兒童對等分概念的認(rèn)知發(fā)展研究綜述

喬 佳

（江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院，江蘇 徐州 221000）

1 問題提出

早在人類還沒出現(xiàn)語言之前，人們?yōu)榱松嬉验_始用簡單的符號來計(jì)數(shù)[1]。分?jǐn)?shù)作為重要的數(shù)字知識之一，兒童是何時(shí)開始認(rèn)識分?jǐn)?shù)，他們又是如何掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)的呢？很多研究顯示，兒童在沒有正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前就已開始接觸分?jǐn)?shù)并對等分概念有了初步的感性認(rèn)識。如:兒童會(huì)把蘋果分成兩半，把蛋糕分成四份等。在日常的生活中，我們也會(huì)看到即使很小的兒童都有能力把東西較等分地分成兩份。本研究以兒童對分?jǐn)?shù)中等分概念的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行闡述，以供為其深入研究奠定基礎(chǔ)。

2 等分的概念

2.1 分?jǐn)?shù)的概念

在古代，人們在分東西的時(shí)候，經(jīng)常出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的情況，于是漸漸產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。在我國，最初是用算籌表示，像2/5就表示成。后來，阿拉伯人發(fā)明了分?jǐn)?shù)線，就把分?jǐn)?shù)表示成現(xiàn)在的樣子了[2]。

從數(shù)學(xué)角度考量，分?jǐn)?shù)在小學(xué)教科書中被定義為“把整體‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)”[3]。從這個(gè)定義可以看出，分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是等分。從教育心理學(xué)考量，Yoshida&Sawano認(rèn)為，分?jǐn)?shù)包括“部分與整體”、“比率”、“運(yùn)算”等方面，但部分與整體的關(guān)系是分?jǐn)?shù)認(rèn)知的基礎(chǔ)和前提[4]。

2.2 等分的概念

不論從何角度去定義分?jǐn)?shù)概念，“等分”都是作為掌握分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)。而學(xué)會(huì)等分之前，兒童還需要了解“整體—部分”的關(guān)系，即了解整體與部分的關(guān)系又是認(rèn)識等分概念的基礎(chǔ)。

等分的概念比較容易理解，張新華認(rèn)為，等分是分?jǐn)?shù)概念的核心，指整體平均分成相等部分[5]。林福來等則將等分定義為是指將一個(gè)連續(xù)量或非離散量分開，而分開的各部分的量都是均等的，等分是兒童必須具備的基礎(chǔ)概念[6]。

3 兒童對等分概念的認(rèn)知發(fā)展

3.1 兒童對部分與整體關(guān)系的認(rèn)知

部分與整體的關(guān)系是在研究分?jǐn)?shù)概念中必不可少的重要內(nèi)容。兒童對整體及部分關(guān)系的認(rèn)識水平直接反映他們的思維水平與階段，同時(shí)也是他們掌握等分概念的基礎(chǔ)。

何記全在非除法運(yùn)算解答包含除的實(shí)驗(yàn)中對6-7歲兒童對部分與整體的關(guān)系認(rèn)知進(jìn)行研究。結(jié)果表明，6-7歲的兒童具有一定的整體與部分的概念。此外，研究結(jié)果還顯示，兒童對部分與整體關(guān)系的掌握有助于分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)[7]。

Hunting研究發(fā)現(xiàn)，對于“整體與部分”關(guān)系的認(rèn)知，3－4歲的兒童就已經(jīng)可以初步理解，在5歲時(shí)，就可以完全掌握“一半”的概念[8]。

我國學(xué)者劉靜和等就兒童對數(shù)及數(shù)學(xué)上的部分與整體關(guān)系的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行了系統(tǒng)研究。研究發(fā)現(xiàn)，兒童認(rèn)識部分和整體的關(guān)系中，存在兩個(gè)時(shí)間拐點(diǎn)，分別是5.5至6.5歲和7至8歲[9]。

由以上文獻(xiàn)可以看出，在有關(guān)兒童分?jǐn)?shù)中，部分與整體的關(guān)系研究時(shí)間都比較早，但在這些早期的整體與部分研究中卻已包含了等分關(guān)系內(nèi)容（如:在劉靜和的研究項(xiàng)目中“一塊蛋糕分給三個(gè)小朋友吃，怎么分可以讓他們吃得一樣多？”）部分與整體的關(guān)系是理解等分概念的先決條件，正如兒童必須先會(huì)數(shù)數(shù)，才能進(jìn)行后續(xù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算一樣。

3.2 兒童對等分概念的認(rèn)知

皮亞杰等人在研究3-8歲兒童在處理等分任務(wù)中發(fā)現(xiàn)，兒童完成順序依次是1/2、1/4、1/3、1/5和1/6。此外，皮亞杰認(rèn)為，兒童的認(rèn)知發(fā)展有以下幾個(gè)階段:（1）4至4.5歲的兒童，他們還不理解部分和整體之間的關(guān)系；（2）4至6歲的兒童對較簡單的物體可以進(jìn)行二等分，三等分對于兒童來說，比較困難；（3）6至7歲的兒童，已能完成三等分任務(wù)；（4）10歲左右的兒童，能對物體進(jìn)行六等分。皮亞杰指出，明確等分的概念是兒童理解分?jǐn)?shù)概念的重要前提。4歲左右的兒童基本可以進(jìn)行二等分，6歲左右的兒童則可以進(jìn)行三等分。Streefland觀察他的孩子時(shí)也發(fā)現(xiàn)，孩子先會(huì)處理1/2、1/4的分?jǐn)?shù)問題，然后才會(huì)處理1/3的分?jǐn)?shù)問題[10]。

Inhelder&Szeminska在探討被分割的整體是離散量還是連續(xù)量的研究中，發(fā)現(xiàn)兒童先會(huì)處理1/2，然后是1/3，1/4，1/5，三等分先于四等分被兒童所掌握。Hiebert&Tonnessen在對5-8歲的兒童進(jìn)行面積的分?jǐn)?shù)問題研究時(shí)，也發(fā)現(xiàn)兒童對長度的等分能力是三等分先于四等分[11]。

Pothier等人對兒童完成等分任務(wù)提出了一個(gè)五階段的理論。首先是機(jī)械的分開:兒童只是機(jī)械地學(xué)習(xí)到將物體“分開”，而并沒有意識到分開的物體要相等；其次是分半法則:兒童能以對折來獲得分母為2n的分?jǐn)?shù)，但并沒意識到是否等分；第三是偶數(shù)等分:兒童能作出分母為偶數(shù)的等分；第四是奇數(shù)等分:此階段的兒童可以對分母為奇數(shù)的數(shù)進(jìn)行等分；最后是和數(shù)等分:即對于較大的份數(shù)，兒童開始尋求更有效的策略，他們先進(jìn)行較小數(shù)目和較簡單的等分，然后再繼續(xù)等分下去，直到完成為止[12]。

Hunting&Sharpley對22名從3歲10個(gè)月到4歲10個(gè)月的兒童進(jìn)行研究，分別讓他們對不同形狀的物體進(jìn)行等分。結(jié)果表明，兒童首先掌握二等分，三等分相對困難；對線性物體的二等分易于圓形物體，其次是柱狀物體，沒有一名兒童能對容積問題進(jìn)行等分[13]。

我國臺灣學(xué)者許惠欣在對幼兒園大班兒童 (平均年齡5歲7個(gè)月)的連續(xù)量的分割研究中，也得到相似結(jié)論[15]。

張新華指出，3-6歲兒童等分的得分均數(shù)最高的依次是二等分、四等分，得分均數(shù)最低的是五等分。在各個(gè)等分任務(wù)上，除五等分外，在其余等分任務(wù)上不同年齡的兒童均存在顯著差異[14]。

4 結(jié)語

由以上研究可知，兒童在生活上雖有“分”東西的經(jīng)驗(yàn)，但對于簡單的等分概念卻無法從生活經(jīng)驗(yàn)中直接習(xí)得。這表現(xiàn)為無論是在離散量還是連續(xù)量的情境，兒童都只是將東西分割，卻沒有注意到所分的物體是否存在相等。從等分的份數(shù)上看，兒童最先掌握二等分，然后是四等分、三等分和五等分等較為復(fù)雜的等分任務(wù)，而在四等分和三等分的發(fā)展上，不同的研究卻存在差異。從研究材料的類型上，對線段等長度物體的等分易于圓形等平面圖形，最難的立體圖形如球形或柱形以及溶劑問題，兒童最后才能完成。從掌握的時(shí)間上看，兒童在3歲時(shí)就已經(jīng)能開始進(jìn)行二等分，不過5歲時(shí)才能對所有類型材料進(jìn)行完全正確的二等分，6歲時(shí)才能理解和完成三等分。

隨著社會(huì)各方面的不斷進(jìn)步，兒童對簡單的等分問題是不是也會(huì)有所發(fā)展，更小的兒童是不是已能掌握二等分甚至是三等分的概念，這一問題值得思考。其次，兒童在平時(shí)生活中會(huì)接觸等分的概念，對于國內(nèi)特殊的三口之家的家庭結(jié)構(gòu)，兒童平時(shí)接觸最多的是數(shù)字“三”，這是否對其掌握三等分有幫助，甚至早理解三等分的概念先于二等分呢？第三，兒童在等分概念的學(xué)習(xí)中是不是也存在所謂的“關(guān)鍵期”，如果存在是在什么時(shí)期，這也是以后所要進(jìn)一步研究的方向之一。

[1]傅海倫，中外數(shù)學(xué)史概論[M].北京:科學(xué)出版社，2007(2)，176.

[2]三年級上冊數(shù)學(xué)課本[M].南京:江蘇教育出版社，2008,98.

[3]五年級下冊數(shù)學(xué)課本[M].南京:江蘇教育出版社，2006,36.

[4]Yoshida,H.&Sawano,K.Overcoming cognitive obstacles in learning fractions:Equal－partitioning and equal－whole[J].Japanese Psycho－Logical Research,2002(44).

[5]張新華.3－6歲兒童早期分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的研究[D].華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文,2008.

[6]林福來，黃敏晃，（1993）；呂玉琴（1996）.分?jǐn)?shù)啟蒙的學(xué)習(xí)與教學(xué)之發(fā)展性研究[J].科學(xué)教育學(xué)刊，4（2），161－169.

[7]何記全.關(guān)于兒童部分與整體關(guān)系認(rèn)知發(fā)展的實(shí)驗(yàn)研究[J].心理學(xué)報(bào)，1982(1):41－48.

[8]Hunting,R.P.Alan:A case study of knowledge of units and Performance[J].Journal for Research in Mathematics E-ducation.1983（14），3:182－197.

[9]劉靜和.兒童在數(shù)及數(shù)學(xué)上對部分與整體關(guān)系認(rèn)識的發(fā)展[J].心理學(xué)報(bào)，1982（3）:35－43.

[10]Piaget,J.Inhelder,B.&Szeminska,A.The child’s conception of geometry[M].New York:Basic Book,1960.

[11]Hiebert,J.&Tonnessen,L.H.Development of the friction concept in Two physical contexts:An Exploratory Investigation [J].Journal for Research in Mathematics Education,1978（9）:374－378.

[12]Pothier，Y.&Sawada,D.Partitioning:The emergence of rational number ideas in young children[J].Journal for Research in Mathematics Education,1983,14(4):307－317.

[13]Hunting,R.P.&Sharpley,C.F.,Fraction knowledge in preschool children[J].Research in Mathematics Education,1998（19），2: 175－180.

[14]許惠欣.幼兒分配能力之研究:從切割與折紙?zhí)轿?臺南師院學(xué)報(bào)，1998(31):327－369.

[15]詹婉華.國小高年級血統(tǒng)分?jǐn)?shù)概念之探究[D].國立臺北師范學(xué)院數(shù)理教育研究所碩士論文,2003.