王邦直與朱載堉律學比較研究淺析

徐文靜

(濰坊學院，山東 濰坊 261061)

王邦直，生于1513年，卒于1600年，字子魚，號東溟，明代山東即墨人。據(jù)《即墨縣志》記載：“其歲貢生，入太學。嘉靖間任鹽山縣丞，耿介不阿，因應詔條奏十事，有勿以官卑廢言之旨，后罷歸。殫精聲律之學，坐臥小閣二十年，成《律呂正聲》六十卷。萬歷間，邑人周如砥上其書，詔史官采用之。祀鄉(xiāng)賢?！盵1]《律呂正聲》六十卷被明史館收存，載于《明史·藝文志》。

作為與王邦直同時代律學研究的名人，不得不提的就是明代的大律學家朱載堉。為了方便與王邦直的研究進行比較，本文擬作三部分討論，即樂律之政治觀、樂律與天文歷法以及律呂之學。

一、王邦直的律學思想

《律呂正聲》是王邦直集律學、天文、歷法、樂學、舞學于一體并融會貫通的一部著作，《四庫全書總目提要》中稱之為“援引浩繁，其說甚辨，自漢司馬遷至明韓邦奇諸家，皆有節(jié)取”[2]。從《律呂正聲》的內(nèi)容上看，可以大體上分為律呂與政治、律呂與天文歷法以及律呂之學三個部分。

（一）律呂與政治的關(guān)系

孔子是中國文人的先師圣人，他的言行主張一定會影響著后代文人的主張和觀點。而王邦直這樣一個明代文人，其著作《律呂正聲》的寫作時期正是他被罷黜后“坐臥二十年”懷才不遇、志不能申的時候。這些讓他聯(lián)想到了自己與孔子遭遇的相似。雖然王邦直被罷黜還鄉(xiāng)，但也正是因為他內(nèi)心對夫子的尊崇，才使他決然地效仿孔子而著書立說以及正樂。

在王邦直看來音樂的不昌明已經(jīng)很久了，他很憂愁律呂失傳的狀況，所以在罷黜還鄉(xiāng)后感嘆道：“孔子自衛(wèi)返魯，正樂使雅樂所得，今樂失其所甚矣。討論研索二十余年而《律呂正聲》成”[3]。由此可見，王邦直著《律呂正聲》的初衷即是承孔子而正律呂。

王邦直認為律呂和政治有著很大的聯(lián)系，在其著作的總序中開篇就提到“夫樂何為而作也？本天地之和，以感夫人心者也……樂之道其有加于是者乎？古之圣人有見于此，因制之以為樂。形見之于聲容，發(fā)揮之于事業(yè)，著天地之和，以感人心之和，養(yǎng)其優(yōu)游平中之德，以消其暴慢淫邪之氣，無非使人自易其惡，自至其中，以歸于雅正焉而已矣”[4]。王邦直認為音樂是“本天地之和，以感夫人心”，而古人的作樂的目的是“養(yǎng)其優(yōu)游平中之德，以消其暴慢淫邪之氣，無非使人自易其惡，自至其中，以歸于雅正”，這才是音樂的功能和最終目的。

不僅如此，王邦直還主張五聲各有所依，各有其位，律必和聲，聲必和律，才是古制，聲律才能和諧?！皩m為君，不以律和之，則其聲荒，其君驕；商為臣，不以律和之，則其聲陂，其臣壞；角為民，不以律和之，則其聲憂，其民怨；徵為事，不以律和之，則其聲哀，其事勤；羽為物，不以律和之，則其聲危，其財匱。如此，則聲律不諧，失其所謂中聲者矣”[5]。同時，王邦直還提出“樂家大率最忌臣民凌君，然當高者或下，當下者或高，而有奪倫之患，故立此五象以調(diào)之。宮必為君而不可下于臣，商必為臣而不可上于君，若民、若事、若物皆當于此降殺。是故宮為君足以御臣，商為臣足以治民，角為民足以興事，徵為事足以成物，羽為物足以制用”[6]的觀點。這種觀點即是《尚書·舜典》中提到的“八音克諧，無相奪倫”，也是《樂記》中“樂行而倫清”、“皆安其位而不相奪也”所提到的倫理綱常。他認為五聲是封建倫理的體現(xiàn)，要各司其位才能夠達到和諧的社會關(guān)系。

（二）律呂和歷法的關(guān)系

王邦直把歷法和天文融匯入他的研究之中。認為律與歷應該相符，二者相輔相成，互為制約，互為陰陽，二者實為一體。在《律呂正聲·卷十五·律歷同道上》中說道“律有十二管，以候月氣；歷有十二月，以成歲功”，又“律之與歷常相符合”、“善治律者必驗于歷，善治歷者必本于律，要其極，皆一氣而已矣，故曰‘律歷同道’”[7]。

王邦直把歷之度數(shù)與律之數(shù)的諧合作為律歷的法則?！爸芴烊倭宥人姆侄戎?，日一日行一度，五日一候，日行五度，故以五度為一候也。七十二候，日行盡周天之度，猶余五度四分度之一，以為閏數(shù)。故作歷者皆以度為之準者，自黃帝調(diào)律歷，律數(shù)皆與度合，故后世法之，皆謂之律歷云”[8]。

王邦直在《律呂正聲·卷十七·律歷同道下》中把律呂和歷法相互對應，結(jié)合到一起。他把十二律呂對應十二月氣，并把其名義各疏于下，同時舉出當月自然氣候、萬物的典型特征。比如，在講太簇時，對應的是孟春之月，列舉的例子中就用了“獺祭”，“獺祭魚者，獺如小狗，水居食魚，取魚置水邊，四面陳之，世謂之祭魚。此時魚肥美，獺將食之，先以祭也”[9]。同時指出依照明朝一直沿用的《大統(tǒng)歷》，以東風解凍為氣候之起，律呂從太簇起至大呂終，月氣自孟春始至季冬終。

王邦直又進一步解釋了律呂合于天度的原因，是因為“度以記天，天日錯行，其度乃成。是度者，日之積也。律以候氣，時日既至，其氣乃升，是氣亦日之積也。夫氣之所以升，度之所以成，皆由于日也。則日也者，實為天之子，所以布氣成時，順時生物，而行天之令者也。律合于日，其有不合于天之度者乎？”。又“律應一歲之候，歷紀周天之運，故律之氣，一歲一周”，“自子自亥，十二律既終，而律復還于黃鐘。天之度，亦一歲一周……是律與天度，蓋同運而并行也如此”[10]。

（三）律呂之學

王邦直在《律呂正聲》開篇卷一之《黃鐘律本》中提出黃鐘作為十二律呂的首律應該取三寸九分，而不是自漢以來幾成定論的九寸一說。究其原因，王氏在著作中也給予了說明：“黃鐘所以三十九分者，陽氣自小雪后一日升一分，到冬至升三十分，故其數(shù)三十。陽數(shù)用九，故又加之以九分”[11]。對這種“氣”與律數(shù)的關(guān)系，王邦直又進一步解釋道：“夫氣之升降，豈真有分數(shù)之可言哉？蓋陽氣之升，積至冬至而成一陽，適可以滿其三寸九分之管，圣人獨會其精，以管約之而已。三寸者，體數(shù)者；九分者，用數(shù)者。以黃鐘一律言之，自具體用之全。以黃鐘對十一律而言，則又黃鐘為體，十一律為用，以十一律皆生于黃鐘也”[11]。王邦直所提倡的以三寸九分為黃鐘律數(shù)的原因是三為體數(shù)，九為用數(shù)，所以加在一起。對于為何用這兩個數(shù)的原因，王氏解釋，這些解釋是從《算經(jīng)》、《易》、《皇極經(jīng)世》以及《太玄經(jīng)》等古代文獻中選取的，如“太極生兩儀，蓋數(shù)之先也，此數(shù)之所以起于三也”[12]、“以三起數(shù)，三三相乘為九，固起于黃鐘之律”[13]，又舉出宋蜀人魏漢津言“黃帝以三寸之器名為《咸池》，其樂曰《大卷》。三三而九，乃為黃鐘之律。禹效黃帝之法，以聲為律，以身為度，用左手中指三節(jié)三寸，謂之君指，裁為宮聲之管，即是此意”[14]。又查其著作《律呂正聲》中文字，則可以發(fā)現(xiàn)明代另一文人李文利也持有此觀點，“宮聲，三十九絲，其聲清越微妙，而眾聲宗之，猶人君至德淵微，而天下應矣。故宮為聲氣之元，其聲亦謂之中聲”[14]。

那么王氏由其主張的黃鐘之數(shù)應該為三寸九分又是怎樣推算出其他十二律的呢？首先是要明確黃鐘一律是為陽之始，蕤賓一律是為陽之極，二者為經(jīng)，其余十律則為緯?！白游缯?，陰陽之府也，黃鐘生陽，蕤賓消陽。二律縱為經(jīng)，十律橫為緯?！盵15]對于如何生陽和消陽，王氏是這樣說道的“子午二律所以為之經(jīng)者，以陰陽之升降言也。陽生于子中，極于午中；陰生于午中，極于子中。十二律無非陰陽之往來者，是子午得天地之中，左右律之升降皆不能過也。但律呂之數(shù)紀陽不紀陰，故于蕤賓以下六律不言陰之生，但紀其陽之降耳。黃鐘長三寸九分，以九六生陽，至蕤賓而極其長；蕤賓長九寸，以九六歸陽，至黃鐘而極其短。二律特其兩端，左右律莫不受法于二律，則經(jīng)緯見矣。要之，皆本于陰陽之升降也”[15]。在這個規(guī)則的計算中要明確“九六”的含義，即“九者，陽之極數(shù)也；六者，陰之極數(shù)也。九極而六生焉，又以見陽極將變而為陰之義”[16]。王邦直計算出十二律呂的數(shù)值：黃鐘為體三寸九分，大呂為黃鐘數(shù)益九分四寸八分，太簇為大呂益九分五寸七分，夾鐘為太簇益九分六寸六分，姑洗為夾鐘益九分七寸五分，仲呂為姑洗益九分八寸四分，蕤賓為仲呂益六分九寸（注意蕤賓為生陽和消陽的分界，為經(jīng)，所以這里按王邦直的方法此處應該為益六分）；至蕤賓為陽之極數(shù)，又根據(jù)“蕤賓以下六律不言陰之生，但紀其陽之降耳”的方法，可以得出蕤賓以下的降陽數(shù)值，即林鐘為蕤賓損九分八寸一分，夷則為林鐘損九分七寸二分，南呂為夷則損九分六寸三分，無射為南呂損九分五寸四分，應鐘為無射損九分四寸五分，最后返回黃鐘為應鐘損六分三寸九分，從而復還黃鐘律。左邊律呂的數(shù)值比右邊律呂的數(shù)值均多出三分，如太簇為五寸七分，無射為五寸四分，左邊的太簇就比右邊的無射多出三分來，以此類推，這就是王邦直在《律呂正聲·卷一·律呂圖解》中所說的“陽贏陰縮之意”。

二、朱載堉的律學思想

朱載堉，生于公元1536年（明嘉靖十五年），卒于公元1611年（萬歷三十八年），祖籍安徽鳳陽。字伯勤，號句曲山人，青年時自號狂生、山陽酒狂仙客，謚號“端清”，明太祖朱元璋九世孫，鄭藩第六代世子，我國明代著名的律歷學家、算學家以及音樂理論家，著作有《樂律全書》，創(chuàng)建“新法密律”理論（即十二等比律）。

朱載堉的著作《樂律全書》是明代著名的音樂理論著作，共四十七卷，是集中國古代律學、歷學、算學、譜字學、舞學于一體的著作。匯集了十七種著作，其中包括《律學新說》、《樂經(jīng)古文》、《樂學新說》、《算學新說》、《進律書奏疏》、《律呂精義》、《操縵古樂譜》、《旋宮合樂譜》、《鄉(xiāng)飲詩樂譜》、《六代小舞譜》、《小舞鄉(xiāng)樂譜》、《二佾綴兆圖》、《靈星小樂譜》、《進歷法奏議》、《圣壽萬年歷》、《萬年歷備考》以及《律歷融通》。其中，《律學新說》和《律呂精義》兩部著作，尤其是后者，在中國音樂史乃至世界音樂史中貢獻最大，成為朱載堉“新法密律”（即十二等比律）理論的主干和支撐，解決了一直困擾了中國音樂很久的“黃鐘回還”、“旋相為宮”的問題。

（一）樂律之政治觀

朱載堉作為朱明皇室的后裔，與王邦直一樣，是不會和不可能繞過儒家思想的影響的。

在對儒家文化繼承的方面，朱載堉是承認并充分肯定音樂的社會功能和作用的，認為音樂應該由天而作，與天地和，感天地之氣息，“是故有定形而后有容受之積，有真積而后發(fā)中和之音，有正音而后感天地之氣”[17]。不僅如此，朱氏重視禮樂的政治作用，主張音樂從道德上感化人，強調(diào)仁德者為善，平和中庸者為美，包含有“仁”及道德等內(nèi)容。在對于雅樂的態(tài)度上，朱載堉想取“今”的形式，去傳達“古”的內(nèi)容，“或曰‘雅樂不美，美則不雅’。噫！不識雅之為訓也。夫雅者，美之至也?！庞枮椴幻溃渲囈裁饕印盵18]，這即代表了統(tǒng)治階級的雅樂觀。

在創(chuàng)新方面，朱載堉則充分反映了他突破傳統(tǒng)的勇氣。黃翔鵬先生曾經(jīng)這樣評價道：“朱載堉是一個崇奉儒家經(jīng)典而又在經(jīng)典外衣的覆蓋下叛離某些傳統(tǒng)思想的奇異的人物”[19]。在其著作《律學新說·卷一》中提到了對“形而上者謂之道，形而下者謂之器”問題的討論。中國古代一直認為道重器輕，論道者高貴，言器者低賤，這就造成了束縛我國科學技術(shù)的研究與開發(fā)。雖然律學被認為是“器”之“賤學”，但是朱載堉作為皇室的后裔卻沒有輕視它，反而更重視研究過程中的實踐和實驗，沖破文人用“道”來解釋事物的藩籬，轉(zhuǎn)而重視實驗中得來的“數(shù)”，用它來解釋所研究的領(lǐng)域?？梢哉f，“器”是朱載堉研究過程的立足點，更是體現(xiàn)他重視實驗和實踐，實事求是的嚴謹科研的體現(xiàn)。朱載堉主張的雅樂觀點雖然有復古的嫌疑，但其實也是對歷史的一種傳承，更是一種保護的具體作為。

（二）律歷之融通觀

所謂“律歷融通”就是指“音樂的構(gòu)成規(guī)律與自然界時序流轉(zhuǎn)節(jié)律具有內(nèi)在的一致性，具體表現(xiàn)為，樂音一個八度內(nèi)有十二律，時序一年則有十二月，二者均遵循十二這個數(shù)做圜道運動”[20]?！奥伞迸c“歷”在中國的文化中是不分開的，言律必言歷，言此必言彼的。持有“律歷融通”觀點的不止朱載堉一人，可以說是代有所見，朱氏乃力倡者之一。

朱載堉的律歷融通思想主要集中在他的早期著作《律歷融通》中。《律歷融通》總共四卷，是一部古代律歷學專著，內(nèi)容詳實豐富。前兩卷的內(nèi)容是朱氏研究傳統(tǒng)歷法所得的成果，還附有一套完整歷法“黃鐘律歷”；后兩卷則是集中論述作者自己關(guān)于“律歷融通”的思想觀點，是這部著作的精要之所在。

在《律歷融通·序》中朱載堉就提出了“律歷數(shù)相依不可違”的命題。在進行闡述“律歷融通”是朱氏一方面強調(diào)時序有按著十二月推移的律動性，即“律者，歷之本”；另一方面則肯定音律遵循十二律旋宮的歷性特征，即“歷者，律之宗”，使律（音樂）與歷（時間）融為一體。

朱載堉不但注意到了律歷的聯(lián)系還注意到了二者的差異，“夫歷之興也，測景于天，景有消長，因之以考分至，以序四時，而五禮本之；律之始也，后氣于地，氣有深淺，因之以辨清濁，以正五音，而六樂宗之。圣人作樂以應天，治禮以配地，故曰‘律居陰而治陽，歷居陽而治陰’，律歷迭相治也，其間不容發(fā)，而錯綜也”[21]。朱載堉認為“考分至”（即用歷來考察天象）是為了五禮的制定和實施提供依據(jù)，這是所謂的“歷居陽而治陰”；而律則是來自自然界，氣可以辨清濁和正邪，所以這就是六代大樂所要追求和達到的終極目標，這就是所謂的“律居陰而治陽”。這正是朱載堉對于“律歷融通”思想觀點論述的精華之所在。

在這樣的基礎(chǔ)之上，朱載堉認為律歷具有對應的性質(zhì)。“歷有五維、七政；律有五聲、七始，故律歷同一道，天之陰陽五行一氣而已。有氣必有數(shù)有聲。歷以紀數(shù)而聲寓，律以宣聲而數(shù)行，律與歷同，流行相生”[21]?？梢钥闯?，朱氏所說歷的五維對應律的五音，歷的七政對應律的七始。律與歷乃是聲與數(shù)的關(guān)系，是可以融為一體，互相依存的。這其實是反映了朱載堉的“律歷融通”思想觀點在一定程度上已經(jīng)遠離了神秘主義，而走向了所謂“器”的唯物主義了，可以說，這是一個偉大的突破。

“律家先求黃鐘，猶歷家先求冬至也。次求蕤賓，猶夏至也。又次求夾鐘，猶春分也。又次求南呂，猶秋分也。然后求大呂，除黃鐘外諸律呂之首也。其次求應鐘，諸律呂之終也，亦猶歷家所謂履端、舉正、歸余也。黃鐘履端于始，蕤賓舉正于中，應鐘歸余于終，故曰律呂一道”[22]。從以上這段話可以看出，朱載堉計算十二律是把黃鐘、蕤賓、夾鐘和南呂和節(jié)氣中的冬至、夏至、春分和秋分對應上的，并且把黃鐘、蕤賓、應鐘分別對應一年中的開始、中間和末尾。而且也是先計算出黃鐘、蕤賓、夾鐘和南呂四律再計算其他八律的。這種算法想必也和他“律歷融通”的思想觀點相符合，所以才說“律呂一道”的。

（三）律呂之學

朱載堉在《樂律全書》中提出了“新法密律”理論，也就是所謂的“十二平均律”或者更確切地說叫做“十二等比律”。這一理論的提出解決了一直困擾中國律呂研究的“旋宮”的問題。

朱載堉對于“聲”與“數(shù)”給予了科學的辨析和認識，“夫律之三分損益，上下相生，至仲呂而窮者，數(shù)使之然也?！苄酁閷m’者，音使之然也。數(shù)乃死物，一定而不易；音乃活法，圓轉(zhuǎn)而無窮。音數(shù)二者不可以一例論之也。”[23]在這里，朱載堉提出了按照三分損益的方法計算黃鐘不能還原，但是前人卻說到了“十二管旋相為宮”。一般人一定會墨守其說或者是認為這兩種說法自相矛盾，但是朱載堉卻認為前者是“數(shù)”的精確算法，是固定不能改動的，但是確實“死物”；但后者確實從音樂實踐的角度來說的“旋相為宮”，樂音是“活法”，可以圓轉(zhuǎn)無窮，至于實踐中的樂音是不會造成聽眾聽覺上大的波動的。

“《周禮》、《禮運》所言，深知此理，但言其音，不及其數(shù)，是以通而無礙。自漢以來術(shù)家以數(shù)求其法，是故礙而不通?！獠恢胖ト怂远芍褂谑?，取諸自然之理而已?！墙曰笥跀?shù)昧于聲者也。”[23]朱載堉在這里告訴人們不能只專心于用三分損益的方法來對律數(shù)的計算而全然不顧及音樂的實際情況，否則就會“惑于數(shù)昧于聲者”，使對于音樂的認識“礙而不通”。朱載堉正是基于這種認識才能夠沖破傳統(tǒng)律學的藩籬獲得舉世矚目的新的認知的。

朱載堉在文中還提到他曾聽父親說過“六經(jīng)有聽律之文，無算律之說，律由聲制，非由度出。黃鐘之聲既定，則何必拘九寸”。在這種家訓之下，朱氏則以這樣的規(guī)則來計算十二律的數(shù)值，“夫音生于數(shù)者也，數(shù)真則音無不合矣。若音或有不合，是數(shù)之未真也。達音數(shù)之理者變而通之，不可執(zhí)于一也。是故不用三分損益之法，創(chuàng)立新法：置一尺為實，以密率除之，凡十二遍，所求律呂真數(shù)比古四種術(shù)尤簡捷精密。數(shù)與琴音互相校正，最為吻合。惟博學明理之儒、知音善算之士，詳味此術(shù)。必有取焉者矣，豈庸俗所能識哉？”[24]。而后朱載堉便給后人羅列了十二律的律數(shù)，其中黃鐘十寸。

除此之外，朱載堉還放棄了前人一直沿用的三分損益法，舍棄了作差，采用了作比，也就是從之前的“等差”換成了“等比”，求出了等比的公比，真正地解決了“旋相為宮”的問題，計算出了真正意義上的十二平均律，或者更科學地說，叫作“十二等比律”。

三、結(jié)論

從以上可以看到，王邦直和朱載堉都在其著作中提到了律呂和政治、歷法的關(guān)系以及樂律的計算。這是王朱二人都論及到的內(nèi)容，但是在這些大的相同或者相似的方面二人卻各有不同，存有差異。

首先，從律呂和政治的關(guān)系方面來看王、朱二人的異同。王邦直和朱載堉都是儒家音樂思想的繼承人，強調(diào)音樂的社會功能，認為音樂是“中和”的，是本天地之和，感化人心，約束和規(guī)范社會秩序的手段。但是所不同的是，王邦直認為樂律不僅是教化的手段，更是“君君臣臣”的反映，是“官本位”和“君本位”封建樂律思想的體現(xiàn)；而朱載堉更重視的是律呂之間的客觀性。提出了雅樂應該與時俱進，要有變新性，這也是二者比較明顯的差別。

其次，從律呂和歷法的關(guān)系方面來看，二人都認同“律歷融通”思想，認為十二律呂與十二月節(jié)氣相對應，律有定法，流轉(zhuǎn)自若。王邦直的“律歷融通”思想強調(diào)的是把歷之度數(shù)與律之數(shù)的諧合作為律歷的法則，并把十二律呂對應十二月節(jié)氣，并把其名義各疏于下，同時舉出當月自然氣候、萬物的典型特征。朱載堉則提出了律歷數(shù)相依不可違逆，并且尤其強調(diào)了歷的音樂性和律的時間性以及律歷的聲數(shù)關(guān)系。這些都表明了朱載堉的律學研究已經(jīng)開始擺脫了神秘主義，走向科學研究的道路。

最后，從樂律的方面來看，王朱二人都對十二律呂進行了比較系統(tǒng)的研究，各執(zhí)其說。造成二者之間差異的癥結(jié)所在即是黃鐘取幾寸。兩人對《河圖》、《洛書》以及《易》都做了非常細致地研究并考證了里面的數(shù)字關(guān)系，王邦直的黃鐘取的是三寸九分，朱載堉則取十寸，并按照各自的計算方法算出了其他十一律的律數(shù)，這其中朱載堉所創(chuàng)的算法被譽為“新法密律”。這種律法算出的十二律叫做“十二平均律”，解決了“旋相為宮”的律學歷史難題。王朱二人所求律數(shù)差異很大，王邦直算出的律數(shù)為等差數(shù)列，而朱載堉算出的律數(shù)則為等比數(shù)列。

另外，朱載堉和王邦直對于“道”和“器”的態(tài)度是不同的。王氏多論“道”而較少提及“器”，朱氏則破傳統(tǒng)而重視“器”，注重實驗和實踐，注重理論和實踐的配合，更重視實踐的可行性和真實性，走的是一條科學實驗研究的道路。

不論是王邦直還是朱載堉，他們都為中國的律呂學研究付出了大量的時間和精力，他們治學和求知的態(tài)度則是值得我們后人了解、懂得和繼承的。不論結(jié)果成功與否，他們的努力都為后人指引了方向，開辟了道路。

[1]清乾隆版.即墨縣志（卷之九）“人物”志“文學”條[M].

[2]《四庫全書總目提要·經(jīng)部三十九·樂類存目》[G].

[3]明·李維幀.律呂正聲·李維幀序[M].

[4]明·王邦直.律呂正聲·律呂總序[M.

[5]明·王邦直.律呂正聲·卷二十一律應八風 五聲所起[M].

[6]明·王邦直.律呂正聲·卷二十二五聲之序[M].

[7]明·王邦直.律呂正聲·卷十五·律歷同道上[M].

[8]明·王邦直.律呂正聲·卷十五·律歷同道中[M].

[9]明·王邦直.律呂正聲·卷十七·律歷同道下[M].

[10]明·王邦直.律呂正聲·卷十律合天度·附天度[M].

[11]明·王邦直.律呂正聲·卷一律呂圖解·黃鐘律本[M].

[12]唐·謝察微.算經(jīng)[M].

[13]太玄經(jīng)

[14]明·王邦直.律呂正聲·卷五律呂經(jīng)緯[M].

[15]明·朱載堉.律學新說·序[M].

[16]明·朱載堉.瑟譜·后序[M].

[17]戴念祖.朱載堉——明代的科學和藝術(shù)巨星[M]北京：人民出版社，1986，235.

[18]王軍.朱載堉樂律學研究指導思想辨析[J].黃鐘，2011，（2）.

[19]明·朱載堉.律歷融通·序[M].

[20]明·朱載堉.算學新說[M].

[21]明·朱載堉.律學新說·卷一·立均第九[M].

[22]明·朱載堉.律學新說·卷一·立均第九[M].

[23]明·朱載堉.律學新說·卷一·密率律度相求第三[M].

[24]明·朱載堉.律學新說·卷一·密率律度相求第三[M].