含有一個非線性梯度項的拋物方程在Robin邊界條件下的爆破現(xiàn)象

駱世廣，駱昌日

(1．廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東廣州510521;2．華中師范大學(xué)職業(yè)與繼續(xù)教育學(xué)院，湖北武漢430079)

文獻［1］介紹了一類含有非線性梯度項的拋物方程，即方程可寫為如下形式:

并給出如下初邊值條件:

部分學(xué)者研究了在 Dirichlet邊界條件下和Neumann邊界條件的解的爆破問題［4-8］．其中考慮在Robin邊界條件下解的爆破問題［9-10］．本文繼續(xù)在Robin邊界條件下考慮爆破問題．眾所周知，p≤2q時解在有限時間內(nèi)將不會爆破［11］，但是在p＞2q時，解可能會爆破［6］．本文僅考慮其特殊情況q=1時，為了簡單起見，令p=s+1，那么原方程組可寫為如下形式:

Robin邊界條件和初值條件可寫為:

其中k是一個正常數(shù)．應(yīng)用拋物方程的最大值原理［12-13］得到u將是非負(fù)的，對任意的x，t［0，t*)．下面將推導(dǎo)出當(dāng)爆破發(fā)生時，解的爆破時間的下界．

推導(dǎo)下界的過程中，將對式(4)中的一些數(shù)據(jù)項加適當(dāng)?shù)募僭O(shè)．我們可以得到如下定理:

將滿足如下的微分不等式

從式(8)可以得到爆破時間t*的下界，得到:

其中m4

參數(shù)τ0，L，ε3均為正常數(shù)，證明過程中將會給出其具體定義和解釋．

現(xiàn)在開始證明定理1．首先計算

式(10)的計算過程中用到了散度定理，并且關(guān)于u的邊界條件注意到如下事實:

為了方便，假設(shè)w=u(ns+1)/2，那么式(10)的最后一項可以寫成

由廣義的Poincare不等式推得

本文研究和應(yīng)用的人工免疫故障診斷及預(yù)警算法主要包括3部分: 系統(tǒng)初始化，包括正?？贵w庫和故障抗體庫的初始化；系統(tǒng)自學(xué)習(xí)，包括正?？贵w庫和故障抗體庫的更新；在線故障診斷，包括故障檢測和故障類別診斷。實際的在線故障診斷流程如圖5所示[12-13]。

其中λ1是如下問題的第一正的特征值Δω+λω=0，+kω =0，x?Ω，應(yīng)用條件(5)，由式(12)

可得

其中m1=k(ns+1)/2．接下來處理式(13)的最后一項．由散度定理可得

其中ni是?Ω的朝向外面的法向量的第i個分量．因為Ω是凸的，定義，則

上式推導(dǎo)過程中用到幾何平均值不等式，且ε1是一個任意的正常數(shù)．聯(lián)立式(13)、(15)，可得

對Ω和n加限制條件使得它滿足λ1-3m1/τ0＞0，然后選擇足夠小的 ε1使之滿足λ1-3/τ0-(d/τ0)2ε1＞0．由式(16)可得，其中

是一個正常數(shù)．因此，由式(10)得到

其中 m3=nsm2［2/(ns+1)］2．假設(shè) α =1/s和 v=us，并且使用H?lder's不等式得到

運用不等式 arbq≤ra+qb，r+q=1，a，b ＞0，可得

其中 ε2是 一 個 任 意 的 正 常 數(shù)，且 L=使用積分不等式(文獻［5］的式(2．16))，得到

其中m6=，且ε3是一個任意的正常數(shù)．取 ε2=，由式(17)，

可得

對式(21)從0到t積分，可得t，從中導(dǎo)出t*的一個下界，即其中 φ(0)= ∫Ω［f(x)］nsd x．由此證明了定理1是成立的．

注1 從定理1推導(dǎo)過程可知，定理1的結(jié)論對于Neumann邊界條件下仍然是適用的．

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