，當(dāng)AO＞BO時，梯子頂端沿長直角邊AO下滑，遵循上述規(guī)律.

4.變式探究

對于Rt△AOB，改變原條件“AO＞BO”，情況又會怎樣？下面進(jìn)行探究討論：

（1） 如圖2，在Rt△AOB中，AO＜BO，AB=A′B′.設(shè)AA′=x，BB′=y，則A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化簡并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.將y視為未知數(shù)，解得y=-BO±，取y=-BO+，移項兩邊平方化簡得：x2+y2=2（AOx-BOy）.

因為x2+y2＞0，所以AOx-BOy＞0.

又因為AO＜BO，所以x＞y.

（2）將條件“AO＞BO”變?yōu)椤癆O=BO”，方法同上述（1）一樣，此時x2+y2=2AO（x-y）.

因為x2+y2＞0，所以x＞y.

綜上所述，當(dāng)AO≤BO時，梯子頂端沿短直角邊AO下滑的距離總大于底端滑動的距離.

5.提煉推廣

對于直角三角形，在斜邊一定的情況下，兩直角邊的變化規(guī)律如下：

（1）對于等腰直角三角形，一直角邊縮短的距離總大于另一直角邊伸長的距離.

（2）對于非等腰的直角三角形，短直角邊縮短的距離總大于長直角邊伸長的距離.

（3）對于非等腰的直角三角形，長直角邊縮短的距離和短直角邊伸長的距離的大小關(guān)系須滿足一定條件：

當(dāng)長直角邊縮短的距離等于兩直角邊之差時，長直角邊縮短的距離等于短直角邊伸長的距離；當(dāng)長直角邊縮短的距離大于兩直角邊之差時，短直角邊伸長的距離小于長直角邊縮短的距離；當(dāng)長直角邊縮短的距離小于兩直角邊之差時，短直角邊伸長的距離大于長直角邊縮短的距離.