圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)的探究與引申

●王泳彩 (馬寅初中學(xué) 浙江嵊州 312400)

由于橢圓、雙曲線、拋物線是具有統(tǒng)一定義的圓錐曲線，因此它們具有許多統(tǒng)一的性質(zhì).筆者通過(guò)對(duì)2個(gè)問(wèn)題的探究，得出幾個(gè)有趣的結(jié)論.本文對(duì)圓錐曲線的研究是在標(biāo)準(zhǔn)方程下進(jìn)行的，因此給出的性質(zhì)也只對(duì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程適用，至于非標(biāo)準(zhǔn)方程下的圓錐曲線還有待進(jìn)一步研究.

1 定理的發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題2 過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0＞0)作2條直線分別交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).

(2004年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)略.

(2)設(shè)直線PA的方程為y-y0=k(x-x0)，則直線PB的方程為y-y0=-k(x-x0).由

即直線AB的斜率為非零常數(shù).

由問(wèn)題1和問(wèn)題2引發(fā)了以下思考：

(2)問(wèn)題1和問(wèn)題2的結(jié)論是巧合嗎?對(duì)所有圓錐曲線這個(gè)性質(zhì)是否都成立?

筆者借助幾何畫板研究發(fā)現(xiàn)，不管對(duì)橢圓、拋物線，還是雙曲線，不管它們的位置如何，只要直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，直線AB的斜率始終為定值.

限于高中階段圓錐曲線的范疇，不妨設(shè)圓錐曲線統(tǒng)一的方程為Ax2+By2+Cx+Dy+F=0(A≠B且A，B不同時(shí)為0)，P(x0，y0)為曲線上任一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的2條直線PA，PB，與曲線的交點(diǎn)分別為 A(x1，y1)，B(x2，y2).事實(shí)上，設(shè)直線PA方程為y-y0=k(x-x0)，則直線PB的方程為 y-y0=-k(x-x0).由

2 定理的引申

進(jìn)一步思考，定值kAB與點(diǎn)P及圓錐曲線在幾何上有什么聯(lián)系呢?

如圖1，可以設(shè)想將問(wèn)題1中的直線 PA，PB不斷繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，逐漸使點(diǎn)A，B愈來(lái)愈靠近，最后可以得到點(diǎn) A，B重合的狀態(tài).記點(diǎn)A，B重合的點(diǎn)為P0，用極限的觀點(diǎn)來(lái)判斷，此時(shí)直線AB應(yīng)為曲線C的切線，點(diǎn)P0為切點(diǎn).事實(shí)上，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則由PA，PB的傾斜角互補(bǔ)知PM⊥x軸或PM⊥y軸.當(dāng)A，B重合于點(diǎn)P0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)P0也重合，故點(diǎn)P0為點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(x0，-y0)或(-x0，y0).下面證明曲線C在點(diǎn) P0處的切線與直線 AB平行.不妨設(shè)P0(x0，-y0)，設(shè)切線方程為 y+y0=k(x-x0).由

圖1

故切線與直線AB平行.

同理可證曲線C在P0(-x0，y0)處的切線也與直線AB平行.對(duì)于雙曲線與拋物線，證明過(guò)程類似.由此得到圓錐曲線的3個(gè)重要性質(zhì)：

性質(zhì)1 過(guò)圓錐曲線上任一定點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)作傾斜角互補(bǔ)的 2 條直線 PA，PB，與圓錐曲線的交點(diǎn)分別為 A(x1，y1)，B(x2，y2).若直線PA，PB的斜率都存在，則直線AB的斜率等于曲線在點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率.

性質(zhì)2 若直線y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線C相交于點(diǎn)A，B(對(duì)于雙曲線要求相交于同一支)，則在曲線C上必存在定點(diǎn)P，使得直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，且點(diǎn)P為將直線平移到與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)關(guān)于曲線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).

另外，設(shè)線段AB中點(diǎn)為M(x，y)，則

因?yàn)?A(x1，y1)，B(x2，y2)在曲線上，所以

即線段AB的中點(diǎn)軌跡與曲線C的交點(diǎn)為(x0，-y0)和(-x0，y0).

由此也引出了圓錐曲線的另一個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)3 若直線y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線C相交于點(diǎn)A，B，則在曲線C上必存在定點(diǎn)P，使得直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，且點(diǎn)P為線段AB的平行弦中點(diǎn)軌跡與曲線的交點(diǎn)關(guān)于曲線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).

3 定理的應(yīng)用

(2011年嵊州市數(shù)學(xué)教師綜合素質(zhì)比武試題)

證法1 假設(shè)存在C上的一點(diǎn)M(m，n)，則

當(dāng)m=0時(shí)，顯然不可能.因?yàn)橹本€交C于點(diǎn)A，B，所以Δ＞0，即

證法1計(jì)算量比較大，參加比武的數(shù)學(xué)教師也大都因?yàn)闀r(shí)間的限制與計(jì)算的繁雜，難以順利求解.如果應(yīng)用本文所得定理性質(zhì)則可迎刃而解.

證法2 假設(shè)存在C上的一點(diǎn)M(m，n)，則

當(dāng)m=0時(shí)，顯然不可能.

本文從常見(jiàn)的問(wèn)題出發(fā)，將問(wèn)題的結(jié)論作一般化推廣和探究，再進(jìn)一步地借助運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)和幾何畫板的演示，最終得出幾個(gè)有趣的結(jié)論，揭示了定值kAB與點(diǎn)P的本質(zhì)聯(lián)系.這一探究過(guò)程，體現(xiàn)了新課程倡導(dǎo)的“突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，適當(dāng)?shù)问胶椭厮季S、重探究、重過(guò)程”的理念.